Алгебра Хопфа - Hopf algebra

В математика, а Алгебра Хопфа, названный в честь Хайнц Хопф, представляет собой структуру, одновременно являющуюся (единый ассоциативный) алгебра и а (противоассоциативный) коалгебра, совместимость этих структур делает его биалгебра, и, кроме того, оснащен антиавтоморфизм удовлетворяющие определенному свойству. В теория представлений алгебры Хопфа особенно хороша, так как существование совместимого коумножения, коединицы и антипода позволяет строить тензорные произведения представлений, тривиальных представлений и двойственных представлений.

Алгебры Хопфа естественным образом возникают в алгебраическая топология, откуда они возникли и связаны с H-пространство концепция, в групповая схема теория, в теория групп (через концепцию групповое кольцо ) и во многих других местах, что делает их, вероятно, наиболее знакомым типом биалгебра. Алгебры Хопфа также изучаются сами по себе, с большой работой над конкретными классами примеров, с одной стороны, и проблемами классификации, с другой. У них есть разнообразные приложения, начиная от физика конденсированного состояния и квантовая теория поля^[1] к теория струн^[2] и Феноменология LHC.^[3]

Формальное определение

Формально алгебра Хопфа - это (ассоциативная и коассоциативная) биалгебра ЧАС через поле K вместе с K-линейный карта S: ЧАС → ЧАС (называется антипод) такая, что следующая диаграмма ездит на работу:

Здесь Δ - коумножение биалгебры, - ее умножение, η - ее единица, а ε - ее счетчик. В бессмысленном Обозначение Sweedler, это свойство также можно выразить как

{ Displaystyle S (c _ {(1)}) c _ {(2)} = c _ {(1)} S (c _ {(2)}) = varepsilon (c) 1 qquad { mbox {для всех} } c in H.}

Что касается алгебры, можно заменить базовое поле K с коммутативное кольцо р в приведенном выше определении.^[4]

Определение алгебры Хопфа таково: самодвойственный (что отражено в симметрии приведенной выше диаграммы), поэтому, если можно определить двойной из ЧАС (что всегда возможно, если ЧАС конечномерна), то она автоматически является алгеброй Хопфа.^[5]

Константы структуры

Крепление основы ${ Displaystyle {е_ {к} }}$ для основного векторного пространства, можно определить алгебру в терминах структурные константы для умножения:

{ displaystyle e_ {i} nabla e_ {j} = sum _ {k} mu _ {; ij} ^ {k} e_ {k}}

для совместного умножения:

{ displaystyle Delta e_ {i} = sum _ {j, k} nu _ {i} ^ {; jk} e_ {j} otimes e_ {k}}

и антипод:

{ displaystyle Se_ {i} = sum _ {j} tau _ {i} ^ {; j} e_ {j}}

Тогда ассоциативность требует, чтобы

{ displaystyle mu _ {; ij} ^ {k} mu _ {; kn} ^ {m} = mu _ {; jn} ^ {k} mu _ {; ik} ^ { m}}

в то время как соассоциативность требует, чтобы

{ displaystyle nu _ {k} ^ {; ij} nu _ {i} ^ {; mn} = nu _ {k} ^ {; mi} nu _ {i} ^ {; nj}}

Связующая аксиома требует, чтобы

{ displaystyle nu _ {k} ^ {; ij} tau _ {j} ^ {; m} mu _ {; pm} ^ {n} = nu _ {k} ^ {; jm} tau _ {j} ^ {, ; i} mu _ {; pm} ^ {n}}

Свойства антипода

Антипод S иногда требуется иметь K-линейная обратная, автоматическая в конечномерном случае^{[требуется разъяснение ]}, или если ЧАС является коммутативный или же кокоммутативный (или в более общем смысле квазитреугольный ).

В целом, S является антигомоморфизм,^[6] так S² это гомоморфизм, который, следовательно, является автоморфизмом, если S был обратимым (при необходимости).

Если S² = id_ЧАС, то алгебра Хопфа называется инволютивный (а основная алгебра с инволюцией является *-алгебра ). Если ЧАС конечномерно полупросто над полем нулевой характеристики, коммутативно или кокоммутативно, то оно инволютивно.

