Принцип соответствия - Correspondence principle

В физика, то принцип соответствия утверждает, что поведение систем описывается теорией квантовая механика (или старая квантовая теория ) воспроизводит классическая физика в пределе большого квантовые числа. Другими словами, в нем говорится, что для больших орбиты и для больших энергии, квантовые расчеты должны согласовываться с классическими расчетами.^[1]

Принцип сформулировал Нильс Бор в 1920 г.^[2] хотя ранее он использовал его еще в 1913 году при разработке своего модель атома.^[3]

Этот термин кодифицирует идею о том, что новая теория должна при определенных условиях воспроизводить результаты более старых, устоявшихся теорий в тех областях, где работают старые теории. Эта концепция несколько отличается от требований формального предел при котором новая теория сводится к старой, благодаря наличию параметра деформации.^{[требуется разъяснение ]}

Классические величины появляются в квантовой механике в виде ожидаемые значения наблюдаемых, и как таковые Теорема Эренфеста (который предсказывает эволюцию ожидаемых значений во времени) подтверждает принцип соответствия.

Квантовая механика

Правила квантовой механики очень хорошо подходят для описания микроскопических объектов, атомы и элементарные частицы. Но макроскопические системы,^[4] любить пружины и конденсаторы, точно описываются классическими теориями вроде классическая механика и классическая электродинамика. Если квантовая механика применима к макроскопическим объектам, должен быть какой-то предел, в котором квантовая механика сводится к классической механике. Принцип соответствия Бора требует, чтобы классическая физика и квантовая физика давали одинаковый ответ, когда системы становятся большими..^[5] Арнольд Зоммерфельд назвал принцип "Bohrs Zauberstab" (волшебная палочка Бора) в 1921 году.^[6]

Условия, при которых совпадают квантовая и классическая физика, называются лимит переписки, или классический предел. Бор дал примерный рецепт предела соответствия: это происходит когда квантовые числа, описывающие систему, велики. Более подробный анализ квантово-классического соответствия (QCC) в расширении волновых пакетов приводит к различию между надежным «ограниченным QCC» и хрупким «детальным QCC».^[7] «Ограниченный QCC» относится к первым двум моментам распределения вероятностей и является истинным, даже когда волновые пакеты дифрагируют, в то время как «подробный QCC» требует гладких потенциалов, которые изменяются в масштабах, намного превышающих длину волны, что и считал Бор.

В новая квантовая теория после 1925 г. пришел в двух разных составах. В матричная механика, принцип соответствия был встроен и использовался при построении теории. в Подход Шредингера классическое поведение неясно, потому что волны распространяются по мере движения. После того как уравнению Шредингера была дана вероятностная интерпретация, Эренфест показал что законы Ньютона выполняются в среднем: квантово-статистическое математическое ожидание положения и импульса подчиняется законам Ньютона.

Принцип соответствия - один из инструментов, доступных физикам для выбора квантовых теорий, соответствующих реальность. В принципы квантовой механики широкие: состояния физической системы образуют комплексное векторное пространство и физические наблюдаемые идентифицируются с Эрмитовы операторы которые действуют на этом Гильбертово пространство. Принцип соответствия ограничивает выбор теми, которые воспроизводят классическую механику в пределе соответствия.

Поскольку квантовая механика воспроизводит классическую механику только в статистической интерпретации, и поскольку статистическая интерпретация дает только вероятности различных классических результатов, Бор утверждал, что квантовая физика не сводится к классической механике так же, как классическая механика возникает как приближение специальная теория относительности на маленьком скорости. Он утверждал, что классическая физика существует независимо от квантовой теории и не может быть выведена из нее. Его позиция заключалась в том, что неуместно понимать переживания наблюдателей, используя чисто квантово-механические понятия, такие как волновые функции, потому что различные состояния опыта наблюдателя определены классически и не имеют квантово-механического аналога. В интерпретация относительного состояния квантовой механики - это попытка понять опыт наблюдателей, используя только квантово-механические понятия. Нильс Бор был одним из первых противников таких интерпретаций.

