Сингулярность (математика) - Singularity (mathematics)

В математика, а необычность - это вообще точка, в которой данный математический объект не определен, или точка, в которой математический объект перестает быть хорошо воспитанный каким-то определенным образом, например, из-за отсутствия дифференцируемость или аналитичность.^[1]^[2]^[3]^[4]

Например, реальная функция

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {x}}}

имеет особенность на ${ displaystyle x = 0}$ , где кажется, что "взорвется" ${ displaystyle pm infty}$ и поэтому не определен. В абсолютная величина функция ${ Displaystyle г (х) = | х |}$ также имеет особенность при $Икс = 0$ , так как это не дифференцируемый Там.^[1]^[5]

В алгебраическая кривая определяется ${ displaystyle {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 }}$ в ${ Displaystyle (х, у)}$ система координат имеет особенность (называемую куспид ) в ${ displaystyle (0,0)}$ . Для особенностей в алгебраическая геометрия, увидеть особая точка алгебраического многообразия. Для особенностей в дифференциальная геометрия, увидеть теория сингулярности.

Реальный анализ

В реальный анализ, особенности либо разрывы, или разрывы производная (иногда также разрывы производных более высокого порядка). Разрывы бывают четырех видов: тип I, который имеет два подтипа, и тип II, которые также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).

Чтобы описать способ использования этих двух типов ограничений, предположим, что ${ displaystyle f (x)}$ является функцией действительного аргумента ${ displaystyle x}$ , и для любого значения его аргумента скажем ${ displaystyle c}$ , то левосторонний предел, ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ , а правосторонний предел, ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ , определяются:

{ displaystyle f (c ^ {-}) = lim _ {x to c} f (x)}

, сдерживается

{ displaystyle x

и

{ displaystyle f (c ^ {+}) = lim _ {x to c} f (x)}

, сдерживается

{ displaystyle x> c}

.

Значение ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ это значение, которое функция ${ displaystyle f (x)}$ стремится к как ценность ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle c}$ от ниже, а значение ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ это значение, которое функция ${ displaystyle f (x)}$ стремится к как ценность ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle c}$ от над, независимо от фактического значения, которое функция имеет в точке, где ${ displaystyle x = c}$ .

Есть функции, для которых эти ограничения вообще не существуют. Например, функция

{ Displaystyle г (х) = грех влево ({ гидроразрыва {1} {х}} вправо)}

ни к чему не стремится как ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle c = 0}$ . Пределы в этом случае не бесконечны, а скорее неопределенный: нет значения, что ${ displaystyle g (x)}$ оседает на. Заимствуя сложный анализ, это иногда называют существенная особенность.

Возможные случаи при заданной стоимости ${ displaystyle c}$ аргументы заключаются в следующем.

А точка преемственности это ценность ${ displaystyle c}$ для которого ${ Displaystyle е (с ^ {-}) = е (с) = е (с ^ {+})}$ , как и следовало ожидать от гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если ${ displaystyle c}$ не является точкой непрерывности, то разрыв происходит в ${ displaystyle c}$ .
А тип I разрыв возникает, когда оба ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ и ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ $е (с ^ {+})$ существуют и конечны, но также применяется по крайней мере одно из следующих трех условий:
- ${ displaystyle f (c ^ {-}) neq f (c ^ {+})}$ ;
- ${ displaystyle f (x)}$ не определено для случая ${ displaystyle x = c}$ ; или
- ${ displaystyle f (c)}$ имеет определенное значение, которое, однако, не соответствует значениям двух пределов.

Разрывы типа I можно далее выделить как один из следующих подтипов:

А скачкообразный разрыв происходит когда ${ displaystyle f (c ^ {-}) neq f (c ^ {+})}$ , несмотря на погоду ${ displaystyle f (c)}$ определено, и независимо от его значения, если оно определено.
А устранимая несплошность происходит когда ${ Displaystyle е (с ^ {-}) = е (с ^ {+})}$ , также независимо от того, ${ displaystyle f (c)}$ определен, и независимо от его значения, если он определен (но который не совпадает с этим из двух пределов).

А тип II разрыв возникает, когда либо ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ или ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ $е (с ^ {+})$ не существует (возможно, оба). Он имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно:
- An бесконечный разрыв является частным случаем, когда либо левый, либо правый предел не существует, в частности, потому, что он бесконечен, а другой предел либо также бесконечен, либо является некоторым хорошо определенным конечным числом. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, когда ее график имеет вертикальная асимптота.
- An существенная особенность это термин, заимствованный из комплексного анализа (см. ниже). Это тот случай, когда один или другой предел ${ displaystyle f (c ^ {-})}$ или ${ displaystyle f (c ^ {+})}$ не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв. Существенные особенности подходить без ограничений, даже если действительные ответы расширены, чтобы включать ${ displaystyle pm infty}$ .

В реальном анализе сингулярность или разрыв - это свойство только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, считаются принадлежащими производной, а не исходной функции.

Координатные особенности

А координатная особенность возникает, когда в одной системе координат возникает явная сингулярность или разрыв, которые можно удалить, выбрав другую систему координат. Примером этого является кажущаяся сингулярность на широте 90 градусов в сферические координаты. Объект, движущийся строго на север (например, по линии 0 градусов долготы) на поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера, прыжок с долготы 0 на долготу 180 градусов) . Этот разрыв, однако, только очевиден; это артефакт выбранной системы координат, которая является сингулярной на полюсах. Другая система координат устранила бы видимую неоднородность (например, заменив представление широты / долготы на $п$ -вектор представление).

Комплексный анализ

В комплексный анализ, существует несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.

