Алгеброид Хопфа - Hopf algebroid

В математике, в теории Алгебры Хопфа, а Алгеброид Хопфа является обобщением слабых алгебр Хопфа, некоторых косых алгебр Хопфа и коммутативных алгебр Хопфа. k-алгеброиды. Если k поле, коммутатив k-алгеброид - когрупоидный объект в категории k-алгебры; категория таких, следовательно, двойственна категории группоидов. k-схемы. Эта коммутативная версия использовалась в 1970-х годах в алгебраическая геометрия и теория стабильной гомотопии. Обобщение алгеброидов Хопфа и его основная часть структуры, ассоциативные биалгеброиды в некоммутативную базовую алгебру был введен Ж.-Х. Лу в 1996 году в результате работы над группоиды в Геометрия Пуассона (позже показанный нетривиальным эквивалентом сооружения Такеучи 1970-х годов и другого сооружения Сюй около 2000 года). Их можно в общих чертах рассматривать как алгебры Хопфа над некоммутативным базовым кольцом, где слабые алгебры Хопфа становятся алгебрами Хопфа над отделимая алгебра. Это теорема, согласно которой алгеброид Хопфа, удовлетворяющий условию конечной проективности над сепарабельной алгеброй, является слабой алгеброй Хопфа и, наоборот, слабой алгеброй Хопфа ЧАС является алгеброидом Хопфа над своей сепарабельной подалгеброй ЧАСL. Аксиомы антиподов были изменены Г. Бемом и К. Шлачаньи (J. Algebra) в 2004 г. по тензорно-категориальным причинам и для включения примеров, связанных с глубиной два. Алгебра Фробениуса расширения.

Определение

Левый алгеброид Хопфа (ЧАС, р) является левым биалгеброидом вместе с антиподом: биалгеброидом (ЧАС, р) состоит из полной алгебры ЧАС и базовая алгебра р и два отображения, гомоморфизм алгебр s: р → ЧАС называется исходным отображением, антигомоморфизмом алгебры т: р → ЧАС называется целевой картой, такой, что условие коммутативности s(р1) т(р2) = т(р2) s(р1) устраивает для всех р1, р2 ∈ р. Аксиомы напоминают аксиомы алгебры Хопфа, но усложняются возможностью того, что р некоммутативная алгебра или ее образы относительно s и т не в центре ЧАС. В частности левый биалгеброид (ЧАС, р) имеет р-р-бимодульная структура на ЧАС который предпочитает левую сторону следующим образом: р1 ⋅ час ⋅ р2 = s(р1) т(р2) час для всех час в ЧАС, р1, р2 ∈ р. Есть копродукт Δ: ЧАС → ЧАС ⊗р ЧАС и счетчик ε: ЧАС → р это делает (ЧАС, р, Δ, ε) и р-коринг (с аксиомами, подобными аксиомам коалгебра такие, что все отображения р-р-бимодульные гомоморфизмы и все тензоры над р). Дополнительно биалгеброид (ЧАС, р) должно удовлетворять Δ (ab) = Δ (а) Δ (б) для всех а, б в ЧАС, и условие, чтобы убедиться, что это последнее условие имеет смысл: каждая точка изображения Δ (а) удовлетворяет а(1) т(р) ⊗ а(2) = а(1) ⊗ а(2) s(р) для всех р в р. Также Δ (1) = 1 ⊗ 1. Счетчик требуется, чтобы удовлетворять ε (1ЧАС) = 1р и условие ε (ab) = ε (в качестве(ε (б))) = ε (в(ε (б))).

Антипод S: ЧАС → ЧАС обычно рассматривается как антиавтоморфизм алгебры, удовлетворяющий условиям обмена исходными и целевыми отображениями и удовлетворяющий двум аксиомам, таким как аксиомы антипода алгебры Хопфа; см. ссылки в Lu или Böhm-Szlachányi для более дружественного к категории примеров, хотя и несколько более сложного, набора аксиом для антипода. S. Последний набор аксиом также зависит от аксиом правого биалгеброида, которые представляют собой простой переход слева направо, s с т, приведенных выше аксиом левого биалгеброида.

Примеры

В качестве примера левого биалгеброида возьмем р быть любой алгеброй над полем k. Позволять ЧАС - его алгебра линейных отображений в себя. Пусть s (r) - левое умножение на р на р; позволять т(р) - правое умножение на р на р. ЧАС левый биалгеброид над р, что можно увидеть в следующем. Из того, что ЧАС ⊗р ЧАС ≅ Homk(р ⊗ р, р) копроизведение можно определить как ∆ (ж)(р ⊗ ты) = ж(RU) для каждого линейного преобразования ж из р себе и всем р, ты в р. Коассоциативность копроизведения следует из ассоциативности произведения на R.Коассоциативность копроизведения задается формулой ε (ж) = ж(1). Счетные аксиомы выборки следуют из условия единичного элемента при умножении в р. Читателя позабавит или, по крайней мере, порадует, проверив, что (ЧАС, р) - левый биалгеброид. В случае р является Адзумая алгебра, в таком случае ЧАС изоморфен р ⊗ р, антипод происходит от транспонирования тензоров, что делает ЧАС алгеброидом Хопфа над р. Другой класс примеров исходит из того, что р быть основным полем; в этом случае алгеброид Хопфа (ЧАС, р) является алгеброй Хопфа.

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Бём, Габриэлла (2005). «Альтернативное понятие алгеброида Хопфа». В Caenepeel, Stefaan (ред.). Алгебры Хопфа в некоммутативной геометрии и физике. Труды конференции по алгебрам Хопфа и квантовым группам, Брюссель, Бельгия, 28 мая - 1 июня 2002 г.. Конспект лекций по чистой и прикладной математике. 239. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 31–53. ISBN  978-0-8247-5759-5. Zbl  1080.16034.
  • Бём, Габриэлла; Szlachányi, Kornél (2004). «Алгеброидная симметрия Хопфа абстрактных расширений Фробениуса глубины 2». Commun. Алгебра. 32 (11): 4433–4464. arXiv:математика / 0305136. Дои:10.1081 / AGB-200034171. Zbl  1080.16036.
  • Цзян-Хуа Лу, "Алгеброиды Хопфа и квантовые группоиды", Int. J. Math. 7, п. 1 (1996), с. 47-70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037, https://dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050