Каноническое преобразование - Canonical transformation

В Гамильтонова механика, а каноническое преобразование это смена канонические координаты (q, п, т) → (Q, п, т) что сохраняет форму Уравнения Гамильтона. Иногда это называют инвариантность формы. Необязательно сохранять форму Гамильтониан сам. Канонические преобразования полезны сами по себе, а также составляют основу для Уравнения Гамильтона – Якоби (полезный метод расчета сохраненные количества ) и Теорема Лиувилля (сама основа для классических статистическая механика ).

С Лагранжева механика основан на обобщенные координаты, преобразования координат q → Q не влияют на форму Уравнения Лагранжа и, следовательно, не влияют на форму Уравнения Гамильтона если мы одновременно изменим импульс на Превращение Лежандра в

${ displaystyle P_ {i} = { frac { partial L} { partial { dot {Q}} _ {i}}}.}$

Следовательно, преобразования координат (также называемые точечные преобразования) площадь тип канонического преобразования. Однако класс канонических преобразований намного шире, поскольку старые обобщенные координаты, импульсы и даже время могут быть объединены для образования новых обобщенных координат и импульсов. Канонические преобразования, которые явно не включают время, называются ограниченные канонические преобразования (во многих учебниках рассматривается только этот тип).

Для ясности мы ограничим представление здесь исчисление и классическая механика. Читатели, знакомые с более сложной математикой, такой как котангенсные пучки, внешние производные и симплектические многообразия следует прочитать соответствующие симплектоморфизм статья. (Канонические преобразования - это частный случай симплектоморфизма.) Однако краткое введение в современное математическое описание включено в конце этой статьи.

Обозначение

Жирным шрифтом переменные, такие как q представляют собой список N обобщенные координаты это не должно трансформироваться как вектор под вращение, например,

${ displaystyle mathbf {q} Equiv left (q_ {1}, q_ {2}, ldots, q_ {N-1}, q_ {N} right).}$

Точка над переменной или списком означает производную по времени, например,

${ displaystyle { dot { mathbf {q}}} Equiv { frac {d mathbf {q}} {dt}}.}$

В скалярное произведение обозначение между двумя списками с одинаковым числом координат является сокращением суммы произведений соответствующих компонентов, например,

${ displaystyle mathbf {p} cdot mathbf {q} Equiv sum _ {k = 1} ^ {N} p_ {k} q_ {k}.}$

Скалярное произведение (также известное как «внутренний продукт») отображает два списка координат в одну переменную, представляющую одно числовое значение.

Прямой подход

Функциональная форма Уравнения Гамильтона является

${ displaystyle { begin {align} { dot { mathbf {p}}} & = - { frac { partial H} { partial mathbf {q}}} { dot { mathbf { q}}} & = { frac { partial H} { partial mathbf {p}}} end {align}}}$

По определению преобразованные координаты имеют аналогичную динамику

${ displaystyle { begin {align} { dot { mathbf {P}}} & = - { frac { partial K} { partial mathbf {Q}}} { dot { mathbf { Q}}} & = { frac { partial K} { partial mathbf {P}}} end {выравнивается}}}$

куда K(Q, п) - новый гамильтониан (иногда называемый камильтонианом^[1]), который необходимо определить.

В общем, трансформация (q, п, т) → (Q, п, т) не сохраняет форму Уравнения Гамильтона. Для не зависящих от времени преобразований между (q, п) и (Q, п) мы можем проверить, является ли преобразование ограниченным каноническим, следующим образом. Поскольку ограниченные преобразования не имеют явной зависимости от времени (по определению), производная по времени новой обобщенной координаты Q_м является

${ displaystyle { begin {align} { dot {Q}} _ {m} & = { frac { partial Q_ {m}} { partial mathbf {q}}} cdot { dot { mathbf {q}}} + { frac { partial Q_ {m}} { partial mathbf {p}}} cdot { dot { mathbf {p}}} & = { frac { частичный Q_ {m}} { partial mathbf {q}}} cdot { frac { partial H} { partial mathbf {p}}} - { frac { partial Q_ {m}} { частичный mathbf {p}}} cdot { frac { partial H} { partial mathbf {q}}} & = lbrace Q_ {m}, H rbrace end {выровнено}}}$

куда {⋅, ⋅} это Скобка Пуассона.