Если биалгебра B допускает антипода S, тогда S единственна («биалгебра допускает не более 1 структуры алгебры Хопфа»).^[7] Таким образом, антипод не создает никакой дополнительной структуры, которую мы можем выбрать: быть алгеброй Хопфа - это свойство биалгебры.

Антипод - это аналог карты инверсии на группе, которая посылает грамм к грамм⁻¹.^[8]

Подалгебры Хопфа

Подалгебра А алгебры Хопфа ЧАС является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй ЧАС и антипод S карты А в А. Другими словами, подалгебра Хопфа A сама по себе является алгеброй Хопфа, когда умножение, коумножение, коумножение и антипод ЧАС ограничено А (и дополнительно тождество 1 из ЧАС должен быть в A). Теорема свободы Николса – Зеллера установила (в 1989 г.), что естественная А-модуль ЧАС не имеет конечного ранга, если ЧАС конечномерно: обобщение Теорема Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой и интегральной теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа А называется правой нормальной в алгебре Хопфа ЧАС если он удовлетворяет условию устойчивости, объявление_р(час)(А) ⊆ А для всех час в ЧАС, где правое сопряженное отображение объявление_р определяется объявление_р(час)(а) = S(час₍₁₎)ах₍₂₎ для всех а в А, час в ЧАС. Аналогично подалгебра Хопфа А остается нормальным в ЧАС если оно устойчиво относительно левого сопряженного отображения, определяемого формулой объявление_л(час)(а) = час₍₁₎в качестве(час₍₂₎). Два условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен, и в этом случае А называется нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа А в ЧАС удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): HA⁺ = А⁺ЧАС куда А⁺ обозначает ядро счетчика на K. Из этого условия нормальности следует, что HA⁺ идеал Хопфа ЧАС (то есть идеал алгебры в ядре коединицы, коидеальная коалгебра, устойчивая относительно антипода). Как следствие, получается фактор-алгебра Хопфа ЧАС/HA⁺ и эпиморфизм ЧАС → ЧАС/А⁺ЧАС, теория, аналогичная теории нормальных подгрупп и факторгрупп в теория групп.^[9]

Заказы Хопфа

А Заказ хопфа О над область целостности р с поле дробей K является порядок в алгебре Хопфа ЧАС над K которое замкнуто относительно операций алгебры и коалгебры: в частности, коумножение ∆ отображает О к О⊗О.^[10]

Групповые элементы

А групповой элемент является ненулевым элементом Икс такое, что Δ (Икс) = Икс⊗Икс. Группоподобные элементы образуют группу с инверсией, задаваемой антиподом.^[11] А примитивный элемент Икс удовлетворяет Δ (Икс) = Икс⊗1 + 1⊗Икс.^[12]^[13]