Изолированные особенности

Предположим, что U является открытое подмножество из сложные числа C, с точкой а являясь элементом U, и это ж это комплексная дифференцируемая функция определено на некоторых окрестности около а, исключая а: U \ {а}, тогда:

Смысл а это устранимая особенность из ж если существует голоморфная функция г определены на всех U такой, что ж(z) = г(z) для всех z в U \ {а}. Функция г является непрерывной заменой функции ж.^[6]
Смысл а это столб или несущественная особенность ж если существует голоморфная функция г определено на U с участием г(а) ненулевое, а натуральное число п такой, что ж(z) = г(z) / (z − а)^п для всех z в U \ {а}. Наименьшее такое количество п называется порядок полюса. Сама производная в несущественной особенности имеет несущественную особенность, причем п увеличился на 1 (кроме п равен 0, так что особенность устранима).
Смысл а является существенная особенность из ж если это не съемная особенность и не полюс. Смысл а существенная особенность если и только если то Серия Laurent имеет бесконечно много степеней отрицательной степени.^[2]

Неизолированные особенности

Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. Это так называемые неизолированные особенности, которые бывают двух типов:

Кластерные точки: предельные точки изолированных особенностей. Если они все полюса, несмотря на то, что Серия Laurent расширения на каждом из них, то на его пределе такое расширение невозможно.
Естественные границы: любой неизолированный набор (например, кривая), на котором функции не могут быть аналитически продолжение вокруг (или вне их, если это замкнутые кривые в Сфера Римана ).

Пункты отделения

Пункты отделения обычно являются результатом многозначная функция, такие как ${ displaystyle { sqrt {z}}}$ или ${ Displaystyle журнал (г)}$ , которые определены в определенной ограниченной области, так что функцию можно сделать однозначной в пределах области. Разрез - это линия или кривая, исключенная из области, чтобы ввести техническое разделение между прерывистыми значениями функции. Когда разрез действительно требуется, функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза ветви. Форма среза ветви - вопрос выбора, даже если она должна соединять две разные точки разветвления (например, ${ displaystyle z = 0}$ и ${ Displaystyle Z = infty}$ для ${ Displaystyle журнал (г)}$ ), которые фиксируются на месте.

Конечная сингулярность

В взаимная функция, выставляя гиперболический рост.

А сингулярность за конечное время происходит, когда одна входная переменная - время, а выходная переменная увеличивается до бесконечности за конечное время. Это важно в кинематика и PDE (Уравнения с частными производными ) - бесконечности не возникают физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшие особенности конечного времени: законы власти для различных показателей формы ${ displaystyle x ^ {- alpha},}$ из которых самый простой гиперболический рост, где показатель степени равен (отрицательному) 1: ${ displaystyle x ^ {- 1}.}$ Точнее, чтобы получить сингулярность в положительное время с течением времени (так, чтобы выходной сигнал возрастал до бесконечности), вместо этого используется ${ Displaystyle (т_ {0} -т) ^ {- альфа}}$ (с помощью т на время, изменив направление на ${ displaystyle -t}$ так что время увеличивается до бесконечности, и сдвиг сингулярности вперед от 0 до фиксированного времени ${ displaystyle t_ {0}}$ ).

Примером может служить подпрыгивающее движение неупругого шара по плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, в котором такая же доля кинетическая энергия теряется при каждом отскоке, частота отскоков становится бесконечным, поскольку мяч останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей за конечное время включают различные формы Парадокс Пенлеве (например, тенденция к пропуску мелка при перетаскивании по доске) и как прецессия скорость монета вращается на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности, а затем резко останавливается (как было исследовано с помощью Диск Эйлера игрушка).

Гипотетические примеры включают Хайнц фон Ферстер шуточный "Уравнение судного дня "(упрощенные модели дают бесконечное человечество за конечное время).

Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра

В алгебраическая геометрия, а особенность алгебраического многообразия точка многообразия, где касательное пространство может не определяться регулярно. Простейшим примером особенностей являются пересекающиеся кривые. Но есть и другие типы особенностей, например куспиды. Например, уравнение $у 2 - Икс 3 = 0$ определяет кривую с острием в начале координат $Икс = у = 0$ . Можно было бы определить $Икс$ -ось в качестве касательной в этой точке, но это определение не может быть таким же, как определение в других точках. Фактически, в этом случае $Икс$ -ось - это «двойной касательный».

Для аффинный и проективные многообразия, особенности - это точки, в которых Матрица якобиана имеет ранг что ниже, чем в других точках разновидности.

Эквивалентное определение в терминах коммутативная алгебра может быть дано, что распространяется на абстрактные разновидности и схемы: Точка единственное число если местное кольцо в этой точке это не обычное местное кольцо.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - сингулярность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-12.
^ ^а ^б «Сингулярности, нули и полюсы». mathfaculty.fullerton.edu. Получено 2019-12-12.
^ «Сингулярность | комплексные функции». Энциклопедия Британника. Получено 2019-12-12.
^ «Сингулярность (математика)». TheFreeDictionary.com. Получено 2019-12-12.
^ Берресфорд, Джеффри Ч .; Рокетт, Эндрю М. (2015). Прикладное исчисление. Cengage Learning. п. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-12.

[:0-1] а ^б "Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - сингулярность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-12.

[:1-2] а ^б «Сингулярности, нули и полюсы». mathfaculty.fullerton.edu. Получено 2019-12-12.

[3] «Сингулярность | комплексные функции». Энциклопедия Британника. Получено 2019-12-12.

[4] «Сингулярность (математика)». TheFreeDictionary.com. Получено 2019-12-12.

[5] Берресфорд, Джеффри Ч .; Рокетт, Эндрю М. (2015). Прикладное исчисление. Cengage Learning. п. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]