Локально компактное поле - Википедия - Locally compact field

В алгебре локально компактное поле это топологическое поле топология которого образует локально компактное пространство^[1] (в частности, это хаусдорфово пространство). Такие поля были первоначально введены в p-адический анализ так как поля ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ - локально компактные топологические пространства, построенные по норме ${ displaystyle | cdot | _ {p}}$ на ${ displaystyle mathbb {Q}}$. Топология (и структура метрического пространства) важна, поскольку позволяет строить аналоги поля алгебраических чисел в p-адическом контексте.

Структура

Конечномерные векторные пространства

Одна из полезных структурных теорем для векторных пространств над локально компактными полями состоит в том, что конечномерные векторные пространства имеют только класс эквивалентности нормы: sup norm^{[2] стр. 58-59}.

Конечные расширения поля

Учитывая конечное расширение поля ${ displaystyle K / F}$ над локально компактным полем ${ displaystyle F}$, существует не более одной единственной нормы поля ${ displaystyle | cdot | _ {K}}$ на ${ displaystyle K}$ расширение нормы поля ${ displaystyle | cdot | _ {F}}$; то есть,

${ displaystyle | f | _ {K} = | f | _ {F}}$

для всех ${ displaystyle f in K}$ который находится в образе ${ displaystyle F hookrightarrow K}$. Обратите внимание, что это следует из предыдущей теоремы и следующего трюка: если ${ displaystyle || cdot || _ {1}, || cdot || _ {2}}$ - две эквивалентные нормы, и

${ displaystyle || x || _ {1} <|| x || _ {2}}$

тогда для фиксированной постоянной ${ displaystyle c_ {1}}$ существует ${ Displaystyle N_ {0} in mathbb {N}}$ такой, что

${ displaystyle left ({ frac {|| x || _ {1}} {|| x || _ {2}}} right) ^ {N} <{ frac {1} {c_ {1 }}}}$

для всех ${ displaystyle N geq N_ {0}}$ поскольку последовательность, порожденная степенями ${ displaystyle N}$ сходиться к ${ displaystyle 0}$.

Конечные расширения Галуа

Если индекс расширения имеет степень ${ displaystyle n = [K: F]}$ и ${ displaystyle K / F}$ это расширение галуа, (так что все решения минимального многочлена любого ${ displaystyle a in K}$ также содержится в ${ displaystyle K}$), то единственная норма поля ${ displaystyle | cdot | _ {K}}$ можно построить с помощью норма поля^{[2] стр. 61}. Это определяется как

${ Displaystyle | а | _ {K} = | N_ {K / F} (а) | ^ {1 / n}}$

Обратите внимание, что корень n-й степени необходим для того, чтобы иметь четко определенную норму поля, расширяющую норму на ${ displaystyle F}$ с учетом любых ${ displaystyle f in K}$ в образе ${ displaystyle F hookrightarrow K}$ его норма

${ Displaystyle N_ {K / F} (е) = det m_ {f} = f ^ {n}}$

поскольку он действует как скалярное умножение на ${ displaystyle F}$-векторное пространство ${ displaystyle K}$.

Примеры

Конечные поля

Все конечные поля локально компактны, так как могут быть снабжены дискретной топологией. В частности, любое поле с дискретной топологией локально компактно, поскольку каждая точка является окрестностью самой себя, а также замыканием окрестности, следовательно, компактна.

Местные поля

Основными примерами локально компактных полей являются p-адические рациональные числа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ и конечные расширения ${ displaystyle K / mathbb {Q} _ {p}}$. Каждый из них является примером местные поля. Обратите внимание на алгебраическое замыкание ${ displaystyle { overline { mathbb {Q}}} _ {p}}$ и его завершение ${ displaystyle mathbb {C} _ {p}}$ находятся нет локально компактные поля^{[2] стр. 72} со стандартной топологией.

Расширения поля Q_п

Расширения полей ${ displaystyle K / mathbb {Q} _ {p}}$ можно найти с помощью Лемма Гензеля. Например, ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2} -7 = х ^ {2} - (2 + 1 cdot 5)}$ не имеет решений в ${ displaystyle mathbb {Q} _ {5}}$ поскольку

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (x ^ {2} -5) = 2x}$

равен нулю мод ${ displaystyle p}$ если ${ Displaystyle х эквив 0 { текст {}} (р)}$, но ${ displaystyle x ^ {2} -7}$ не имеет мод решений ${ displaystyle 5}$. Следовательно ${ Displaystyle mathbb {Q} _ {5} ({ sqrt {7}}) / mathbb {Q} _ {5}}$ является квадратичным расширением поля.

Смотрите также

• Местное поле
• Заполнить поле
• Разветвление локальных полей
• Локально компактная группа
• Локально компактная квантовая группа

Рекомендации

Внешняя ссылка

• Уловка неравенства https://math.stackexchange.com/a/2252625
  

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.