Примеры

	В зависимости от	Умножение	Графство	Антипод	Коммутативный	Кокоммутативный	Замечания
групповая алгебра КГ	группа грамм	Δ (грамм) = грамм ⊗ грамм для всех грамм в грамм	ε(грамм) = 1 для всех грамм в грамм	S(грамм) = грамм⁻¹ для всех грамм в грамм	если и только если грамм абелева	да
функции ж из конечного^[14] группа в K, K^грамм (с поточечным сложением и умножением)	конечная группа грамм	Δ (ж)(Икс,у) = ж(ху)	ε(ж) = ж(1_грамм)	S(ж)(Икс) = ж(Икс⁻¹)	да	если и только если грамм абелева
Представительские функции на компактной группе	компактная группа грамм	Δ (ж)(Икс,у) = ж(ху)	ε(ж) = ж(1_грамм)	S(ж)(Икс) = ж(Икс⁻¹)	да	если и только если грамм абелева	Наоборот, всякая коммутативная инволютивная уменьшенный Алгебра Хопфа над C с конечным интегралом Хаара возникает таким образом, давая одну формулировку Двойственность Таннаки – Крейна.^[15]
Обычные функции на алгебраическая группа		Δ (ж)(Икс,у) = ж(ху)	ε(ж) = ж(1_грамм)	S(ж)(Икс) = ж(Икс⁻¹)	да	если и только если грамм абелева	Наоборот, любая коммутативная алгебра Хопфа над полем возникает из групповая схема таким образом, давая антиэквивалентность категорий.^[16]
Тензорная алгебра Т (V)	векторное пространство V	Δ (Икс) = Икс ⊗ 1 + 1 ⊗ Икс, Икс в V, Δ (1) = 1 ⊗ 1	ε(Икс) = 0	S(Икс) = −Икс для всех Икс в 'T¹(V) (и расширен до более высоких тензорных степеней)	Если и только если тусклый (V)=0,1	да	симметрическая алгебра и внешняя алгебра (которые являются факторами тензорной алгебры) также являются алгебрами Хопфа с этим определением коумножения, коединицы и антипода
Универсальная обертывающая алгебра U (г)	Алгебра Ли грамм	Δ (Икс) = Икс ⊗ 1 + 1 ⊗ Икс для каждого Икс в грамм (это правило совместимо с коммутаторы и поэтому может быть однозначно расширен на все U)	ε(Икс) = 0 для всех Икс в грамм (опять же, продлен до U)	S(Икс) = −Икс	если и только если грамм абелева	да
Алгебра Свидлера Хопфа ЧАС=K[c, Икс]/c² = 1, Икс² = 0 и xc = −сх.	K это поле с характеристика отличается от 2	Δ (c) = c ⊗ c, Δ (Икс) = c ⊗ Икс + Икс ⊗ 1, Δ (1) = 1 ⊗ 1	ε(c) = 1 и ε(Икс) = 0	S(c) = c⁻¹ = c и S(Икс) = −сх	нет	нет	Лежащий в основе векторное пространство порождается {1, c, Икс, сх} и, таким образом, имеет размерность 4. Это наименьший пример алгебры Хопфа, которая одновременно некоммутативна и некокоммутативна.
кольцо симметричных функций^[17]		в терминах полных однородных симметричных функций час_k (k ≥ 1): Δ (час_k) = 1 ⊗ час_k + час₁ ⊗ час_k−1 + ... + час_k−1 ⊗ час₁ + час_k ⊗ 1.	ε(час_k) = 0	S(час_k) = (−1)^k е_k	да	да

Обратите внимание, что функции на конечной группе можно отождествить с групповым кольцом, хотя их более естественно считать двойственными - групповое кольцо состоит из конечный суммы элементов и, таким образом, пары с функциями в группе, оценивая функцию на суммированных элементах.

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий (над полем ${ displaystyle K}$ ) группы Ли ${ displaystyle G}$ является алгеброй Хопфа: умножение обеспечивается чашка продукта, а коумножение

{ displaystyle H ^ {*} (G, K) rightarrow H ^ {*} (G times G, K) cong H ^ {*} (G, K) otimes H ^ {*} (G, K)}

групповым умножением ${ displaystyle G times G to G}$ . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема (Хопфа)^[18] Позволять ${ displaystyle A}$ быть конечномерным, градуированный коммутативный, градуированная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда ${ displaystyle A}$ (как алгебра) - это свободная внешняя алгебра с образующими нечетной степени.

Квантовые группы и некоммутативная геометрия

Все приведенные выше примеры либо коммутативны (т.е. умножение коммутативный ) или ко-коммутативный (т. е.^[19] Δ = Т ∘ Δ где повернуть карту^[20] Т: ЧАС ⊗ ЧАС → ЧАС ⊗ ЧАС определяется Т(Икс ⊗ у) = у ⊗ Икс). Другие интересные алгебры Хопфа - это определенные "деформации" или "квантования "из тех из примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни ко-коммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют квантовые группы, термин, который до сих пор не определен. Они важны в некоммутативная геометрия Идея состоит в следующем: стандартная алгебраическая группа хорошо описывается своей стандартной алгеброй Хопфа регулярных функций; тогда мы можем думать о деформированной версии этой алгебры Хопфа как о некоторой «нестандартной» или «квантованной» алгебраической группе (которая вообще не является алгебраической группой). Хотя, похоже, нет прямого способа определять эти нестандартные объекты или манипулировать ими, все же можно работать с их алгебрами Хопфа, и действительно определяет их с их алгебрами Хопфа. Отсюда и название «квантовая группа».

