Локально компактная квантовая группа - Википедия - Locally compact quantum group

А локально компактная квантовая группа относительно новый C * -алгебраический подход к квантовые группы это обобщает Алгебра каца, компактная квантовая группа и Хопфа-алгебра подходы. Более ранние попытки унифицировать определение квантовых групп с использованием, например, мультипликативных унитаров, имели некоторый успех, но также столкнулись с несколькими техническими проблемами.

Одной из основных черт, отличающих этот новый подход от его предшественников, является аксиоматическое существование левых и правых инвариантных весов. Это дает некоммутативный аналог левого и правого Меры Хаара на локально компактной хаусдорфовой группе.

Определения

Прежде чем мы сможем даже приступить к правильному определению локально компактной квантовой группы, нам сначала нужно определить ряд предварительных понятий, а также сформулировать несколько теорем.

Определение (вес). Позволять ${ displaystyle A}$ быть C * -алгебра, и разреши ${ displaystyle A _ { geq 0}}$ обозначим множество положительные элементы из ${ displaystyle A}$ . А масса на ${ displaystyle A}$ это функция ${ Displaystyle phi: А _ { geq 0} к [0, infty]}$ такой, что

${ Displaystyle фи (а_ {1} + а_ {2}) = фи (а_ {1}) + фи (а_ {2})}$ для всех ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2} in A _ { geq 0}}$ , и
${ Displaystyle фи (г CDOT а) = г CDOT фи (а)}$ для всех ${ Displaystyle г в [0, infty)}$ и ${ Displaystyle а ин А _ { geq 0}}$ .

Некоторые обозначения весов. Позволять ${ displaystyle phi}$ вес на C * -алгебре ${ displaystyle A}$ . Мы используем следующие обозначения:

${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}: = {a in A _ { geq 0} mid phi (a) < infty }}$ , который называется множеством всех положительный ${ displaystyle phi}$ -интегрируемые элементы из ${ displaystyle A}$ .
${ displaystyle { mathcal {N}} _ { phi}: = {a in A mid phi (a ^ {*} a) < infty }}$ , который называется множеством всех ${ displaystyle phi}$ -квадратно интегрируемые элементы из ${ displaystyle A}$ .
${ displaystyle { mathcal {M}} _ { phi}: = { text {Span}} ~ { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+} = { mathcal {N}} _ { phi} ^ {*} { mathcal {N}} _ { phi}}$ , который называется множеством всех ${ displaystyle phi}$ -интегрируемый элементы ${ displaystyle A}$ .

Виды весов. Позволять ${ displaystyle phi}$ вес на C * -алгебре ${ displaystyle A}$ .

Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ является верный если и только если ${ Displaystyle фи (а) neq 0}$ для каждого ненулевого ${ Displaystyle а ин А _ { geq 0}}$ .
Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ является нижний полунепрерывный тогда и только тогда, когда набор ${ Displaystyle {а ин А _ { geq 0} мид фи (а) leq lambda }}$ является замкнутым подмножеством ${ displaystyle A}$ для каждого ${ Displaystyle лямбда в [0, infty]}$ .
Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ является плотно определенный если и только если ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ плотное подмножество ${ displaystyle A _ { geq 0}}$ , или, что то же самое, тогда и только тогда, когда либо ${ Displaystyle { mathcal {N}} _ { phi}}$ или же ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ { phi}}$ плотное подмножество ${ displaystyle A}$ .
Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ является правильный тогда и только тогда, когда он не равен нулю, полунепрерывен снизу и плотно определен.

Определение (однопараметрическая группа). Позволять ${ displaystyle A}$ - C * -алгебра. А однопараметрическая группа на ${ displaystyle A}$ это семья ${ Displaystyle альфа = ( альфа _ {т}) _ {т в mathbb {R}}}$ * -автоморфизмов ${ displaystyle A}$ это удовлетворяет ${ displaystyle alpha _ {s} circ alpha _ {t} = alpha _ {s + t}}$ для всех ${ displaystyle s, т in mathbb {R}}$ . Мы говорим что ${ displaystyle alpha}$ является нормальный если и только если для каждого ${ displaystyle a in A}$ отображение ${ displaystyle mathbb {R} to A}$ определяется ${ Displaystyle т mapsto { альфа _ {т}} (а)}$ непрерывно.

Определение (аналитическое расширение однопараметрической группы). Для непрерывной по норме однопараметрической группы ${ displaystyle alpha}$ на C * -алгебре ${ displaystyle A}$ , мы собираемся определить аналитическое расширение из ${ displaystyle alpha}$ . Для каждого ${ Displaystyle г в mathbb {C}}$ , позволять

{ Displaystyle I (z): = {y in mathbb {C} mid | Im (y) | Leq | Im (z) | }}

,

которая представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости. Мы называем функцию ${ displaystyle f: I (z) to A}$ нормальный тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Он аналитичен внутри ${ displaystyle I (z)}$ , т.е. для каждого ${ displaystyle y_ {0}}$ в интерьере ${ displaystyle I (z)}$ , Лимит ${ displaystyle displaystyle lim _ {y to y_ {0}} { frac {f (y) -f (y_ {0})} {y-y_ {0}}}}$ существует относительно топологии нормы на ${ displaystyle A}$ .
Он ограничен по норме на ${ displaystyle I (z)}$ .
Он непрерывен по норме на ${ displaystyle I (z)}$ .