Также имеется тождество для сопряженного импульса п_м

${ displaystyle { frac { partial H} { partial P_ {m}}} = { frac { partial H} { partial mathbf {q}}} cdot { frac { partial mathbf { q}} { partial P_ {m}}} + { frac { partial H} { partial mathbf {p}}} cdot { frac { partial mathbf {p}} { partial P_ { m}}}}$

Если преобразование каноническое, эти два должны быть равны, что приводит к уравнениям

${ displaystyle { begin {align} left ({ frac { partial Q_ {m}} { partial p_ {n}}} right) _ { mathbf {q}, mathbf {p}} & = - left ({ frac { partial q_ {n}} { partial P_ {m}}} right) _ { mathbf {Q}, mathbf {P}} left ({ frac { partial Q_ {m}} { partial q_ {n}}} right) _ { mathbf {q}, mathbf {p}} & = left ({ frac { partial p_ {n}} { partial P_ {m}}} right) _ { mathbf {Q}, mathbf {P}} end {align}}}$

Аналогичное рассуждение для обобщенных импульсов п_м приводит к двум другим системам уравнений

${ displaystyle { begin {align} left ({ frac { partial P_ {m}} { partial p_ {n}}} right) _ { mathbf {q}, mathbf {p}} & = left ({ frac { partial q_ {n}} { partial Q_ {m}}} right) _ { mathbf {Q}, mathbf {P}} left ({ frac { partial P_ {m}} { partial q_ {n}}} right) _ { mathbf {q}, mathbf {p}} & = - left ({ frac { partial p_ {n}} { partial Q_ {m}}} right) _ { mathbf {Q}, mathbf {P}} end {align}}}$

Эти прямые условия чтобы проверить, является ли данное преобразование каноническим.

Теорема Лиувилля

Прямые условия позволяют нам доказать Теорема Лиувилля, в котором говорится, что объем в фазовом пространстве сохраняется при канонических преобразованиях, т.е.

${ displaystyle int mathrm {d} mathbf {q} , mathrm {d} mathbf {p} = int mathrm {d} mathbf {Q} , mathrm {d} mathbf { П} }$

К исчисление, последний интеграл должен быть равен первому, умноженному на Якобиан J

${ displaystyle int mathrm {d} mathbf {Q} , mathrm {d} mathbf {P} = int J , mathrm {d} mathbf {q} , mathrm {d} mathbf {p}}$

где якобиан - это детерминант из матрица из частные производные, который мы запишем как

${ Displaystyle J экв { гидроразрыва { partial ( mathbf {Q}, mathbf {P})} { partial ( mathbf {q}, mathbf {p})}}}$

Используя свойство "разделения" Якобианцы дает

${ Displaystyle J Equiv { frac { partial ( mathbf {Q}, mathbf {P})} { partial ( mathbf {q}, mathbf {P})}} left / { frac { partial ( mathbf {q}, mathbf {p})} { partial ( mathbf {q}, mathbf {P})}} right.}$

Устранение повторяющихся переменных дает

${ Displaystyle J Equiv { frac { partial ( mathbf {Q})} { partial ( mathbf {q})}} left / { frac { partial ( mathbf {p})} { partial ( mathbf {P})}} right.}$

Применение прямые условия выше урожайности J = 1.

