Функция действительной переменной - Function of a real variable

В математический анализ, и приложения в геометрия, Прикладная математика, инженерное дело, и естественные науки, а функция действительной переменной это функция чья домен это действительные числа ℝ, или подмножество из ℝ который содержит интервал положительной длины. Большинство реальных функций, которые рассматриваются и изучаются: дифференцируемый в некотором интервале. Наиболее распространенными такими функциями являются реальные функции, которые являются действительные функции действительной переменной, то есть функций действительной переменной, codomain это набор действительных чисел.

Тем не менее, домен функции действительной переменной может быть любым. Однако часто предполагается, что он имеет структуру ℝ-векторное пространство над реалами. То есть кодомен может быть Евклидово пространство, а вектор координат, набор матрицы действительных чисел заданного размера или ℝ-алгебра, такой как сложные числа или кватернионы. Структура ℝ-векторное пространство кодомена индуцирует структуру ℝ-векторное пространство по функциям. Если кодомен имеет структуру ℝ-алгебра, то же самое и с функциями.

В образ функции действительной переменной является кривая в кодомене. В этом контексте функция, определяющая кривую, называется параметрическое уравнение кривой.

Когда codomain функции действительной переменной является конечномерное векторное пространство, функцию можно рассматривать как последовательность реальных функций. Это часто используется в приложениях.

Реальная функция

График реальной функции

Настоящая функция - это функция из подмножества ${ Displaystyle mathbb {R}}$ к ${ displaystyle mathbb {R},}$ где ${ Displaystyle mathbb {R}}$ обозначает, как обычно, множество действительные числа. Это домен реальной функции является подмножеством ${ Displaystyle mathbb {R}}$, и это codomain является ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Обычно предполагается, что домен содержит интервал положительной длины.

Основные примеры

Для многих обычно используемых реальных функций домен представляет собой весь набор действительных чисел, а функция непрерывный и дифференцируемый в каждой точке домена. Говорят, что эти функции определены, непрерывны и дифференцируемы всюду. Это случай:

• Все полиномиальные функции, в том числе постоянные функции и линейные функции
• Синус и косинус функции
• Экспоненциальная функция

Некоторые функции определены везде, но в некоторых точках не являются непрерывными. Например

• В Ступенчатая функция Хевисайда определен всюду, но не непрерывен в нуле.

Некоторые функции всюду определены и непрерывны, но не везде дифференцируемы. Например

• В абсолютная величина всюду определен и непрерывен и всюду дифференцируем, кроме нуля.
• В кубический корень всюду определен и непрерывен и всюду дифференцируем, кроме нуля.

Многие общие функции определены не везде, но являются непрерывными и дифференцируемыми везде, где они определены. Например:

• А рациональная функция является частным двух полиномиальных функций и не определен на нули знаменателя.
• В касательная функция не определено для ${ displaystyle { frac { pi} {2}} + к пи,}$ где k любое целое число.
• В функция логарифма определяется только для положительных значений переменной.

Некоторые функции непрерывны во всей своей области определения и не дифференцируемы в некоторых точках. Это случай:

• В квадратный корень определена только для неотрицательных значений переменной и не дифференцируема в 0 (дифференцируема для всех положительных значений переменной).

Общее определение

А действительная функция действительной переменной это функция который принимает на входе настоящий номер, обычно представленные переменная Икс, для получения другого действительного числа ценность функции, обычно обозначаемой ж(Икс). Для простоты в этой статье действительная функция действительной переменной будет называться просто функция. Чтобы избежать двусмысленности, другие типы функций, которые могут возникнуть, будут указаны явно.

Некоторые функции определены для всех реальных значений переменных (один говорит, что они определены везде), но некоторые другие функции определены только в том случае, если значение переменной берется в подмножестве Икс из ℝ, домен функции, которая всегда должна содержать интервал положительной длины. Другими словами, действительная функция действительной переменной - это функция

${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$

так что его домен Икс - подмножество, содержащее интервал положительной длины.