Теория представлений

Позволять А - алгебра Хопфа, и пусть M и N быть А-модули. Потом, M ⊗ N также является А-модуль, с

{ displaystyle a (m otimes n): = Delta (a) (m otimes n) = (a_ {1} otimes a_ {2}) (m otimes n) = (a_ {1} m иногда a_ {2} n)}

за м ∈ M, п ∈ N и Δ (а) = (а₁, а₂). Кроме того, мы можем определить тривиальное представление как базовое поле K с

{ Displaystyle а (м): = эпсилон (а) м}

за м ∈ K. Наконец, двойственное представление А можно определить: если M является А-модуль и М * является его дуальным пространством, то

{ Displaystyle (а) (т): = е (S (а) м)}

куда ж ∈ М * и м ∈ M.

Связь между Δ, ε и S убедиться, что некоторые естественные гомоморфизмы векторных пространств действительно являются гомоморфизмами А-модули. Например, естественные изоморфизмы векторных пространств M → M ⊗ K и M → K ⊗ M также являются изоморфизмами А-модули. Также карта векторных пространств М * ⊗ M → K с ж ⊗ м → ж(м) также является гомоморфизмом А-модули. Однако карта M ⊗ М * → K не обязательно является гомоморфизмом А-модули.

Связанные понятия

Оценено Алгебры Хопфа часто используются в алгебраическая топология: они представляют собой естественную алгебраическую структуру на прямой сумме всех гомология или же когомология группы H-пространство.

Локально компактные квантовые группы обобщают алгебры Хопфа и несут топология. Алгебра всего непрерывные функции на Группа Ли является локально компактной квантовой группой.

Квазихопфовые алгебры являются обобщениями алгебр Хопфа, в которых коассоциативность сохраняется только с точностью до твиста. Они были использованы при изучении Уравнения Книжника – Замолодчикова.^[21]

Мультипликаторные алгебры Хопфа представленный Альфонсом Ван Дэле в 1994 году^[22] являются обобщениями Алгебры Хопфа где коумножение от алгебры (с единицей или без) на алгебра множителей алгебры тензорного произведения алгебры на себя.

Групповые (ко) алгебры Хопфа введенные В. Г. Тураевым в 2000 г., также являются обобщениями алгебр Хопфа.

Слабые алгебры Хопфа

Слабые алгебры Хопфа, или квантовые группоиды, являются обобщениями алгебр Хопфа. Подобно алгебрам Хопфа, слабые алгебры Хопфа образуют самодуальный класс алгебр; т.е. если ЧАС является (слабой) алгеброй Хопфа, поэтому ЧАС*, двойственное пространство линейных форм на ЧАС (относительно структуры алгебры-коалгебры, полученной естественным спариванием с ЧАС и его коалгебра-алгебра структура). Слабая алгебра Хопфа ЧАС обычно считается

конечномерная алгебра и коалгебра с копроизведением Δ: ЧАС → ЧАС ⊗ ЧАС и счет ε: ЧАС → k удовлетворяющие всем аксиомам алгебры Хопфа, кроме, возможно, Δ (1) ≠ 1 ⊗ 1 или ε (ab) ≠ ε (а) ε (б) для некоторых а, б в ЧАС. Вместо этого требуется следующее:

{ Displaystyle ( Delta (1) otimes 1) (1 otimes Delta (1)) = (1 otimes Delta (1)) ( Delta (1) otimes 1) = ( Delta otimes { mbox {Id}}) Delta (1)}

{ displaystyle epsilon (abc) = sum epsilon (ab _ {(1)}) epsilon (b _ {(2)} c) = sum epsilon (ab _ {(2)}) epsilon (b_ { (1)} c)}

для всех а, б, и c в ЧАС.

ЧАС имеет ослабленный антипод S: ЧАС → ЧАС удовлетворяющие аксиомам:

${ Displaystyle S (а _ {(1)}) а _ {(2)} = 1 _ {(1)} epsilon (a1 _ {(2)})}$ для всех а в ЧАС (правая часть представляет собой интересную проекцию, обычно обозначаемую Π^р(а) или ε_s(а) с образом сепарабельной подалгеброй, обозначаемой ЧАС^р или же ЧАС_s);
${ Displaystyle а _ {(1)} S (а _ {(2)}) = epsilon (1 _ {(1)} а) 1 _ {(2)}}$ для всех а в ЧАС (еще одна интересная проекция, которую обычно обозначают Π^р(а) или ε_т(а) с изображением сепарабельной алгебры ЧАС^L или же ЧАС_т, антиизоморфен ЧАС^L через S);
${ Displaystyle S (а _ {(1)}) а _ {(2)} S (а _ {(3)}) = S (а)}$ для всех а в ЧАС.