Подход с производящей функцией

К гарантия действительное преобразование между (q, п, ЧАС) и (Q, п, K), мы можем прибегнуть к косвенному производящая функция подход. Оба набора переменных должны подчиняться Принцип Гамильтона. Это Интегральное действие над Лагранжиан ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {qp} = mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) }$ и ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {QP} = mathbf {P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) }$ соответственно, полученные гамильтонианом через ("обратный") Превращение Лежандра, оба должны быть стационарными (чтобы можно было использовать Уравнения Эйлера – Лагранжа. прийти к уравнениям указанной и обозначенной формы; как показано на примере Вот ):

${ displaystyle { begin {align} delta int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left [ mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) right] dt & = 0 delta int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left [ mathbf {P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) right] dt & = 0 end {выравнивается}}}$

Один способ для обоих вариационный интеграл равенство, которое необходимо удовлетворить, это иметь

${ displaystyle lambda left [ mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) right] = mathbf { P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) + { frac {dG} {dt}}}$

Лагранжианы не уникальны: всегда можно умножить на константу λ и добавить полную производную по времени dG/dt и дают те же уравнения движения (см. для справки: [1] ).

В общем, коэффициент масштабирования λ устанавливается равным единице; канонические преобразования, для которых λ ≠ 1 называются расширенные канонические преобразования. dG/dt сохраняется, иначе проблема была бы тривиальной, и у новых канонических переменных не было бы большой свободы отличаться от старых.

Здесь грамм это производящая функция одного старого каноническая координата (q или же п), один новый каноническая координата (Q или же п) и (возможно) время т. Таким образом, существует четыре основных типа производящих функций (хотя могут существовать смеси этих четырех типов) в зависимости от выбора переменных. Как будет показано ниже, производящая функция будет определять преобразование от старого к новому. канонические координаты, и любое такое преобразование (q, п) → (Q, п) гарантированно каноничен.

Производящая функция типа 1

Производящая функция типа 1 грамм₁ зависит только от старых и новых обобщенных координат

${ Displaystyle G Equiv G_ {1} ( mathbf {q}, mathbf {Q}, t)}$

Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

${ displaystyle mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) = mathbf {P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) + { frac { partial G_ {1}} { partial t}} + { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {q}}} cdot { dot { mathbf {q}}} + { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {Q}}} cdot { dot { mathbf {Q}}}}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

${ displaystyle { begin {align} mathbf {p} & = { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {q}}} mathbf {P} & = - { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {Q}}} K & = H + { frac { partial G_ {1}} { partial t}} end {align}}}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, п) → (Q, п) следующее. В первый набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {p} = { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {q}}}}$

определить отношения между новыми обобщенные координаты Q и старый канонические координаты (q, п). В идеале эти отношения можно инвертировать, чтобы получить формулы для каждого Q_k как функция старых канонических координат. Подстановка этих формул на Q координаты в второй набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {P} = - { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {Q}}}}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов п с точки зрения старого канонические координаты (q, п). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить Старый канонические координаты (q, п) как функции новый канонические координаты (Q, п). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

${ Displaystyle К = Н + { гидроразрыва { partial G_ {1}} { partial t}}}$

дает формулу для K как функция нового канонические координаты (Q, п).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что производящая функция обычно проста. Например, пусть

${ Displaystyle G_ {1} эквив mathbf {q} cdot mathbf {Q}}$

Это приводит к замене обобщенных координат на импульсы и наоборот.

${ displaystyle { begin {align} mathbf {p} & = { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {q}}} = mathbf {Q} mathbf {P} & = - { frac { partial G_ {1}} { partial mathbf {Q}}} = - mathbf {q} end {выровнено}}}$

и K = ЧАС. Этот пример показывает, насколько независимы координаты и импульсы в гамильтоновой формулировке; они эквивалентные переменные.

Производящая функция типа 2

Производящая функция типа 2 грамм₂ зависит только от старого обобщенные координаты и новые обобщенные импульсы

${ Displaystyle G Equiv - mathbf {Q} cdot mathbf {P} + G_ {2} ( mathbf {q}, mathbf {P}, t)}$

где ${ displaystyle - mathbf {Q} cdot mathbf {P}}$ термины представляют собой Превращение Лежандра , чтобы изменить правую часть уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

${ displaystyle mathbf {p} cdot { dot { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) = - mathbf {Q} cdot { dot { mathbf {P}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) + { frac { partial G_ {2}} { partial t}} + { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {q}}} cdot { dot { mathbf {q}}} + { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {P}}} cdot { dot { mathbf {P}}}}$