Простым примером функции одной переменной может быть:

${ Displaystyle V: X rightarrow mathbb {R}}$

${ Displaystyle X = {х in mathbb {R} ,: , 0 leq x }}$

${ displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}$

какой квадратный корень из Икс.

Образ

В образ функции ${ displaystyle f (x)}$ - множество всех значений ж когда переменная Икс работает во всей области ж. Для непрерывной (см. Определение ниже) действительной функции со связной областью изображение является либо интервал или одно значение. В последнем случае функция является постоянная функция.

В прообраз данного действительного числа у - множество решений уравнение у = ж(Икс).

Домен

В домен функции нескольких действительных переменных - это подмножество, которое иногда определяется явно. Фактически, если ограничить домен Икс функции ж к подмножеству Y ⊂ Икс, формально получается другая функция, ограничение из ж к Y, который обозначается ж_|Y. На практике часто не вредно идентифицировать ж и ж_|Y, и опустить нижний индекс _|Y.

И наоборот, иногда возможно естественным образом расширить область определения данной функции, например, за счет непрерывность или по аналитическое продолжение. Это означает, что нецелесообразно явно определять область определения функции действительной переменной.

Алгебраическая структура

Арифметические операции могут применяться к функциям следующим образом:

• Для каждого реального числа р, то постоянная функция ${ Displaystyle (х) mapsto r}$, всюду определено.
• Для каждого реального числа р и каждая функция ж, функция ${ Displaystyle рф: (х) mapsto рф (х)}$ имеет тот же домен, что и ж (или везде определено, если р = 0).
• Если ж и г две функции соответствующих областей Икс и Y такой, что Икс∩Y содержит открытое подмножество, то ${ Displaystyle f + g: (x) mapsto f (x) + g (x)}$ и ${ Displaystyle е , г: (х) mapsto f (х) , г (х)}$ это функции, у которых есть домен, содержащий Икс∩Y.

Отсюда следует, что функции п переменные, которые везде определены, и функции п переменные, которые определены в некоторых окрестности данной точки обе формы коммутативные алгебры над вещественными числами (ℝ-алгебрами).

Аналогичным образом можно определить ${ Displaystyle 1 / f: (х) mapsto 1 / f (x),}$ которая является функцией, только если множество точек (Икс) в области ж такой, что ж(Икс) ≠ 0 содержит открытое подмножество. Это ограничение означает, что указанные выше две алгебры не являются поля.

Преемственность и предел

Предел действительной функции действительной переменной.

До второй половины 19 века только непрерывные функции считались математиками. В то время понятие непрерывности было разработано для функций одной или нескольких действительных переменных задолго до формального определения топологическое пространство и непрерывная карта между топологическими пространствами. Поскольку непрерывные функции действительной переменной широко используются в математике, стоит определить это понятие без ссылки на общее понятие непрерывных отображений между топологическим пространством.

Для определения непрерывности полезно учитывать функция расстояния функции, которая является всюду определенной функцией двух вещественных переменных:${ Displaystyle д (х, у) = | х-у |}$

Функция ж является непрерывный в какой-то момент ${ displaystyle a}$ который интерьер в свой домен, если для каждого положительного действительного числа ε, есть положительное действительное число φ такой, что ${ Displaystyle | е (х) -f (а) | < varepsilon}$ для всех ${ displaystyle x}$ такой, что ${ Displaystyle d (х, а) < varphi.}$ Другими словами, φ может быть выбран достаточно маленьким, чтобы изображение ж отрезка радиуса φ сосредоточен на ${ displaystyle a}$ содержится в интервале длины 2ε сосредоточен на ${ displaystyle f (a).}$ Функция непрерывна, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.

