Закон обратных квадратов - Inverse-square law

S представляет собой источник света, а r представляет собой измеренные точки. Линии представляют поток исходящие от источников и потоков. Общее количество линии потока зависит от силы источника света и является постоянным с увеличением расстояния, где большая плотность силовых линий (линий на единицу площади) означает более сильное энергетическое поле. Плотность силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, потому что площадь поверхности сферы увеличивается пропорционально квадрату радиуса. Таким образом, напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В наука, закон обратных квадратов есть ли научный закон заявляя, что указанный физический количество является обратно пропорциональный к квадрат из расстояние от источника этой физической величины. Основную причину этого можно понять как геометрическое растворение, соответствующее излучению точечного источника, в трехмерном пространстве.

Радар энергия увеличивается как во время передачи сигнала, так и во время отраженный вернуться, так что обратный квадрат для обоих путей означает, что радар будет получать энергию согласно обратному четвертая степень ассортимента.

Чтобы предотвратить разбавление энергия при распространении сигнала могут использоваться определенные методы, такие как волновод, который действует как канал для воды, или как ствол пистолета ограничивает расширение горячего газа одним измерение чтобы предотвратить потерю передачи энергии в пуля.

Формула

Математически обозначены (см. ∝ ):

${ displaystyle { text {интенсивность}} propto { frac {1} {{ text {distance}} ^ {2}}} ,}$

Математически это также можно выразить как:

${ displaystyle { frac {{ text {интенсивность}} _ {1}} {{ text {интенсивность}} _ {2}}} = { frac {{ text {distance}} _ {2} ^ {2}} {{ text {distance}} _ {1} ^ {2}}}}$

или как формулировка постоянной величины:

${ displaystyle { text {интенсивность}} _ {1} times { text {distance}} _ {1} ^ {2} = { text {интенсивность}} _ {2} times { text {distance }} _ {2} ^ {2}}$

В расхождение из векторное поле которая является равнодействующей радиальных полей закона обратных квадратов по отношению к одному или нескольким источникам, везде пропорциональна силе локальных источников и, следовательно, равна нулю внешних источников. Закон всемирного тяготения Ньютона следует закону обратных квадратов, как и эффекты электрический, магнитный, свет, звук, и радиация явления.

Обоснование

Закон обратных квадратов обычно применяется, когда некоторая сила, энергия или другое сохраненное количество равномерно излучается наружу от точечный источник в трехмерное пространство. Поскольку площадь поверхности из сфера (что составляет 4πр²) пропорционален квадрату радиуса, так как испускаемое излучение удаляется от источника, он распространяется по площади, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через любую единицу площади (прямо напротив точечного источника), обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника. Закон Гаусса для гравитации аналогичным образом применимо и может использоваться с любой физической величиной, которая действует в соответствии с соотношением обратных квадратов.

Вхождения

Гравитация

Гравитация притяжение между объектами, имеющими массу. Закон Ньютона гласит:

Сила гравитационного притяжения между двумя точечные массы прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила всегда притягательна и действует по соединяющей их линии.^{[нужна цитата ]}

Если распределение материи в каждом теле сферически симметрично, то объекты можно рассматривать как точечные массы без приближения, как показано на теорема оболочек. В противном случае, если мы хотим вычислить притяжение между массивными телами, нам нужно добавить все силы притяжения точка-точка векторно, и результирующее притяжение может не быть точным обратным квадратом. Однако, если расстояние между массивными телами намного больше по сравнению с их размерами, то с хорошим приближением разумно рассматривать массы как точечную массу, находящуюся на уровне объекта. центр массы при расчете силы тяжести.

Как закон всемирного тяготения, это закон был предложен в 1645 г. Исмаэль Буллиалдус. Но Буллиальдус не принял Второй и третий законы Кеплера, и он не оценил Кристиан Гюйгенс Решение для кругового движения (движение по прямой, оттягиваемое центральной силой). Действительно, Буллиальдус утверждал, что сила солнца притягивала в афелии и отталкивала в перигелии. Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борелли оба истолковали гравитацию в 1666 году как силу притяжения^[1] (Лекция Гука «О гравитации» в Лондонском Королевском обществе 21 марта;^[2] "Теория планет" Борелли, опубликованная позднее в 1666 году.^[3]). Лекция Гука 1670 г. Грешем объяснила, что гравитация применима ко «всем небесным телам», и добавила принципы, согласно которым сила гравитации уменьшается с расстоянием, и что при отсутствии такой силы тела движутся по прямым линиям. К 1679 году Гук считал, что гравитация имеет обратную квадратичную зависимость, и сообщил об этом в письме к Исаак Ньютон:^[4] Я предполагаю, что притяжение всегда в два раза пропорционально расстоянию от центра..^[5]

Гук по-прежнему с горечью относился к заявлению Ньютона об изобретении этого принципа, хотя Ньютон 1686 г. Principia признал, что Гук, наряду с Реном и Галлеем, отдельно оценил закон обратных квадратов в Солнечной системе,^[6] а также отдать должное Буллиальдусу.^[7]

Электростатика

Сила притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами, помимо того, что она прямо пропорциональна произведению электрических зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; это известно как Закон Кулона. Отклонение показателя степени от 2 составляет менее одной десятой части.¹⁵.^[8]

${ displaystyle F = k _ { text {e}} { frac {q_ {1} q_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Световое и другое электромагнитное излучение

В интенсивность (или освещенность или сияние ) из свет или другие линейные волны, исходящие от точечный источник (энергия на единицу площади, перпендикулярной источнику) обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника; таким образом, объект (такого же размера) вдвое дальше, получает только четверть энергия (в тот же период).