Однако многие из этих концептуальных проблем решаются в фазовая формулировка квантовой механики, где одинаковые переменные с одинаковой интерпретацией используются для описания как квантовой, так и классической механики.

Другие научные теории

Термин «принцип соответствия» используется в более общем смысле для обозначения редукции нового научная теория к более ранней научной теории при соответствующих обстоятельствах. Это требует, чтобы новая теория объясняла все явления при обстоятельствах, для которых, как было известно, действовала предыдущая теория, - «предел соответствия».

Например,

Эйнштейна специальная теория относительности удовлетворяет принципу соответствия, поскольку сводится к классической механике в пределе скоростей, малых по сравнению с скорость света (пример ниже);
Общая теория относительности сводится к Ньютоновская гравитация в пределе слабых гравитационных полей;
Теория Лапласа небесная механика сводится к Кеплеру, когда игнорируются межпланетные взаимодействия;
Статистическая механика воспроизводит термодинамику при большом количестве частиц;
В биологии теория наследования хромосом воспроизводит законы наследования Менделя в той области, где наследственные факторы кодируют белки. гены.

Чтобы было соответствие, более ранняя теория должна иметь область достоверности - она должна работать под немного условия. Не все теории имеют область действия. Например, нет предела, когда механика Ньютона сводится к Механика Аристотеля потому что механика Аристотеля, хотя и доминирующая в академической среде на протяжении 18 веков, не имеет какой-либо области достоверности (с другой стороны, можно разумно сказать, что падение предметов в воздухе («естественное движение») составляет область действия для часть Механика Аристотеля).

Примеры

Модель Бора

Если электрон в атоме движется по орбите с периодом $Т$ , как правило, электромагнитное излучение повторяется каждый период обращения. Если связь с электромагнитным полем слабая, так что орбита не сильно затухает за один цикл, излучение будет испускаться по схеме, которая повторяется каждый период, так что преобразование Фурье будет иметь частоты, которые только кратны $1/ Т$ . Это классический закон излучения: излучаемые частоты являются целыми кратными $1/ Т$ .

В квантовой механике это излучение должно происходить в квантах света с частотами, состоящими из целых кратных $1/ Т$ , так что классическая механика является приближенным описанием при больших квантовых числах. Это означает, что уровень энергии, соответствующий классической орбите периода $1/ Т$ должны иметь близкие энергетические уровни, которые различаются по энергии на $ч / т$ , и они должны быть расположены на равном расстоянии около этого уровня,

{ displaystyle Delta E_ {n} = {h over T (E_ {n})} ~.}

Бор волновался, будет ли энергетический интервал 1 / $Т$ лучше всего рассчитывать с периодом энергетического состояния ${ displaystyle E_ {n}}$ , или ${ displaystyle E_ {n + 1}}$ , или какое-то среднее - в ретроспективе эта модель является лишь ведущим полуклассическим приближением.

Бор считал круговые орбиты. Классически эти орбиты должны распадаться на меньшие круги при испускании фотонов. Расстояние между круговыми орбитами можно рассчитать по формуле соответствия. Для атома водорода классические орбиты имеют период $Т$ определяется по Третий закон Кеплера масштабироваться как $р 3/2$ . Энергия масштабируется как $1/ р$ , поэтому формула расстояния между уровнями составляет

{ displaystyle Delta E propto {1 over r ^ {3 over 2}} propto E ^ {3 over 2}.}

Можно определить уровни энергии, рекурсивно снижаясь с орбиты за орбитой, но есть короткий путь.

