Функциональный (математика) - Functional (mathematics)

В длина дуги функционал имеет своей областью векторное пространство выпрямляемые кривые (подпространство

{ Displaystyle С ([0,1], mathbb {R} ^ {3})}

), и выводит действительный скаляр. Это пример нелинейного функционала.

В Интеграл Римана это линейный функционал на векторном пространстве интегрируемых по Риману функций от a до b, где a, b ∈

{ Displaystyle mathbb {R}}

.

В математика, период, термин функциональный (как существительное) имеет как минимум три значения.

В современном линейная алгебра, это относится к линейному отображению из векторного пространства ${ displaystyle V}$ в его поле скаляров, т.е. относится к элементу двойное пространство ${ Displaystyle V ^ {*}}$ .
В математический анализ в более общем плане и исторически это относится к отображению пространства ${ displaystyle X}$ в действительные числа, а иногда и в сложные числа, с целью установления структуры, подобной исчислению, на ${ displaystyle X}$ . В зависимости от автора такие сопоставления могут считаться линейными, а могут и не считаться линейными или определяться на всем пространстве. ${ displaystyle X}$ .
В Информатика, это синоним функции высшего порядка, т.е. функции, которые принимают функции в качестве аргументов или возвращают их.

В данной статье основное внимание уделяется второй концепции, возникшей в начале 18 века как часть вариационное исчисление. Первая концепция, более современная и абстрактная, подробно обсуждается в отдельной статье под названием линейная форма. Третья концепция подробно описана в статье о функции высшего порядка.

Обычно пространство ${ displaystyle X}$ это пространство функций. В этом случае функционал является «функцией функции», и некоторые более старые авторы фактически определяют термин «функционал» как «функция функции». Однако тот факт, что ${ displaystyle X}$ пространство функций не является математически важным, поэтому это старое определение больше не является распространенным.^{[нужна цитата ]}

Термин происходит от вариационное исчисление, где ищется функция, которая минимизирует (или максимизирует) заданный функционал. Особенно важное приложение в физика поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие, или другими словами интеграл по времени от Лагранжиан.

Подробности

Двойственность

Отображение

{ displaystyle x_ {0} mapsto f (x_ {0})}

- функция, где $Икс 0$ является аргумент функции $ж$ . В то же время отображение функции на значение функции в точке

{ displaystyle f mapsto f (x_ {0})}

это функциональный; здесь, $Икс 0$ это параметр.

При условии, что $ж$ является линейной функцией из векторного пространства в базовое скалярное поле, приведенные выше линейные карты двойной друг к другу, и в функциональном анализе оба называются линейные функционалы.

Определенный интеграл

Интегралы Такие как

{ displaystyle f mapsto I [f] = int _ { Omega} H (f (x), f '(x), ldots) ; mu ({ mbox {d}} x)}

образуют особый класс функционалов. Они отображают функцию ${ displaystyle f}$ в действительное число, при условии, что ${ displaystyle H}$ имеет реальную ценность. Примеры включают

область под графиком положительной функции ${ displaystyle f}$

{ Displaystyle е mapsto int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) ; mathrm {d} x}

L^п норма функции на множестве ${ displaystyle E}$

{ Displaystyle е mapsto left ( int _ {E} | f | ^ {p} ; mathrm {d} x right) ^ {1 / p}}

в длина дуги кривой в 2-мерном евклидовом пространстве

{ displaystyle f mapsto int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} ; mathrm {d} x}

Внутренние пространства продукта

Учитывая внутреннее пространство продукта ${ displaystyle X}$ , и фиксированный вектор ${ displaystyle { vec {x}} in X}$ , карта, определяемая ${ Displaystyle { vec {y}} mapsto { vec {x}} cdot { vec {y}}}$ является линейным функционалом на ${ displaystyle X}$ . Набор векторов ${ displaystyle { vec {y}}}$ такой, что ${ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}}}$ равен нулю, является векторным подпространством ${ displaystyle X}$ , называется пустое пространство или же ядро функционала, или ортогональное дополнение из ${ displaystyle { vec {x}}}$ , обозначенный ${ displaystyle {{ vec {x}} } ^ { perp}}$ .

Например, взяв внутренний продукт с фиксированной функцией ${ Displaystyle г в L ^ {2} ([- пи, пи])}$ определяет (линейный) функционал на Гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} ([- пи, пи])}$ квадратично интегрируемых функций на ${ displaystyle [- pi, pi]}$ :

${ displaystyle f mapsto langle f, g rangle = int _ {[- pi, pi]} { bar {f}} g}$

Местонахождение

Если значение функционала можно вычислить для небольших сегментов входной кривой, а затем просуммировать, чтобы найти общее значение, функционал называется локальным. В противном случае это называется нелокальным. Например:

{ Displaystyle F (y) = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) ; mathrm {d} x}

местный пока

{ Displaystyle F (y) = { гидроразрыва { int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} y (x) ; mathrm {d} x} { int _ {x_ {0} } ^ {x_ {1}} (1+ [y (x)] ^ {2}) ; mathrm {d} x}}}

не является локальным. Это обычно происходит, когда интегралы встречаются отдельно в числителе и знаменателе уравнения, например, при вычислении центра масс.

Решение уравнения

Традиционное использование также применяется, когда говорят о функциональном уравнении, имея в виду уравнение между функционалами: уравнение $F = грамм$ между функционалами можно понимать как «уравнение, которое необходимо решить», где решения сами являются функциями. В таких уравнениях может быть несколько наборов неизвестных переменных, например, когда говорят, что добавка функция $ж$ является одним удовлетворяющее функциональному уравнению

{ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y).}

Производная и интеграция

Функциональные производные используются в Лагранжева механика. Они являются производными от функционалов: то есть они несут информацию о том, как изменяется функционал, когда входная функция изменяется на небольшую величину.

Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы как центральную идею в его сумма по историям формулировка квантовая механика. Это использование подразумевает интеграл, взятый по некоторым функциональное пространство.