Заметим, что если ∆ (1) = 1 ⊗ 1, эти условия сводятся к двум обычным условиям на антипод алгебры Хопфа.

Частично аксиомы выбраны так, что категория ЧАС-modules - это жесткая моноидальная категория. Единица ЧАС-модуль - сепарабельная алгебра ЧАС^L упомянутый выше.

Например, конечный группоид алгебра - это слабая алгебра Хопфа. В частности, алгебра группоидов на [n] с одной парой обратимых стрелок е_ij и е_джи между я и j в [п] изоморфна алгебре ЧАС из п Икс п матрицы. Структура слабой алгебры Хопфа на этом конкретном ЧАС дается копроизведением Δ (е_ij) = е_ij ⊗ е_ij, счет ε (е_ij) = 1 и антипод S(е_ij) = е_джи. Отделимые подалгебры ЧАС^L и ЧАС^р совпадают и в данном частном случае являются нецентральными коммутативными алгебрами (подалгебра диагональных матриц).

Ранние теоретические вклады в слабые алгебры Хопфа можно найти в^[23] а также^[24]

Алгеброиды Хопфа

Видеть Алгеброид Хопфа

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы с помощью тех же диаграмм (то есть операций), что и алгебра Хопфа, где грамм считается набором, а не модулем. В этом случае:

поле K заменяется 1-точечным набором
есть естественная страна (сопоставить с 1 точкой)
есть естественное коумножение (диагональное отображение)
единица является тождественным элементом группы
умножение - это умножение в группе
антипод обратный

В этой философии группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над "поле с одним элементом ".^[25]

Алгебры Хопфа в сплетенных моноидальных категориях

Определение алгебры Хопфа естественным образом распространяется на произвольные плетеные моноидальные категории.^[26]^[27] Алгебра Хопфа в такой категории ${ displaystyle (C, otimes, I, alpha, lambda, rho, gamma)}$ шестерка ${ Displaystyle (H, набла, eta, Delta, varepsilon, S)}$ куда ${ displaystyle H}$ это объект в ${ displaystyle C}$ , и

{ displaystyle nabla: H otimes H to H}

(умножение),

{ displaystyle eta: от I до H}

(единица измерения),

{ displaystyle Delta: H to H otimes H}

(коумножение),

{ displaystyle varepsilon: H to I}

(счет),

{ displaystyle S: H to H}

(антипод)

- морфизмы в ${ displaystyle C}$ такой, что

1) тройка

{ displaystyle (H, nabla, eta)}

это моноид в моноидальной категории

{ displaystyle (C, otimes, I, alpha, lambda, rho, gamma)}

, т.е. коммутативны следующие диаграммы:^[28]

2) тройной

{ displaystyle (H, Delta, varepsilon)}

это комоноид в моноидальной категории

{ displaystyle (C, otimes, I, alpha, lambda, rho, gamma)}

, т.е. коммутативны следующие диаграммы:^[28]

3) структуры моноида и комоноида на

{ displaystyle H}

совместимы: умножение

{ displaystyle nabla}

и блок

{ displaystyle eta}

являются морфизмами комоноидов, и (в данной ситуации это эквивалентно) в то же время коумножение

{ displaystyle Delta}

и графство

{ displaystyle varepsilon}

морфизмы моноидов; это означает, что следующие диаграммы должны быть коммутативными:^[29]

пятерка

{ Displaystyle (Н, набла, эта, Дельта, varepsilon)}

со свойствами 1), 2), 3) называется биалгебра в категории

{ displaystyle (C, otimes, I, alpha, lambda, rho, gamma)}

;

4) диаграмма антипода коммутативна:

Типичные примеры следующие.

