Заполнить поле - Complete field

В математика, а полное поле это поле оснащен метрика и полный относительно этой метрики. Основные примеры включают действительные числа, то сложные числа, и полные значения полей (такой как п-адические числа ).

Конструкции

Действительные и комплексные числа

Действительные числа - это поле со стандартной евклидовой метрикой. ${ Displaystyle | х-у |}$ . Поскольку он построен из завершения ${ displaystyle mathbb {Q}}$ по отношению к этой метрике это полное поле. Расширяя реалы алгебраическое замыкание дает поле ${ Displaystyle mathbb {C}}$ (поскольку его абсолютная группа Галуа является ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2}$ ). В этом случае, ${ Displaystyle mathbb {C}}$ также является полным полем, но во многих случаях это не так.

p-адический

P-адические числа строятся из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ используя p-адический модуль

${ Displaystyle v_ {p} (a / b) = v_ {p} (a) -v_ {p} (b)}$

куда ${ displaystyle a, b in mathbb {Z}}$ . Затем с помощью факторизации ${ displaystyle a = p ^ {n} c}$ куда ${ displaystyle p}$ не разделяет ${ displaystyle c}$ , его оценка - целое число ${ displaystyle n}$ . Завершение ${ displaystyle mathbb {Q}}$ к ${ displaystyle v_ {p}}$ это полное поле ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ называемые p-адическими числами. Это тот случай, когда поле^[1] не является алгебраически замкнутым. Как правило, процесс состоит в том, чтобы взять отделяемую крышку и затем снова завершить ее. Это поле обычно обозначается ${ displaystyle mathbb {C} _ {p}}$ .

Функциональное поле кривой

Для функционального поля ${ Displaystyle к (Х)}$ кривой ${ displaystyle X / k}$ , каждая точка ${ displaystyle p in X}$ соответствует абсолютная величина, или же место, ${ displaystyle v_ {p}}$ . Учитывая элемент ${ Displaystyle е в к (Х)}$ выражается дробью ${ displaystyle g / h}$ , место ${ displaystyle v_ {p}}$ измеряет порядок исчезновения из ${ displaystyle g}$ в ${ displaystyle p}$ минус порядок исчезновения ${ displaystyle h}$ в ${ displaystyle p}$ . Затем завершение ${ Displaystyle к (Х)}$ в ${ displaystyle p}$ дает новое поле. Например, если ${ Displaystyle X = mathbb {P} ^ {1}}$ в ${ displaystyle p = [0: 1]}$ , начало координат аффинной карты ${ displaystyle x_ {1} neq 0}$ , то завершение ${ Displaystyle к (Х)}$ в ${ displaystyle p}$ изоморфно кольцу степенных рядов ${ Displaystyle к ((х))}$ .