Угловой момент $L$ масштабов круговой орбиты как $\sqrt р$ . Тогда энергия в единицах углового момента равна

{ displaystyle E propto {1 over r} propto {1 over L ^ {2}}.}

Предполагая вместе с Бором, что квантованные значения $L$ равноудалены, расстояние между соседними энергиями равно

{ displaystyle Delta E propto {1 over (L + hbar) ^ {2}} - {1 over L ^ {2}} приблизительно - {2 hbar over L ^ {3}} propto -E ^ {3 over 2}.}

Это желательно для равноотстоящих угловых моментов. Если следить за константами, интервал будет $час$ , поэтому угловой момент должен быть целым числом, кратным $час$ ,

{ displaystyle L = {nh over 2 pi} = n hbar ~.}

Так Бор пришел к модель. Поскольку только уровень интервал определяется эвристически по принципу соответствия, всегда можно добавить небольшое фиксированное смещение к квантовому числу - $L$ с таким же успехом мог быть $(п +.338) час$ .

Бор использовал свою физическую интуицию, чтобы решить, какие величины лучше всего квантовать. Это свидетельство его мастерства, что он смог получить так много от того, что есть только ведущий заказ приближение. Менее эвристический подход учитывает необходимые смещения в основном состоянии. L², ср. Преобразование Вигнера – Вейля.

Одномерный потенциал

Условие соответствия Бора может быть решено для энергий уровней в общем одномерном потенциале. Определите количество $J (E)$ которая является функцией только энергии и обладает тем свойством, что

{ displaystyle {dJ over dE} = T}

Это аналог углового момента в случае круговых орбит. Орбиты, выбранные по принципу соответствия, подчиняются $J = нэ$ для $п$ целое число, поскольку

{ displaystyle Delta E = E_ {n + 1} -E_ {n} = {dE over dJ} (J_ {n + 1} -J_ {n}) = {1 over T} , Delta J }

Это количество $J$ канонически сопряжена с переменной $θ$ который, по Уравнения Гамильтона движения изменяется со временем как градиент энергии с $J$ . Поскольку он всегда равен обратному периоду, переменная $θ$ постоянно увеличивается от 0 до 1 за один период.

Переменная угла возвращается к себе после увеличения на 1 единицу, поэтому геометрия фазового пространства в $J, θ$ координаты - это полуцилиндр, закрытый на $J$ = 0, что является неподвижной орбитой при наименьшем значении энергии. Эти координаты так же каноничны, как и $Икс, п$ , но теперь орбиты представляют собой линии постоянного $J$ вместо вложенных яйцеклеток в $Икс - п$ Космос.

Площадь, ограниченная орбитой, равна инвариантный при канонических преобразованиях, так что то же самое в $Икс - п$ пространство как в $J - θ$ . Но в $J - θ$ координаты, эта область представляет собой площадь цилиндра с единичной окружностью от 0 до $J$ , или просто $J$ . Так $J$ равна площади, ограниченной орбитой в $х-р$ координаты тоже,

{ Displaystyle J = int _ {0} ^ {T} p {dx over dt} , dt ~.}

Правило квантования состоит в том, что переменная действия $J$ является целым числом, кратным $час$ .

Мультипериодическое движение: квантование Бора – Зоммерфельда

Принцип соответствия Бора позволил найти квазиклассическое правило квантования для системы с одной степенью свободы. Это был аргумент в пользу старого квантового состояния, в основном независимого от того, что было разработано Вена и Эйнштейн, который сосредоточился на адиабатическая инвариантность. Но оба указали на одно и то же количество, действие.

Бор не хотел распространять это правило на системы со многими степенями свободы. Этот шаг был сделан Зоммерфельд, который предложил общее правило квантования для интегрируемый система

{ Displaystyle J_ {k} = hn_ {k}. ,}

Каждая переменная действия - это отдельное целое число, отдельное квантовое число.