Группы. В моноидальной категории ${ displaystyle ({ text {Set}}, times, 1)}$ из наборы (с декартово произведение ${ displaystyle times}$ как тензорное произведение, а произвольный синглетон, скажем, ${ displaystyle 1 = { varnothing }}$ , как единичный объект) тройка ${ displaystyle (H, nabla, eta)}$ это моноид в категорическом смысле если и только если это моноид в обычном алгебраическом смысле, т.е. если операции ${ Displaystyle набла (х, у) = х CDOT у}$ и ${ displaystyle eta (1)}$ вести себя как обычное умножение и единица в ${ displaystyle H}$ (но возможно без обратимости элементов ${ displaystyle x in H}$ ). При этом тройной ${ displaystyle (H, Delta, varepsilon)}$ является комоноидом в категорическом смысле тогда и только тогда, когда ${ displaystyle Delta}$ диагональная операция ${ Displaystyle Delta (х) = (х, х)}$ (и операция ${ displaystyle varepsilon}$ также определяется однозначно: ${ Displaystyle varepsilon (х) = 1}$ ). И любая такая структура комоноида ${ displaystyle (H, Delta, varepsilon)}$ совместим с любой структурой моноида ${ displaystyle (H, nabla, eta)}$ в том смысле, что диаграммы в разделе 3 определения всегда коммутируют. Как следствие, каждый моноид ${ displaystyle (H, nabla, eta)}$ в ${ displaystyle ({ text {Set}}, times, 1)}$ естественно рассматривать как биалгебру ${ Displaystyle (Н, набла, эта, Дельта, varepsilon)}$ в ${ displaystyle ({ text {Set}}, times, 1)}$ , наоборот. Существование антипода ${ displaystyle S: H to H}$ для такой биалгебры ${ Displaystyle (Н, набла, эта, Дельта, varepsilon)}$ означает, что каждый элемент ${ displaystyle x in H}$ имеет обратный элемент ${ displaystyle x ^ {- 1} in H}$ относительно умножения ${ Displaystyle набла (х, у) = х CDOT у}$ . Таким образом, в категории множеств ${ displaystyle ({ text {Set}}, times, 1)}$ Алгебры Хопфа в точности группы в обычном алгебраическом смысле.

Классические алгебры Хопфа. В частном случае, когда ${ displaystyle (C, otimes, s, I)}$ категория векторных пространств над данным полем ${ displaystyle K}$ , алгебры Хопфа в ${ displaystyle (C, otimes, s, I)}$ в точности классические алгебры Хопфа описано выше.

Функциональные алгебры на группах. Стандарт функциональные алгебры ${ Displaystyle { mathcal {C}} (G)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {E}} (G)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {O}} (G)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {P}} (G)}$ (непрерывных гладких голоморфных регулярных функций) на группах - это алгебры Хопфа в категории (Ste, ${ displaystyle odot}$ ) из стереотипные пространства,^[30]

Групповые алгебры. В стереотипные групповые алгебры ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { звезда} (G)}$ , ${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { star} (G)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {O}} ^ { звезда} (G)}$ , ${ Displaystyle { mathcal {P}} ^ { star} (G)}$ (мер, распределений, аналитических функционалов и токов) на группах являются алгебрами Хопфа в категории (Ste, ${ displaystyle circledast}$ ) из стереотипные пространства.^[30] Эти алгебры Хопфа используются в теории двойственности для некоммутативных групп.^[31]