В более общем плане освещенность, т.е. интенсивность (или мощность на единицу площади в направлении распространение ), из сферический волновой фронт изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника (при условии отсутствия потерь, вызванных поглощение или рассеяние ).

Например, интенсивность излучения от солнце это 9126 Вт за квадратный метр на расстоянии Меркурий (0.387 Австралия ); но всего 1367 Вт на квадратный метр на расстоянии Земля (1 а.е.) - увеличение расстояния примерно в 3 раза приводит к уменьшению интенсивности излучения примерно в 9 раз.

Для не-изотропные радиаторы такие как параболические антенны, фары и лазеры, эффективное начало находится далеко за апертурой пучка. Если вы находитесь близко к исходной точке, вам не нужно далеко уходить, чтобы удвоить радиус, поэтому сигнал быстро падает. Когда вы находитесь далеко от исходной точки и все еще имеете сильный сигнал, как в случае с лазером, вам нужно пройти очень далеко, чтобы удвоить радиус и уменьшить сигнал. Это означает, что у вас более сильный сигнал или усиление антенны в направлении узкого луча относительно широкого луча во всех направлениях изотропная антенна.

В фотография и сценическое освещение, закон обратных квадратов используется для определения «спада» или разницы в освещении объекта, когда он приближается к источнику света или дальше от него. Для быстрого приближения достаточно помнить, что удвоение расстояния уменьшает освещенность на четверть;^[9] или аналогично, чтобы уменьшить освещенность вдвое, увеличьте расстояние в 1,4 раза ( квадратный корень из 2 ), а для двойного освещения уменьшите расстояние до 0,7 (квадратный корень из 1/2). Когда источник света не является точечным источником, правило обратных квадратов часто остается полезным приближением; когда размер источника света составляет менее одной пятой расстояния до объекта, ошибка вычисления составляет менее 1%.^[10]

Дробное уменьшение электромагнитного флюенс (Φ) для косвенно ионизирующего излучения с увеличением расстояния от точечного источника можно рассчитать с помощью закона обратных квадратов. Поскольку выбросы точечного источника имеют радиальное направление, они пересекаются перпендикулярно. Площадь такой оболочки 4πр ² где р радиальное расстояние от центра. Закон особенно важен в диагностике рентгенография и лучевая терапия планирование лечения, хотя эта пропорциональность не выполняется на практике, если только размеры источника намного меньше расстояния. Как указано в Теория Фурье тепла, «поскольку точечный источник увеличивается на расстояние, его излучение ослаблено пропорционально греху угла увеличивающейся дуги окружности от точки происхождения».

пример

Позволять п полная мощность, излучаемая точечным источником (например, всенаправленным изотропный радиатор ). На больших расстояниях от источника (по сравнению с размером источника) эта мощность распределяется по все более и более крупным сферическим поверхностям по мере увеличения расстояния от источника. Поскольку площадь поверхности сферы радиуса р является А = 4πr ², то интенсивность я (мощность на единицу площади) излучения на расстоянии р является

${ displaystyle I = { frac {P} {A}} = { frac {P} {4 pi r ^ {2}}}. ,}$

Энергия или интенсивность уменьшаются (делятся на 4) по мере удаления р удваивается; если измерять в дБ уменьшится на 3,01 дБ при удвоении расстояния. При обращении к измерениям мощности величин, соотношение может быть выражено как уровень в децибелах путем оценки в десять раз по основанию 10 логарифм отношения измеряемой величины к опорному значению.

Звук в газе

В акустика, то звуковое давление из сферический волновой фронт излучение точечного источника уменьшается на 50% по мере увеличения расстояния р удваивается; измеряется в дБ, уменьшение по-прежнему составляет 6,02 дБ, поскольку дБ представляет собой отношение интенсивностей. Отношение давлений (в отличие от отношения мощностей) не обратно квадратично, а обратно пропорционально (закон обратного расстояния):

${ displaystyle p propto { frac {1} {r}} ,}$

То же верно и для компонента скорость частицы ${ displaystyle v ,}$ это в фазе с мгновенным звуковым давлением ${ displaystyle p ,}$:

${ displaystyle v propto { frac {1} {r}} ,}$

в ближнее поле это квадратурная составляющая скорости частицы, которая на 90 ° не совпадает по фазе со звуковым давлением и не влияет на усредненную по времени энергию или интенсивность звука. В интенсивность звука продукт RMS звуковое давление и в фазе компонент среднеквадратичной скорости частиц, оба из которых обратно пропорциональны. Соответственно, интенсивность соответствует обратному квадрату:

${ Displaystyle I = pv propto { frac {1} {r ^ {2}}}. ,}$

Интерпретация теории поля

Для безвихревое векторное поле в трехмерном пространстве закон обратных квадратов соответствует тому свойству, что расхождение равен нулю вне источника. Это можно обобщить на более высокие измерения. Обычно для безвихревого векторного поля в п-размерный Евклидово пространство, интенсивность "I" векторного поля спадает с расстоянием "r" после обратного (п − 1)^th сила закона

${ displaystyle I propto { frac {1} {r ^ {n-1}}},}$

при условии, что пространство за пределами источника не имеет расхождений.^{[нужна цитата ]}

История

Джон Дамблтон 14 века Оксфордские калькуляторы, был одним из первых, кто выразил функциональные взаимосвязи в графической форме. Он дал доказательство теорема о средней скорости заявив, что «широта равномерно дифференцированного движения соответствует степени средней точки», и использовал этот метод для изучения количественного уменьшения интенсивности освещения в его Сумма логики и философии Naturalis (ок. 1349 г.), утверждая, что расстояние не было линейно пропорционально расстоянию, но не смог раскрыть закон обратных квадратов.^[11]

В предложении 9 книги 1 своей книги Ad Vitellionem paralipomen, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), астроном Иоганн Кеплер утверждал, что распространение света от точечного источника подчиняется закону обратных квадратов:^[12][13]

Оригинал: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, ampior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, converim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, Quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

Перевод: Так же, как [соотношение] сферических поверхностей, для которых источником света является центр, [является] от более широкого к более узкому, так и плотность или стойкость лучей света в более узком [пространстве] по направлению к более просторные сферические поверхности, то есть наоборот. Поскольку согласно [предложениям] 6 и 7, в более узкой сферической поверхности столько же света, сколько в более широкой, поэтому здесь он гораздо более сжат и плотнее, чем там.

В 1645 г. в своей книге Astronomia Philolaica ..., французский астроном Исмаэль Буллиальдус (1605–1694) опроверг предположение Иоганна Кеплера о том, что «гравитация»^[14] ослабевает как величина, обратная расстоянию; вместо этого, утверждал Буллиалдус, "гравитация" ослабевает как обратный квадрат расстояния:^[15][16]

Оригинал: Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi ampitudinem emissa квази-виды solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur au maioruloi ratio imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.

ПереводЧто касается силы, с помощью которой Солнце захватывает или удерживает планеты и которая, будучи телесной, функционирует как руки, то она излучается прямыми линиями по всему миру, и, как разновидности Солнца, он вращается вместе с телом Солнца; теперь, видя, что он телесный, он становится слабее и ослабевает на большем расстоянии или интервале, и отношение его уменьшения силы такое же, как и в случае со светом, а именно двойная пропорция, но обратно пропорциональная расстоянию [то есть 1 / д²].

В Англии англиканский епископ Сет Уорд (1617–1689) опубликовал идеи Буллиальдуса в своей критике. В Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae foundationa inquisitio brevis (1653) и опубликовал планетарную астрономию Кеплера в своей книге Астрономия геометрическая (1656).

В 1663–1664 гг. Английский ученый Роберт Гук писал свою книгу Микрография (1666), в котором он обсуждал, среди прочего, связь между высотой атмосферы и барометрическим давлением на поверхности. Поскольку атмосфера окружает Землю, которая сама по себе является сферой, объем атмосферы, имеющий отношение к любой единице площади земной поверхности, представляет собой усеченный конус (который простирается от центра Земли до космического вакуума; очевидно, только часть конуса от поверхности земли до космических медведей на поверхности земли). Хотя объем конуса пропорционален кубу его высоты, Гук утверждал, что давление воздуха у поверхности земли вместо этого пропорционально высоте атмосферы, потому что сила тяжести уменьшается с высотой. Хотя Гук явно не заявлял об этом, соотношение, которое он предложил, будет верным только в том случае, если сила тяжести уменьшается как обратный квадрат расстояния от центра Земли.^[17][18]

Смотрите также

• Поток
• Антенна (радио)
• Закон Гаусса
• Законы движения планет Кеплера
• Проблема Кеплера
• Телекоммуникации, в частности:
  • Уильям Томсон, первый барон Кельвин
  • Протоколы маршрутизации с учетом мощности
• Обратная пропорциональность
• Мультипликативный обратный
• Распад расстояния
• Парадокс Ферми

использованная литература

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Администрация общих служб документ: «Федеральный стандарт 1037С».

внешние ссылки

• Демпфирование уровня звука с расстоянием
• Звуковое давление p и закон обратной зависимости 1 / r