Это условие воспроизводит условие круговой орбиты для двумерного движения: пусть $г, θ$ - полярные координаты для центрального потенциала. потом $θ$ уже является угловой переменной, а сопряженный канонический импульс равен $L$ , угловой момент. Итак, квантовое условие для $L$ воспроизводит правило Бора:

{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} Ld theta = 2 pi L = nh.}

Это позволило Зоммерфельду обобщить теорию круговых орбит Бора на эллиптические орбиты, показав, что уровни энергии одинаковы. Он также обнаружил некоторые общие свойства квантового углового момента, которые в то время казались парадоксальными. Один из этих результатов заключался в том, что z-компонента углового момента, классический наклон орбиты относительно оси z, могла принимать только дискретные значения, что, казалось, противоречило инвариантности вращения. Это называлось квантование пространства какое-то время, но этот термин потерял популярность в новой квантовой механике, поскольку квантование пространства не задействовано.

В современной квантовой механике принцип суперпозиции ясно показывает, что вращательная инвариантность не теряется. Можно вращать объекты с дискретной ориентацией для создания суперпозиций других дискретных ориентаций, и это разрешает интуитивные парадоксы модели Зоммерфельда.

Квантовый гармонический осциллятор

Вот демонстрация^[8]о том, как большие квантовые числа могут привести к классическому (непрерывному) поведению.

Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Квантовая механика говорит нам, что общая (кинетическая и потенциальная) энергия осциллятора, $E$ , имеет набор дискретных значений,

{ Displaystyle Е = (N + 1/2) HBAR Omega, N = 0,1,2,3, точки ~,}

где $ω$ это угловая частота осциллятора.

Однако в классический гармонический осциллятор например, свинцовый шарик, прикрепленный к концу пружины, мы не замечаем никакой дискретности. Вместо этого энергия такой макроскопической системы, по-видимому, изменяется в пределах континуума значений. Мы можем проверить, что наше представление о макроскопический систем попадает в пределы соответствия. Энергия классического гармонического осциллятора с амплитуда $А$ , является

{ displaystyle E = { frac {m omega ^ {2} A ^ {2}} {2}}.}

Таким образом, квантовое число имеет значение

{ displaystyle n = { frac {E} { hbar cdot omega}} - { frac {1} {2}} = { frac {m omega A ^ {2}} {2 hbar} } - { frac {1} {2}}}

Если мы применим типичные "человеческие" ценности $м$ = 1кг, $ω$ = 1 рад /s, и $А$ = 1 м, то $п$ ≈ 4.74×10³³. Это очень большое число, поэтому система действительно находится в пределе соответствия.

Легко понять, почему мы воспринимаем континуум энергии в этом пределе. С участием $ω$ = 1 рад / с, разница между каждым уровнем энергии равна $ħω$ ≈ 1.05 × 10⁻³⁴J, значительно ниже того, что мы обычно разрешаем для макроскопических систем. Затем описывают эту систему через возникающий классический предел.

Релятивистская кинетическая энергия

Здесь мы показываем, что выражение кинетическая энергия от специальная теория относительности становится сколь угодно близким к классическому выражению для скоростей, которые намного меньше, чем скорость света, $v ≪ c$ .

Альберт Эйнштейн уравнение массы и энергии

{ displaystyle E = { frac {m_ {0}} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} c ^ {2} ~,}

где скорость, $v$ - скорость тела относительно наблюдателя, ${ displaystyle m_ {0} }$ это остальные масса (наблюдаемая масса тела при нулевой скорости относительно наблюдателя), и $c$ это скорость света.

Когда скорость $v$ исчезает, указанная выше энергия не равна нулю и представляет собой остальные энергия,

{ displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}. }

Когда тело является при движении относительно наблюдателя полная энергия превышает энергию покоя на величину, которая, по определению, равна кинетический энергия

{ displaystyle T = E-E_ {0} = { frac {m_ {0} c ^ {2}} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} - m_ {0} c ^ {2} ~.}