Смотрите также

Примечания и ссылки

Примечания

^ Холдейн, Ф. Д. М .; Ha, Z. N. C .; Talstra, J.C .; Бернард, Д .; Паскье, В. (1992). «Янгианская симметрия интегрируемых квантовых цепочек с дальнодействующими взаимодействиями и новое описание состояний в конформной теории поля». Письма с физическими проверками. 69 (14): 2021–2025. Bibcode:1992ПхРвЛ..69.2021Х. Дои:10.1103 / Physrevlett.69.2021. PMID 10046379.
^ Plefka, J .; Разлив, F .; Торриелли, А. (2006). "Структура алгебры Хопфа S-матрицы AdS / CFT". Физический обзор D. 74 (6): 066008. arXiv:hep-th / 0608038. Bibcode:2006ПхРвД..74ф6008П. Дои:10.1103 / PhysRevD.74.066008.
^ Абреу, Самуэль; Бритто, Рут; Дур, Клод; Гарди, Эйнан (01.12.2017). «Диаграмматическая алгебра Хопфа разрезных интегралов Фейнмана: однопетлевой случай». Журнал физики высоких энергий. 2017 (12): 90. arXiv:1704.07931. Bibcode:2017JHEP ... 12..090A. Дои:10.1007 / jhep12 (2017) 090. ISSN 1029-8479.
^ Андервуд (2011) стр.55
^ Андервуд (2011) стр.62
^ Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Предложение 4.2.6. п. 153.
^ Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Примечания 4.2.3. п. 151.
^ Конспект лекций Quantum groups
^ Монтгомери (1993) стр.36.
^ Андервуд (2011) стр.82
^ Hazewinkel, Michiel; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2010). Алгебры, кольца и модули: алгебры Ли и алгебры Хопфа. Математические обзоры и монографии. 168. Американское математическое общество. п. 149. ISBN 978-0-8218-7549-0.
^ Михалев Александр Васильевич; Pilz, Günter, ред. (2002). Краткий справочник по алгебре. Springer-Verlag. п. 307, С.42. ISBN 978-0792370727.
^ Абэ, Эйити (2004). Алгебры Хопфа. Кембриджские трактаты по математике. 74. Издательство Кембриджского университета. п. 59. ISBN 978-0-521-60489-5.
^ Конечность грамм подразумевает, что K^грамм ⊗ K^грамм естественно изоморфен K^{граммИксграмм}. Это используется в приведенной выше формуле для коумножения. Для бесконечных групп грамм, K^грамм ⊗ K^грамм является собственным подмножеством K^{граммИксграмм}. В этом случае пространство функций с конечными поддерживать можно снабдить структурой алгебры Хопфа.
^ Хохшильд, G (1965), Структура групп Ли, Holden-Day, стр. 14–32.
^ Янцен, Йенс Карстен (2003), Представления алгебраических групп, Математические обзоры и монографии, 107 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3527-2, раздел 2.3
^ См. Мишель Хазевинкель, Симметричные функции, некоммутативные симметричные функции и квазисимметричные функции, Acta Applicandae Mathematica, январь 2003 г., том 75, выпуск 1-3, стр. 55–83.
^ Хопф, Хайнц (1941). "Über die Topologie der Gruppen – Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen". Анна. математики. 2 (на немецком языке). 42 (1): 22–52. Дои:10.2307/1968985. JSTOR 1968985.
^ Андервуд (2011) стр.57
^ Андервуд (2011) стр.36
^ Монтгомери (1993) стр. 203
^ Ван Даэль, Альфонс (1994). "Мультипликаторные алгебры Хопфа" (PDF). Труды Американского математического общества. 342 (2): 917–932. Дои:10.1090 / S0002-9947-1994-1220906-5.
^ Бём, Габриэлла; Нилл, Флориан; Szlachanyi, Корнель (1999). «Слабые алгебры Хопфа». J. Алгебра. 221 (2): 385–438. arXiv:математика / 9805116. Дои:10.1006 / jabr.1999.7984.
^ Дмитрий Никшич, Леонид Вайнерман, в: Новое направление в алгебрах Хопфа, С. Монтгомери и Х.-Ж. Шнайдер, ред., M.S.R.I. Публикации, т. 43, Кембридж, 2002, 211–262.
^ Группа = Алгебра Хопфа «Секретный семинар по ведению блогов, Групповые объекты и алгебры Хопфа, видео Саймона Виллертона.
^ Тураев и Вирелизье 2017, 6.2.
^ Акбаров 2009, п. 482.
^ ^а ^б Здесь ${ displaystyle alpha _ {H, H, H} :( H otimes H) otimes H to H otimes (H otimes H)}$ , ${ displaystyle lambda _ {H}: время от H до H}$ , ${ displaystyle rho _ {H}: H otimes I to H}$ являются естественными преобразованиями ассоциативности, а левой и правой единиц в моноидальной категории ${ displaystyle (C, otimes, I, alpha, lambda, rho, gamma)}$ .
^ Здесь ${ displaystyle lambda _ {I}: I otimes I to I}$ левый единичный морфизм в ${ displaystyle C}$ , и ${ displaystyle theta}$ естественное преобразование функторов ${ displaystyle (A otimes B) otimes (C otimes D) { stackrel { theta} { rightarrowtail}} (A otimes C) otimes (B otimes D)}$ что является уникальным в классе естественных преобразований функторов, составленных из структурных преобразований (ассоциативность, левые и правые единицы, транспонирование и их обратные) в категории ${ displaystyle C}$ .
^ ^а ^б Акбаров 2003, 10.3.
^ Акбаров 2009 г..