Поскольку старые координаты и новые импульсы независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

${ displaystyle { begin {align} mathbf {p} & = { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {q}}} mathbf {Q} & = { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {P}}} K & = H + { frac { partial G_ {2}} { partial t}} end {align}}}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, п) → (Q, п) следующее. В первый набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {p} = { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {q}}}}$

определить отношения между новыми обобщенными импульсами п и старый канонические координаты (q, п). В идеале эти отношения можно инвертировать, чтобы получить формулы для каждого п_k как функция старых канонических координат. Подстановка этих формул на п координаты в второй набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {Q} = { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {P}}}}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q с точки зрения старого канонические координаты (q, п). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить Старый канонические координаты (q, п) как функции новый канонические координаты (Q, п). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

${ Displaystyle К = Н + { гидроразрыва { partial G_ {2}} { partial t}}}$

дает формулу для K как функция нового канонические координаты (Q, п).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что производящая функция обычно проста. Например, пусть

${ Displaystyle G_ {2} Equiv mathbf {g} ( mathbf {q}; t) cdot mathbf {P}}$

куда грамм это набор N функции. Это приводит к точечному преобразованию обобщенных координат

${ Displaystyle mathbf {Q} = { frac { partial G_ {2}} { partial mathbf {P}}} = mathbf {g} ( mathbf {q}; t)}$

Производящая функция типа 3

Производящая функция типа 3 грамм₃ зависит только от старых обобщенных импульсов и новых обобщенных координат

${ Displaystyle G Equiv mathbf {q} cdot mathbf {p} + G_ {3} ( mathbf {p}, mathbf {Q}, t)}$

где ${ displaystyle mathbf {q} cdot mathbf {p}}$ термины представляют собой Превращение Лежандра , чтобы изменить левую часть уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

${ displaystyle - mathbf {q} cdot { dot { mathbf {p}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) = mathbf {P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) + { frac { partial G_ {3}} { partial t}} + { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {p}}} cdot { dot { mathbf {p}}} + { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {Q}}} cdot { dot { mathbf {Q}}}}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

${ displaystyle { begin {align} mathbf {q} & = - { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {p}}} mathbf {P} & = - { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {Q}}} K & = H + { frac { partial G_ {3}} { partial t}} end {выровнено}}}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, п) → (Q, п) следующее. В первый набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {q} = - { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {p}}}}$

определить отношения между новыми обобщенные координаты Q и старый канонические координаты (q, п). В идеале эти отношения можно инвертировать, чтобы получить формулы для каждого Q_k как функция старых канонических координат. Подстановка этих формул на Q координаты в второй набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {P} = - { frac { partial G_ {3}} { partial mathbf {Q}}}}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных импульсов п с точки зрения старого канонические координаты (q, п). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить Старый канонические координаты (q, п) как функции новый канонические координаты (Q, п). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

${ displaystyle K = H + { frac { partial G_ {3}} { partial t}}}$

дает формулу для K как функция нового канонические координаты (Q, п).

На практике эта процедура проще, чем кажется, потому что производящая функция обычно проста.

Производящая функция типа 4

Производящая функция типа 4 ${ Displaystyle G_ {4} ( mathbf {p}, mathbf {P}, t)}$ зависит только от старых и новых обобщенных импульсов

${ Displaystyle G Equiv mathbf {q} cdot mathbf {p} - mathbf {Q} cdot mathbf {P} + G_ {4} ( mathbf {p}, mathbf {P}, т )}$

где ${ Displaystyle mathbf {q} cdot mathbf {p} - mathbf {Q} cdot mathbf {P}}$ термины представляют собой Превращение Лежандра чтобы изменить обе стороны уравнения ниже. Чтобы вывести неявное преобразование, мы расширяем определяющее уравнение выше