Используя приближение

{ Displaystyle (1 + х) ^ {п} приблизительно 1 + пх }

для

{ Displaystyle | х | ll 1 }

мы получаем, когда скорость намного меньше скорости света, или $v ≪ c$ ,

${ displaystyle T }$	${ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} left ({ frac {1} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} - 1 right) }$
	${ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} left ( left (1-v ^ {2} / c ^ {2} right) ^ {- { frac {1} {2}}} - 1 вправо) }$
	${ displaystyle приблизительно m_ {0} c ^ {2} left ((1 - (- { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}}) v ^ {2}) / c ^ {2}) - 1 right) }$
	${ displaystyle = m_ {0} c ^ {2} left ({ begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} v ^ {2} / c ^ {2} правильно) }$
	${ displaystyle = { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} m_ {0} v ^ {2} ~,}$

какой Ньютоновский выражение для кинетическая энергия.

Смотрите также

использованная литература

^ Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2008). Современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман и компания. С. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.
^ Бор, Н. (1920), "Über die Serienspektra der Elemente" [О серийных спектрах элементов], Zeitschrift für Physik (на немецком), 2 (5): 423–478, Bibcode:1920ZPhy .... 2..423B, Дои:10.1007 / BF01329978, S2CID 121792424 (Английский перевод в (Бор 1976, стр. 241–282))
^ Джаммер, Макс (1989), Концептуальное развитие квантовой механики, Лос-Анджелес, Калифорния: Tomash Publishers, Американский институт физики, ISBN 0-88318-617-9, Раздел 3.2
^ Джегер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире макроскопично?». Американский журнал физики. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. Дои:10.1119/1.4878358.
^ Бор, Нильс (1976), Rosenfeld, L .; Нильсен, Дж. Руд (ред.), Нильс Бор, Собрание сочинений, том 3, Принцип соответствия (1918–1923), 3, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-444-10784-3
^ Арнольд Зоммерфельд (1921). Atombau und Spektrallinien. п.400.
^ Stotland, A .; Коэн, Д. (2006), "Дифракционное энергетическое распространение и его полуклассический предел", Журнал физики А, 39 (10703): 10703–10721, arXiv:cond-mat / 0605591, Bibcode:2006JPhA ... 3910703S, Дои:10.1088/0305-4470/39/34/008, ISSN 0305-4470, S2CID 16752540
^ Sells, Robert L .; Вайднер, Ричард Т. (1980), Элементарная современная физика, Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-205-06559-2

[Tipler-1] Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2008). Современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман и компания. С. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.

[2] Бор, Н. (1920), "Über die Serienspektra der Elemente" [О серийных спектрах элементов], Zeitschrift für Physik (на немецком), 2 (5): 423–478, Bibcode:1920ZPhy .... 2..423B, Дои:10.1007 / BF01329978, S2CID 121792424 (Английский перевод в (Бор 1976, стр. 241–282))

[3] Джаммер, Макс (1989), Концептуальное развитие квантовой механики, Лос-Анджелес, Калифорния: Tomash Publishers, Американский институт физики, ISBN 0-88318-617-9, Раздел 3.2

[4] Джегер, Грегг (сентябрь 2014 г.). «Что в (квантовом) мире макроскопично?». Американский журнал физики. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. Дои:10.1119/1.4878358.

[5] Бор, Нильс (1976), Rosenfeld, L .; Нильсен, Дж. Руд (ред.), Нильс Бор, Собрание сочинений, том 3, Принцип соответствия (1918–1923), 3, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-444-10784-3

[6] Арнольд Зоммерфельд (1921). Atombau und Spektrallinien. п.400.

[7] Stotland, A .; Коэн, Д. (2006), "Дифракционное энергетическое распространение и его полуклассический предел", Журнал физики А, 39 (10703): 10703–10721, arXiv:cond-mat / 0605591, Bibcode:2006JPhA ... 3910703S, Дои:10.1088/0305-4470/39/34/008, ISSN 0305-4470, S2CID 16752540

[8] Sells, Robert L .; Вайднер, Ричард Т. (1980), Элементарная современная физика, Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-205-06559-2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]