Гиперболический рост - Hyperbolic growth

В взаимная функция, демонстрируя гиперболический рост.

Когда количество растет до необычность при конечной вариации (а "сингулярность за конечное время ") считается, что он подвергается гиперболический рост.^[1] Точнее, взаимная функция ${ displaystyle 1 / x}$ имеет гипербола как граф и имеет особенность в 0, что означает, что предел так как ${ displaystyle x to 0}$ бесконечно: говорят, что любой подобный граф имеет гиперболический рост.

Описание

Если вывод функции обратно пропорциональный на его вход или обратно пропорционально разнице от заданного значения ${ displaystyle x_ {0}}$, функция будет демонстрировать гиперболический рост с особенностью при ${ displaystyle x_ {0}}$.

В реальном мире гиперболический рост создается некой нелинейной положительный отзыв механизмы.^[2]

Сравнение с другим ростом

подобно экспоненциальный рост и логистический рост, гиперболический рост очень высок. нелинейный, но отличаются в важных отношениях. Эти функции можно перепутать, так как экспоненциальный рост, гиперболический рост и первая половина логистического роста являются выпуклые функции; однако их асимптотическое поведение (поведение при увеличении ввода) резко отличается:

• логистический рост ограничен (имеет конечный предел, даже когда время стремится к бесконечности),
• экспоненциальный рост возрастает до бесконечности по мере того, как время стремится к бесконечности (но всегда конечен в течение конечного времени),
• гиперболический рост имеет особенность за конечное время (вырастает до бесконечности за конечное время).

Приложения

Население

Некоторые математические модели предполагают, что до начала 1970-х гг. мировое население претерпели гиперболический рост (см., например, Введение в социальную макродинамику от Андрей Коротаев и другие.). Было также показано, что до 1970-х гг. Гиперболический рост населения мира сопровождался квадратично-гиперболическим ростом населения мира. ВВП, и разработал ряд математические модели описывая как это явление, так и Мировая система выход из режима обострения, наблюдаемый в последние десятилетия. Гиперболический рост мировое население и квадратично-гиперболический рост мира ВВП наблюдались до 1970-х годов, коррелировали Андрей Коротаев и его коллег к нелинейному второму порядку положительный отзыв между демографическим ростом и технологическим развитием, описываемым цепочкой причинно-следственных связей: технологический рост приводит к большему грузоподъемность земли для людей, что приводит к большему количеству людей, что приводит к большему количеству изобретателей, что, в свою очередь, ведет к еще большему технологическому росту, и так далее.^[3] Было также продемонстрировано, что гиперболические модели этого типа могут быть использованы для довольно точного описания общего роста планетарной сложности Земли с 4 миллиардов лет до нашей эры до настоящего времени.^[4] Другие модели предлагают экспоненциальный рост, логистический рост или другие функции.

Теория массового обслуживания

Другой пример гиперболического роста можно найти в теория массового обслуживания: среднее время ожидания случайно прибывающих клиентов гиперболически растет в зависимости от среднего коэффициента загрузки сервера. Особенность в этом случае возникает, когда средний объем работы, поступающей на сервер, равен его вычислительной мощности. Если потребности в обработке превышают возможности сервера, тогда не существует четко определенного среднего времени ожидания, поскольку очередь может расти неограниченно. Практическое значение этого конкретного примера заключается в том, что для сильно загруженных систем очередей среднее время ожидания может быть чрезвычайно чувствительным к производительности обработки.

Кинетика ферментов

Еще один практический пример гиперболического роста можно найти в кинетика ферментов. Когда скорость реакции (называемая скоростью) между фермент и субстрат построен против различных концентраций субстрата, получается гиперболический график для многих более простых систем. Когда это происходит, говорят, что фермент следует Михаэлис-Ментен кинетика.

Математический пример

Функция

${ displaystyle x (t) = { frac {1} {t_ {c} -t}}}$

демонстрирует гиперболический рост с особенностью во времени ${ displaystyle t_ {c}}$: в предел так как ${ displaystyle t to t_ {c}}$, функция уходит на бесконечность.

В более общем плане функция

${ Displaystyle х (т) = { гидроразрыва {K} {t_ {c} -t}}}$

демонстрирует гиперболический рост, где ${ displaystyle K}$ это масштаб.

Обратите внимание, что эту алгебраическую функцию можно рассматривать как аналитическое решение для дифференциала функции:^[5]

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = { frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}} = { frac {x ^ {2}} {K}} }$

Это означает, что при гиперболическом росте абсолютная скорость роста переменной x в момент t пропорциональна квадрату значения x в момент t.

Соответственно квадратично-гиперболическая функция выглядит следующим образом:

${ displaystyle x (t) = { frac {K} {(t_ {c} -t) ^ {2}}}.}$

Смотрите также

• Экспоненциальный рост
• Логистический рост
• Математическая особенность

использованная литература

Общее

• Марков Александр Васильевич, и Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир. Том 16. Выпуск 4. Страницы 311-318].
• Кремер, Майкл. 1993. «Рост населения и технологические изменения: один миллион до нашей эры до 1990 года», Ежеквартальный журнал экономики 108 (3): 681-716.
• Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. 2006. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы. Москва: УРСС. ISBN  5-484-00414-4 .
• Рейн Таагепера (1979) Люди, навыки и ресурсы: модель взаимодействия для роста мирового населения. Технологическое прогнозирование и социальные изменения 13, 13-30.

Конкретный