${ displaystyle - mathbf {q} cdot { dot { mathbf {p}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t) = - mathbf {Q} cdot { точка { mathbf {P}}} - K ( mathbf {Q}, mathbf {P}, t) + { frac { partial G_ {4}} { partial t}} + { frac { частичный G_ {4}} { partial mathbf {p}}} cdot { dot { mathbf {p}}} + { frac { partial G_ {4}} { partial mathbf {P}} } cdot { dot { mathbf {P}}}}$

Поскольку каждая новая и старая координаты независимы, следующие 2N + 1 уравнения должны выполняться

${ displaystyle { begin {align} mathbf {q} & = - { frac { partial G_ {4}} { partial mathbf {p}}} mathbf {Q} & = { frac { partial G_ {4}} { partial mathbf {P}}} K & = H + { frac { partial G_ {4}} { partial t}} end {выровнено}}}$

Эти уравнения определяют преобразование (q, п) → (Q, п) следующее. В первый набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {q} = - { frac { partial G_ {4}} { partial mathbf {p}}}}$

определить отношения между новыми обобщенными импульсами п и старый канонические координаты (q, п). В идеале эти отношения можно инвертировать, чтобы получить формулы для каждого п_k как функция старых канонических координат. Подстановка этих формул на п координаты в второй набор из N уравнения

${ displaystyle mathbf {Q} = { frac { partial G_ {4}} { partial mathbf {P}}}}$

дает аналогичные формулы для новых обобщенных координат Q с точки зрения старого канонические координаты (q, п). Затем мы инвертируем оба набора формул, чтобы получить Старый канонические координаты (q, п) как функции новый канонические координаты (Q, п). Подстановка перевернутых формул в окончательное уравнение

${ displaystyle K = H + { frac { partial G_ {4}} { partial t}}}$

дает формулу для K как функция нового канонические координаты (Q, п).

Движение как каноническое преобразование

Само движение (или, что то же самое, сдвиг начала отсчета времени) является каноническим преобразованием. Если ${ Displaystyle mathbf {Q} (т) экв mathbf {д} (т + тау)}$ и ${ Displaystyle mathbf {п} (т) экв mathbf {р} (т + тау)}$, тогда Принцип Гамильтона автоматически удовлетворяется

${ displaystyle delta int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left [ mathbf {P} cdot { dot { mathbf {Q}}} - K ( mathbf {Q} , mathbf {P}, t) right] dt = delta int _ {t_ {1} + tau} ^ {t_ {2} + tau} left [ mathbf {p} cdot { точка { mathbf {q}}} - H ( mathbf {q}, mathbf {p}, t + tau) right] dt = 0}$

так как действительная траектория ${ Displaystyle ( mathbf {д} (т), mathbf {р} (т))}$ всегда должен удовлетворять Принцип Гамильтона, независимо от конечных точек.

Современное математическое описание

С математической точки зрения, канонические координаты - любые координаты на фазовом пространстве (котангенсный пучок ) системы, которые позволяют каноническая одноформа быть написанным как

${ Displaystyle сумма _ {я} р_ {я} , dq ^ {я}}$

до полного дифференциала (точная форма ). Изменение переменной между одним набором канонических координат и другим является каноническое преобразование. Индекс обобщенные координаты q здесь написано как надстрочный индекс (${ Displaystyle д ^ {я}}$), а не как нижний индекс как сделано выше (${ displaystyle q_ {i}}$). Верхний индекс обозначает контравариантные свойства преобразования обобщенных координат и делает нет означают, что координата возводится в степень. Более подробную информацию можно найти на симплектоморфизм статья.

История

Первое крупное применение канонического преобразования было в 1846 г. Шарль Делоне, в изучении Система Земля-Луна-Солнце. Результатом этой работы стало издание пары больших томов как Воспоминания посредством Французская Академия Наук, в 1860 и 1867 гг.

Смотрите также

• Симплектоморфизм
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Теорема Лиувилля (гамильтониан)
• Преобразование Матьё
• Линейное каноническое преобразование

Рекомендации

• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN  0-201-02918-9.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (1975) [1939]. Механика. Переведено Белл, С. Дж.; Сайкс, Дж. Б. (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN  978-0-7506-28969.CS1 maint: ref = harv (связь)