В предел вещественной функции действительной переменной выглядит следующим образом.^[1] Позволять а быть точкой в топологическое замыкание домена Икс функции ж. Функция, ж имеет предел L когда Икс стремится к а, обозначенный

${ Displaystyle L = lim _ {х rightarrow a} е (х),}$

если выполняется следующее условие: Для каждого положительного действительного числа ε > 0, есть положительное действительное число δ > 0 такой, что

${ Displaystyle | е (х) -L | < varepsilon}$

для всех Икс в такой области, что

${ displaystyle d (x, a) < delta.}$

Если предел существует, он уникален. Если а находится внутри области, предел существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна в а. В этом случае мы имеем

${ displaystyle f (a) = lim _ {x rightarrow a} f (x).}$

Когда а находится в граница области ж, и если ж имеет предел в а, последняя формула позволяет «расширить по непрерывности» область определения ж к а.

Исчисление

Можно собрать несколько функций, каждая из которых является реальной переменной, например

${ Displaystyle y_ {1} = f_ {1} (x) ,, quad y_ {2} = f_ {2} (x) ,, ldots, y_ {n} = f_ {n} (x) }$

в вектор, параметризованный Икс:

${ displaystyle mathbf {y} = (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {n}) = [f_ {1} (x), f_ {2} (x), ldots, f_ {n} (x)]}$

Производная вектора у - векторные производные от ж_я(Икс) для я = 1, 2, ..., п:

${ displaystyle { frac {d mathbf {y}} {dx}} = left ({ frac {dy_ {1}} {dx}}, { frac {dy_ {2}} {dx}}, ldots, { frac {dy_ {n}} {dx}} right)}$

Также можно выполнить линейные интегралы вдоль пространственная кривая параметризованный Икс, с участием вектор положения р = р(Икс), интегрируя по переменной Икс:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} mathbf {y} (x) cdot d mathbf {r} = int _ {a} ^ {b} mathbf {y} (x) cdot { гидроразрыва {d mathbf {r} (x)} {dx}} dx}$

где скалярное произведение, и Икс = а и Икс = б - это начальная и конечная точки кривой.

Теоремы

С помощью определений интегрирования и производных можно сформулировать ключевые теоремы, включая основная теорема исчисления интеграция по частям, и Теорема Тейлора. Вычислить смесь интегралов и производных можно с помощью теоремы дифференцирование под знаком интеграла.

Неявные функции

А ценный неявная функция реальной переменной не написано в форме "у = ж(x) ". Вместо этого отображение берется из пространства ℝ² к нулевой элемент в (обычный ноль 0):

${ Displaystyle phi: mathbb {R} ^ {2} rightarrow {0 }}$

и

${ Displaystyle фи (х, у) = 0}$

- уравнение в переменных. Неявные функции - это более общий способ представления функций, поскольку если:

${ Displaystyle у = е (х)}$

тогда мы всегда можем определить:

${ Displaystyle фи (х, у) = у-е (х) = 0}$

но обратное не всегда возможно, т.е. не все неявные функции имеют форму этого уравнения.

Одномерные пространственные кривые в ℝ^п

Космическая кривая в 3d. В вектор положения р параметризуется скаляром т. В р = а красная линия - касательная к кривой, а синяя плоскость - перпендикулярно кривой.

Формулировка

Учитывая функции р₁ = р₁(т), р₂ = р₂(т), ..., р_п = р_п(т) все из общей переменной т, так что:

${ displaystyle { begin {align} r_ {1}: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} & quad r_ {2}: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} & cdots & quad r_ {n}: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} r_ {1} = r_ {1} (t) & quad r_ {2} = r_ {2} (t) & cdots & quad r_ {n} = r_ {n} (t) конец {выровнено}}}$

или вместе:

${ Displaystyle mathbf {r}: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^ {n} ,, quad mathbf {r} = mathbf {r} (t)}$

затем параметризованный п-часть,

${ Displaystyle mathbf {r} (t) = [r_ {1} (t), r_ {2} (t), ldots, r_ {n} (t)]}$

описывает одномерный пространственная кривая.

