Локально компактная квантовая группа - Википедия - Locally compact quantum group

А локально компактная квантовая группа относительно новый C * -алгебраический подход к квантовые группы это обобщает Алгебра каца, компактная квантовая группа и Хопфа-алгебра подходы. Более ранние попытки унифицировать определение квантовых групп с использованием, например, мультипликативных унитаров, имели некоторый успех, но также столкнулись с несколькими техническими проблемами.

Одной из основных черт, отличающих этот новый подход от его предшественников, является аксиоматическое существование левых и правых инвариантных весов. Это дает некоммутативный аналог левого и правого Меры Хаара на локально компактной хаусдорфовой группе.

Определения

Прежде чем мы сможем даже приступить к правильному определению локально компактной квантовой группы, нам сначала нужно определить ряд предварительных понятий, а также сформулировать несколько теорем.

Определение (вес). Позволять быть C * -алгебра, и разреши обозначим множество положительные элементы из . А масса на это функция такой, что

  • для всех , и
  • для всех и .

Некоторые обозначения весов. Позволять вес на C * -алгебре . Мы используем следующие обозначения:

  • , который называется множеством всех положительный -интегрируемые элементы из .
  • , который называется множеством всех -квадратно интегрируемые элементы из .
  • , который называется множеством всех -интегрируемый элементы .

Виды весов. Позволять вес на C * -алгебре .

  • Мы говорим что является верный если и только если для каждого ненулевого .
  • Мы говорим что является нижний полунепрерывный тогда и только тогда, когда набор является замкнутым подмножеством для каждого .
  • Мы говорим что является плотно определенный если и только если плотное подмножество , или, что то же самое, тогда и только тогда, когда либо или же плотное подмножество .
  • Мы говорим что является правильный тогда и только тогда, когда он не равен нулю, полунепрерывен снизу и плотно определен.

Определение (однопараметрическая группа). Позволять - C * -алгебра. А однопараметрическая группа на это семья * -автоморфизмов это удовлетворяет для всех . Мы говорим что является нормальный если и только если для каждого отображение определяется непрерывно.

Определение (аналитическое расширение однопараметрической группы). Для непрерывной по норме однопараметрической группы на C * -алгебре , мы собираемся определить аналитическое расширение из . Для каждого , позволять

,

которая представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости. Мы называем функцию нормальный тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

  • Он аналитичен внутри , т.е. для каждого в интерьере , Лимит существует относительно топологии нормы на .
  • Он ограничен по норме на .
  • Он непрерывен по норме на .

Предположим теперь, что , и разреши

Определять к . Функция определяется однозначно (теорией комплексно-аналитических функций), поэтому действительно четко определено. Семья затем называется аналитическое расширение из .

Теорема 1. Набор , называется набором аналитические элементы из , является плотным подмножеством .

Определение (вес К.М.С.). Позволять C * -алгебра и вес на . Мы говорим что это К.М.С. масса («K.M.S.» означает «Кубо-Мартин-Швингер») на если и только если это правильный вес на и существует непрерывная по норме однопараметрическая группа на такой, что

  • инвариантен относительно , т.е. для всех , и
  • для каждого , у нас есть .

Обозначим через алгебра мультипликаторов .

Теорема 2. Если и являются C * -алгебрами и является невырожденным * -гомоморфизмом (т. е. плотное подмножество ), то можно однозначно продолжить к * -гомоморфизму .

Теорема 3. Если является состоянием (т.е.положительным линейным функционалом нормы ) на , то можно однозначно продолжить в состояние на .

Определение (Локально компактная квантовая группа). A (C * -алгебраический) локально компактная квантовая группа упорядоченная пара , куда является C * -алгеброй и это невырожденный * -гомоморфизм, называемый совместное умножение, который удовлетворяет следующим четырем условиям:

  • Совместное умножение является ассоциативным, т. Е. .
  • Наборы и линейно плотные подмножества .
  • Есть верный К.М.С. масса на что левоинвариантно, т. е. для всех и .
  • Существует К.М.С. масса на правоинвариантное, т. е. для всех и .

Из определения локально компактной квантовой группы можно показать, что правоинвариантный K.M.S. масса автоматически верен. Следовательно, верность является избыточным условием, и его не нужно постулировать.

Двойственность

Категория локально компактных квантовых групп допускает двойственную конструкцию, с помощью которой можно доказать, что би-двойственная локально компактная квантовая группа изоморфна исходной. Этот результат дает далеко идущее обобщение Понтрягинская двойственность для локально компактных хаусдорфовых абелевых групп.

Альтернативные составы

Теория имеет эквивалентную формулировку в терминах алгебры фон Неймана.

Смотрите также

Рекомендации

  • Йохан Кустерманс и Стефаан Ваес. "Локально компактные квантовые группы. "Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Том 33, № 6 (2000), стр. 837-934.
  • Томас Тиммерманн. "Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа к мультипликативным унитарным и не только". Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (2008).