Предположим теперь, что ${ Displaystyle г в mathbb {C} setminus mathbb {R}}$ , и разреши

{ displaystyle D_ {z}: = {a in A mid { text {Существует регулярная норма}} ~ f: I (z) to A ~ { text {такая, что}} ~ f (t) = { alpha _ {t}} (a) ~ { text {для всех}} ~ t in mathbb {R} }.}

Определять ${ displaystyle alpha _ {z}: от D_ {z} до A}$ к ${ Displaystyle { альфа _ {z}} (а): = f (z)}$ . Функция ${ displaystyle f}$ определяется однозначно (теорией комплексно-аналитических функций), поэтому ${ displaystyle alpha _ {z}}$ действительно четко определено. Семья ${ displaystyle ( alpha _ {z}) _ {z in mathbb {C}}}$ затем называется аналитическое расширение из ${ displaystyle alpha}$ .

Теорема 1. Набор ${ displaystyle cap _ {z in mathbb {C}} D_ {z}}$ , называется набором аналитические элементы из ${ displaystyle A}$ , является плотным подмножеством ${ displaystyle A}$ .

Определение (вес К.М.С.). Позволять ${ displaystyle A}$ C * -алгебра и ${ Displaystyle phi: А _ { geq 0} к [0, infty]}$ вес на ${ displaystyle A}$ . Мы говорим что ${ displaystyle phi}$ это К.М.С. масса («K.M.S.» означает «Кубо-Мартин-Швингер») на ${ displaystyle A}$ если и только если ${ displaystyle phi}$ это правильный вес на ${ displaystyle A}$ и существует непрерывная по норме однопараметрическая группа ${ Displaystyle ( sigma _ {т}) _ {т в mathbb {R}}}$ на ${ displaystyle A}$ такой, что

${ displaystyle phi}$ инвариантен относительно ${ displaystyle sigma}$ , т.е. ${ displaystyle phi circ sigma _ {t} = phi}$ для всех ${ Displaystyle т в mathbb {R}}$ , и
для каждого ${ Displaystyle а ин { текст {Dom}} ( sigma _ {я / 2})}$ , у нас есть ${ Displaystyle фи (а ^ {*} а) = фи ( сигма _ {я / 2} (а) [ сигма _ {я / 2} (а)] ^ {*})}$ .

Обозначим через ${ Displaystyle М (А)}$ алгебра мультипликаторов ${ displaystyle A}$ .

Теорема 2. Если ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ являются C * -алгебрами и ${ Displaystyle pi: от А к М (В)}$ является невырожденным * -гомоморфизмом (т. е. ${ displaystyle pi [A] B}$ плотное подмножество ${ displaystyle B}$ ), то можно однозначно продолжить ${ displaystyle pi}$ к * -гомоморфизму ${ Displaystyle { overline { pi}}: от M (A) до M (B)}$ .

Теорема 3. Если ${ displaystyle omega: от А до mathbb {C}}$ является состоянием (т.е.положительным линейным функционалом нормы ${ displaystyle 1}$ ) на ${ displaystyle A}$ , то можно однозначно продолжить ${ displaystyle omega}$ в состояние ${ displaystyle { overline { omega}}: M (A) to mathbb {C}}$ на ${ Displaystyle М (А)}$ .

Определение (Локально компактная квантовая группа). A (C * -алгебраический) локально компактная квантовая группа упорядоченная пара ${ Displaystyle { mathcal {G}} = (A, Delta)}$ , куда ${ displaystyle A}$ является C * -алгеброй и ${ displaystyle Delta: от A до M (от A otimes A)}$ это невырожденный * -гомоморфизм, называемый совместное умножение, который удовлетворяет следующим четырем условиям:

Совместное умножение является ассоциативным, т. Е. ${ displaystyle { overline { Delta otimes iota}} circ Delta = { overline { iota otimes Delta}} circ Delta}$ .
Наборы ${ displaystyle left {{ overline { omega otimes { text {id}}}} ( Delta (a)) ~ { big |} ~ omega in A ^ {*}, ~ a in A right }}$ и ${ displaystyle left {{ overline {{ text {id}} otimes omega}} ( Delta (a)) ~ { big |} ~ omega in A ^ {*}, ~ a in A right }}$ линейно плотные подмножества ${ displaystyle A}$ .
Есть верный К.М.С. масса ${ displaystyle phi}$ на ${ displaystyle A}$ что левоинвариантно, т. е. ${ displaystyle phi ! left ({ overline { omega otimes { text {id}}}} ( Delta (a)) right) = { overline { omega}} (1_ {M (А)}) cdot phi (а)}$ для всех ${ displaystyle omega in A ^ {*}}$ и ${ Displaystyle а ин { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ .
Существует К.М.С. масса ${ displaystyle psi}$ на ${ displaystyle A}$ правоинвариантное, т. е. ${ displaystyle psi ! left ({ overline {{ text {id}} otimes omega}} ( Delta (a)) right) = { overline { omega}} (1_ {M (А)}) cdot psi (а)}$ для всех ${ displaystyle omega in A ^ {*}}$ и ${ Displaystyle а ин { mathcal {M}} _ { phi} ^ {+}}$ .

Из определения локально компактной квантовой группы можно показать, что правоинвариантный K.M.S. масса ${ displaystyle psi}$ автоматически верен. Следовательно, верность ${ displaystyle psi}$ является избыточным условием, и его не нужно постулировать.

Двойственность

Категория локально компактных квантовых групп допускает двойственную конструкцию, с помощью которой можно доказать, что би-двойственная локально компактная квантовая группа изоморфна исходной. Этот результат дает далеко идущее обобщение Понтрягинская двойственность для локально компактных хаусдорфовых абелевых групп.

Альтернативные составы

Теория имеет эквивалентную формулировку в терминах алгебры фон Неймана.

Локально компактная квантовая группа - Википедия - Locally compact quantum group

Содержание

Определения

Двойственность

Альтернативные составы

Смотрите также

Рекомендации