Касательная линия к кривой

В какой-то момент р(т = c) = а = (а₁, а₂, ..., а_п) для некоторой постоянной т = c, уравнения одномерной касательной к кривой в этой точке задаются через обычные производные из р₁(т), р₂(т), ..., р_п(т), и р относительно т:

${ displaystyle { frac {r_ {1} (t) -a_ {1}} {dr_ {1} (t) / dt}} = { frac {r_ {2} (t) -a_ {2}}) {dr_ {2} (t) / dt}} = cdots = { frac {r_ {n} (t) -a_ {n}} {dr_ {n} (t) / dt}}}$

Нормальная плоскость к кривой

Уравнение п-мерная гиперплоскость, нормальная к касательной в точке р = а является:

${ displaystyle (p_ {1} -a_ {1}) { frac {dr_ {1} (t)} {dt}} + (p_ {2} -a_ {2}) { frac {dr_ {2} (t)} {dt}} + cdots + (p_ {n} -a_ {n}) { frac {dr_ {n} (t)} {dt}} = 0}$

или с точки зрения скалярное произведение:

${ displaystyle ( mathbf {p} - mathbf {a}) cdot { frac {d mathbf {r} (t)} {dt}} = 0}$

где п = (п₁, п₂, ..., п_п) точки в самолете, а не на пространственной кривой.

Отношение к кинематике

Кинематические величины классической частицы: масса м, должность р, скорость v, ускорение а.

Физико-геометрическая интерпретация dр(т)/dt это "скорость "точечного частица движение по тропе р(т), лечение р как пространственный вектор положения координаты параметризованные по времени т, и является вектором, касательным к пространственной кривой для всех т в мгновенном направлении движения. В т = c, пространственная кривая имеет касательный вектор dр(т)/dt|_{т = c}, и гиперплоскость, нормальная к пространственной кривой в точке т = c также нормальна к касательной в точке т = c. Любой вектор в этой плоскости (п − а) должно быть нормальным для dр(т)/dt|_{т = c}.

Так же, d²р(т)/dt² это "ускорение "частицы, и является вектором, нормальным к кривой, направленной вдоль радиус кривизны.

Матричнозначные функции

А матрица также может быть функцией одной переменной. Например, матрица вращения в 2d:

${ Displaystyle R ( theta) = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}}}$

является матричнозначной функцией угла поворота относительно начала координат. Точно так же в специальная теория относительности, то Преобразование Лоренца матрица для чистого буста (без поворотов):

${ displaystyle Lambda ( beta) = { begin {bmatrix} { frac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}} & - { frac { beta} { sqrt { 1- beta ^ {2}}}} & 0 & 0 - { frac { beta} { sqrt {1- beta ^ {2}}}} & { frac {1} { sqrt {1- beta ^ {2}}}} & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

является функцией параметра повышения β = v/c, в котором v это относительная скорость между системами отсчета (непрерывная переменная) и c это скорость света, постоянная.

Банахово и гильбертово пространства и квантовая механика

Обобщая предыдущий раздел, выход функции действительной переменной также может находиться в банаховом или гильбертовом пространстве. В этих пространствах определены деление, умножение и пределы, поэтому такие понятия, как производная и интеграл, по-прежнему применяются. Особенно часто это происходит в квантовой механике, где берется производная от кет или оператор. Это происходит, например, в общем случае, зависящем от времени. Уравнение Шредингера:

${ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} Psi = { hat {H}} Psi}$

где берется производная волновой функции, которая может быть элементом нескольких различных гильбертовых пространств.

Комплексная функция действительной переменной

А комплексная функция действительной переменной можно определить, ослабив в определении действительных функций ограничение области значений действительными числами и допустив сложный ценности.

