Парадокс Пенлеве - Painlevé paradox

В Парадокс Пенлеве (также называется Жан Жак Моро пароксизмы трения) - известный пример Поль Пенлеве в динамика твердого тела это показало, что динамика твердого тела с обоими контактное трение и Кулоновское трение непоследовательно. Этот результат связан с рядом неоднородностей в поведении твердых тел и неоднородностей, присущих закону трения Кулона, особенно при работе с большими коэффициентами трения.[1] Однако существуют простые примеры, доказывающие, что парадоксы Пенлеве могут возникать даже при небольшом реалистичном трении.

Моделирование твердых тел и трения значительно упрощает такие приложения, как анимация, робототехника и биомеханика, это только приближение к полной упругой модели, требующей сложных систем уравнения в частных производных. Предположение о твердом теле также позволяет прояснить многие особенности, которые в противном случае остались бы скрытыми; Парадоксы Пенлеве - один из них. Более того, модели твердого тела можно надежно и эффективно моделировать, избегая жестких проблем и проблем, связанных с оценкой совместимых моделей контакта / удара, что часто является весьма деликатным вопросом.

Решение

В физический парадокс была математически решена в 1990-х Дэвидом Стюартом.[2] Парадокс Пенлеве не только разрешен Д. Е. Стюартом с математической точки зрения (т.е. Стюарт показал существование решений для классического примера Пенлеве, который состоит из стержня, скользящего по шероховатой плоскости в 2-мерном измерении), но и было объяснено с более механической точки зрения Франком Жено и Бернаром Брольято.[3] Жено и Брольято очень подробно изучили динамику стержня в окрестности особой точки фазового пространства, когда стержень скользит. Тогда динамические уравнения представляют собой особое сингулярное обыкновенное дифференциальное уравнение с векторным полем ж(Икс)/грамм(Икс), где оба ж и грамм может исчезнуть в определенной точке (угол и угловая скорость). Одним из результатов является то, что в этой особой точке контактная сила может расти неограниченно, однако ее импульс всегда остается ограниченным (это может объяснить, почему численные методы с пошаговым временным шагом, такие как схема Моро, могут хорошо справляться с такими ситуациями, поскольку они оценивают импульс, а не силу[4]). Следовательно, бесконечная контактная сила вовсе не является препятствием для интеграции. Другая ситуация (отличная от первой) состоит в том, что траектории могут достигать зоны в фазовом пространстве, где проблема линейной дополнительности (LCP), которая дает контактную силу, не имеет решения. Затем решение (т.е. угловая скорость стержня) должно перейти в область, где LCP имеет решение. Это действительно создает своего рода «удар» с разрывом скорости. Заинтересованные читатели могут также взглянуть на раздел 5.5 в книге Брольято.[5] и на рисунке 5.23, где изображены различные важные области динамики.

Примечательно, что Дж. Дж. Моро показал в своей основополагающей статье[6] с помощью численного моделирования с его схемой шага по времени (впоследствии названной схемой Моро) парадоксы Пенлеве могут быть смоделированы подходящими методами шага по времени по причинам, указанным позже Жено и Броглиато.

Уолтер Левин рисовать мелом пунктирную линию, показывая эффект подпрыгивания

Поскольку механика - это прежде всего экспериментальная наука, крайне важно, чтобы эксперименты подтверждали теорию. Часто цитируют классический пример с мелом (когда его заставляют скользить по черной доске, мел имеет тенденцию подпрыгивать по доске). Поскольку парадоксы Пенлеве основаны на механической модели кулоновского трения (многозначной при нулевой тангенциальной скорости), которая, возможно, является упрощенной моделью контакта, но, тем не менее, включает в себя основные динамические эффекты трения (такие как зоны прилипания и скольжения), она должна логически иметь какой-то механический смысл и не должен быть просто математической суетой. Парадоксы Пенлеве были экспериментально подтверждены несколько раз, см. Например.[7]

Рекомендации

  1. ^ Поль Пенлеве (1895). "Sur le lois frottement de glissemment". C. R. Acad. Наука. 121: 112–115.
  2. ^ Стюарт, Дэвид Э. (2000). «Динамика твердого тела при трении и ударе». SIAM Обзор. 42 (1): 3–39. Bibcode:2000SIAMR..42 .... 3S. Дои:10.1137 / S0036144599360110.
  3. ^ Франк Жено, Бернар Брольято (1999). «Новые результаты о парадоксах Пенлеве» (PDF). Европейский журнал механики A. 18 (4): 653–678. Bibcode:1999EJMS ... 18..653G. Дои:10.1016 / S0997-7538 (99) 00144-8.
  4. ^ Винсент Акари, Бернар Брольято (2008). Численные методы для негладких динамических систем.. Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. 65. Гейдельберг: Springer Verlag.
  5. ^ Brogliato, Бернар (2016). 3-й (ред.). Негладкая механика. Техника связи и управления. Лондон: Springer Verlag.
  6. ^ Моро, Дж. Дж. (1988). «Односторонний контакт и сухое трение в динамике конечной свободы». In Moreau, J.J .; Панагиотопулос, П. (ред.). Негладкая механика и приложения. Международный центр механических наук (курсы и лекции). 302. Вена: Springer.
  7. ^ Чжэнь, Чжао; Лю, Цайшань; Ма, Вэй; Чен, Бин; и другие. (2008). «Экспериментальное исследование парадокса Пенлеве в роботизированной системе». Журнал прикладной механики. 75 (4): 041006. Bibcode:2008JAM .... 75d1006Z. CiteSeerX  10.1.1.1027.4938. Дои:10.1115/1.2910825.