Уникальное решение - Singular solution

А единственное решение у_s(Икс) из обыкновенное дифференциальное уравнение это решение, которое единственное число или тот, для которого проблема начального значения (также называемая некоторыми авторами задачей Коши) не может иметь единственного решения в какой-то момент решения. Множество, на котором решение является сингулярным, может быть размером от одной точки или до целой реальной прямой. Решения, которые являются сингулярными в том смысле, что проблема начальной стоимости не может иметь единственного решения, не должны быть сингулярные функции.

В некоторых случаях термин единственное решение используется для обозначения решения, при котором отсутствует уникальность проблемы начального значения в каждой точке кривой. Особое решение в этом более сильном смысле часто дается как касательная к каждому решению из семейства решений. К касательная мы имеем в виду, что есть смысл Икс куда у_s(Икс) = у_c(Икс) и y '_s(Икс) = y '_c(Икс) куда у_c является решением в семействе решений, параметризованном c. Это означает, что сингулярным решением является конверт семейства решений.

Обычно особые решения возникают в дифференциальных уравнениях, когда возникает необходимость разделить член, который может быть равен нуль. Следовательно, когда кто-то решает дифференциальное уравнение и использует деление, необходимо проверить, что произойдет, если член равен нулю, и приведет ли оно к сингулярному решению. В Теорема Пикара – Линделёфа, который дает достаточные условия существования уникальных решений, может использоваться для исключения существования особых решений. Другие теоремы, такие как Теорема существования Пеано, дают достаточные условия для существования решений, не обязательно уникальных, что может допускать существование особых решений.

Дивергентное решение

Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

{ displaystyle xy '(x) + 2y (x) = 0, , !}

где штрихи обозначают производные по Икс. Общее решение этого уравнения:

{ Displaystyle у (х) = Cx ^ {- 2}. , !}

Для данного ${ displaystyle C}$ , это решение гладкое, за исключением ${ displaystyle x = 0}$ где решение расходится. Кроме того, для данного ${ Displaystyle х not = 0}$ , это уникальное решение, проходящее через ${ Displaystyle (х, у (х))}$ .

Отсутствие уникальности

Рассмотрим дифференциальное уравнение

{ Displaystyle у '(х) ^ {2} = 4у (х). , !}

Однопараметрическое семейство решений этого уравнения имеет вид

{ Displaystyle у_ {с} (х) = (х-с) ^ {2}. , !}

Другое решение дается

{ Displaystyle у_ {s} (х) = 0. , !}

Поскольку изучаемое уравнение является уравнением первого порядка, начальными условиями являются начальные Икс и у значения. Рассматривая два набора решений выше, можно увидеть, что решение не может быть уникальным, когда ${ displaystyle y = 0}$ . (Можно показать, что для ${ displaystyle y> 0}$ если выбрана единственная ветвь квадратного корня, то существует локальное решение, которое является уникальным с использованием Теорема Пикара – Линделёфа.) Таким образом, все вышеперечисленные решения являются сингулярными решениями в том смысле, что решение не может быть единственным в окрестности одной или нескольких точек. (Обычно в этих точках мы говорим, что "единственность терпит неудачу".) Для первого набора решений единственность терпит неудачу в одной точке, ${ displaystyle x = c}$ , а для второго решения уникальность не выполняется при каждом значении ${ displaystyle x}$ . Таким образом, решение ${ displaystyle y_ {s}}$ является сингулярным решением в том более сильном смысле, что единственность не выполняется при любом значении Икс. Однако это не сингулярная функция поскольку он и все его производные непрерывны.

В этом примере решение ${ Displaystyle у_ {s} (х) = 0}$ оболочка семейства решений ${ Displaystyle у_ {с} (х) = (х-с) ^ {2}}$ . Решение ${ displaystyle y_ {s}}$ касается каждой кривой ${ Displaystyle у_ {с} (х)}$ в момент ${ displaystyle (c, 0)}$ .

Отсутствие уникальности можно использовать для построения большего количества решений. Их можно найти, взяв две постоянные ${ displaystyle c_ {1}$ и определение решения ${ Displaystyle у (х)}$ быть ${ Displaystyle (х-с_ {1}) ^ {2}}$ когда ${ Displaystyle х$ , быть ${ displaystyle 0}$ когда ${ Displaystyle c_ {1} leq x leq c_ {2}}$ , и быть ${ Displaystyle (х-с_ {2}) ^ {2}}$ когда ${ displaystyle x> c_ {2}}$ . Прямой расчет показывает, что это решение дифференциального уравнения в каждой точке, включая ${ displaystyle x = c_ {1}}$ и ${ displaystyle x = c_ {2}}$ . Для этих решений на интервале ${ Displaystyle c_ {1} leq x leq c_ {2}}$ , а решения сингулярны в том смысле, что второй производной не существует, при ${ displaystyle x = c_ {1}}$ и ${ displaystyle x = c_ {2}}$ .

Еще один пример отказа от уникальности

Предыдущий пример может создать ошибочное впечатление, что отсутствие уникальности напрямую связано с ${ Displaystyle у (х) = 0}$ . Нарушение уникальности также можно увидеть в следующем примере Уравнение Клеро:

{ Displaystyle у (х) = х cdot у '+ (у') ^ {2} , !}

Мы пишем у '= р а потом

{ Displaystyle у (х) = х CDOT р + (р) ^ {2}. , !}

Теперь возьмем дифференциал согласно Икс:

{ displaystyle p = y '= p + xp' + 2pp ', !}

что простым алгебра дает

{ displaystyle 0 = (2p + x) p '. , !}

Это условие решается, если 2р + х = 0 или если p '= 0.

Если п' = 0 это означает, что у '= р = с = константа, и общее решение этого нового уравнения:

{ Displaystyle у_ {с} (х) = с cdot х + с ^ {2} , !}

куда c определяется начальным значением.

Если Икс + 2п = 0, то получаем п = −(1/2)Икс и подстановка в ОДУ дает

{ displaystyle y_ {s} (x) = - (1/2) x ^ {2} + (- (1/2) x) ^ {2} = - (1/4) cdot x ^ {2} . , !}

Теперь проверим, когда эти решения являются сингулярными решениями. Если два решения пересекаются друг с другом, то есть оба проходят через одну и ту же точку (х, у), то существует нарушение единственности обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Таким образом, не будет единственности, если решение первой формы пересекает второе решение.

Условие пересечения: у_s(Икс) = у_c(Икс). Мы решаем