Если ж(Икс) является такой комплексной функцией, ее можно разложить как

ж(Икс) = г(Икс) + ах(Икс),

где г и час - функции с действительными значениями. Другими словами, изучение комплекснозначных функций легко сводится к изучению пар действительнозначных функций.

Мощность множеств функций действительной переменной

В мощность множества действительных функций действительной переменной, ${ Displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {R}} = {е: mathbb {R} to mathbb {R} }}$, является ${ displaystyle beth _ {2} = 2 ^ { mathfrak {c}}}$, что строго больше, чем мощность континуум (т.е. совокупность всех действительных чисел). Этот факт легко проверяется кардинальной арифметикой:

${ displaystyle mathrm {card} ( mathbb {R} ^ { mathbb {R}}) = mathrm {card} ( mathbb {R}) ^ { mathrm {card} ( mathbb {R}) } = { mathfrak {c}} ^ { mathfrak {c}} = (2 ^ { aleph _ {0}}) ^ { mathfrak {c}} = 2 ^ { aleph _ {0} cdot { mathfrak {c}}} = 2 ^ { mathfrak {c}}}$.

Кроме того, если ${ displaystyle X}$ такое множество, что ${ Displaystyle 2 leq mathrm {карта} (X) leq { mathfrak {c}}}$, то мощность множества ${ Displaystyle X ^ { mathbb {R}} = {е: mathbb {R} to X }}$ это также ${ displaystyle 2 ^ { mathfrak {c}}}$, поскольку

${ displaystyle 2 ^ { mathfrak {c}} = mathrm {card} (2 ^ { mathbb {R}}) leq mathrm {card} (X ^ { mathbb {R}}) leq mathrm {card} ( mathbb {R} ^ { mathbb {R}}) = 2 ^ { mathfrak {c}}}$.

Однако набор непрерывные функции ${ Displaystyle C ^ {0} ( mathbb {R}) = {е: mathbb {R} to mathbb {R}: f mathrm {continuous} }}$ имеет строго меньшую мощность, мощность континуума, ${ displaystyle { mathfrak {c}}}$. Это следует из того факта, что непрерывная функция полностью определяется своим значением на плотном подмножестве своей области определения.^[2] Таким образом, мощность множества непрерывных действительных функций на вещественных числах не превосходит мощность множества вещественных функций рациональной переменной. По кардинальной арифметике:

${ displaystyle mathrm {card} (C ^ {0} ( mathbb {R})) leq mathrm {card} ( mathbb {R} ^ { mathbb {Q}}) = (2 ^ { алеф _ {0}}) ^ { алеф _ {0}} = 2 ^ { алеф _ {0} cdot aleph _ {0}} = 2 ^ { алеф _ {0}} = { mathfrak {c}}}$.

С другой стороны, поскольку между ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и набор постоянных функций ${ Displaystyle {е: mathbb {R} к mathbb {R}: е (х) эквив х_ {0} }}$, который образует подмножество ${ Displaystyle С ^ {0} ( mathbb {R})}$, ${ displaystyle mathrm {card} (C ^ {0} ( mathbb {R})) geq { mathfrak {c}}}$ также должен держаться. Следовательно, ${ displaystyle mathrm {card} (C ^ {0} ( mathbb {R})) = { mathfrak {c}}}$.

Смотрите также

• Реальный анализ
• Функция нескольких вещественных переменных
• Комплексный анализ
• Несколько сложных переменных

использованная литература

• Ф. Эйрес, Э. Мендельсон (2009). Исчисление. Серия набросков Шаума (5-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-150861-2.
• Р. Вреде, М. Р. Шпигель (2010). Расширенный расчет. Серия набросков Шаума (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-162366-7.
• Н. Бурбаки (2004). Функции действительной переменной: элементарная теория. Springer. ISBN  354-065-340-6.

внешние ссылки

• Многопараметрическое исчисление
• Л. А. Талман (2007) Дифференцируемость функций многих переменных.