Теорема Эренфеста - Ehrenfest theorem

В Теорема Эренфеста, названный в честь Поль Эренфест, австрийский физик-теоретик Лейденский университет, связывает время производная из ожидаемые значения позиции и импульса операторы Икс и п к ожидаемому значению силы ${ Displaystyle F = -V '(х)}$ на массивной частице, движущейся в скалярном потенциале ${ Displaystyle V (х)}$ ,^[1]

${ displaystyle m { frac {d} {dt}} langle x rangle = langle p rangle, ; ; { frac {d} {dt}} langle p rangle = - left langle V '(x) right rangle ~.}$

Хотя на первый взгляд может показаться, что теорема Эренфеста утверждает, что квантово-механические математические ожидания подчиняются классическим уравнениям движения Ньютона, на самом деле это не так.^[2] Если пара ${ displaystyle ( langle x rangle, langle p rangle)}$ если бы он удовлетворял второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть

{ displaystyle -V ' left ( left langle x right rangle right),}

что обычно не то же самое, что

{ displaystyle - left langle V '(x) right rangle.}

Если, например, потенциал ${ Displaystyle V (х)}$ является кубическим (т.е. пропорциональным ${ displaystyle x ^ {3}}$ ), тогда ${ displaystyle V '}$ квадратичная (пропорциональная ${ displaystyle x ^ {2}}$ ). Это означает, что в случае второго закона Ньютона правая часть была бы в виде ${ Displaystyle langle х rangle ^ {2}}$ , а в теореме Эренфеста - в виде ${ Displaystyle langle х ^ {2} rangle}$ . Разница между этими двумя величинами - это квадрат неопределенности ${ displaystyle x}$ и поэтому отличен от нуля.

Исключение составляет случай, когда классические уравнения движения линейны, то есть когда ${ displaystyle V}$ квадратично и ${ displaystyle V '}$ линейно. В этом особом случае ${ Displaystyle V ' left ( left langle x right rangle right)}$ и ${ Displaystyle влево langle V '(х) вправо rangle}$ согласен. Таким образом, в случае квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям.

Для общих систем, если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки ${ displaystyle x_ {0}}$ , тогда ${ displaystyle V ' left ( left langle x right rangle right)}$ и ${ Displaystyle влево langle V '(х) вправо rangle}$ будет почти то же самое, так как оба будут примерно равны ${ displaystyle V '(x_ {0})}$ . В этом случае ожидаемая позиция и ожидаемый импульс будут примерно следуют классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается локализованной в своем положении.^[3]

Теорема Эренфеста - это частный случай более общей связи между математическим ожиданием любого квантово-механический оператор и ожидание коммутатор этого оператора с Гамильтониан системы ^[4]^[5]

${ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A rangle = { frac {1} {i hbar}} langle [A, H] rangle + left langle { frac { частичное A} { partial t}} right rangle ~,}$

куда $А$ - некоторый квантово-механический оператор и $⟨ А ⟩$ это его ожидаемое значение. Эта более общая теорема на самом деле не была выведена Эренфестом (она связана с Вернер Гейзенберг ).^{[нужна цитата ]}

Это наиболее очевидно в Картинка Гейзенберга квантовой механики, где это просто математическое ожидание уравнения движения Гейзенберга. Он обеспечивает математическую поддержку принцип соответствия.

Причина в том, что теорема Эренфеста тесно связана с Теорема Лиувилля из Гамильтонова механика, который включает Скобка Пуассона вместо коммутатора. Дирака практическое правило предполагает, что утверждения в квантовой механике, которые содержат коммутатор, соответствуют утверждениям в классической механике, где коммутатор заменяется скобкой Пуассона, умноженной на $я$ . Это заставляет математические ожидания подчиняться соответствующим классическим уравнениям движения при условии, что гамильтониан не более чем квадратичен по координатам и импульсам. В противном случае уравнения эволюции все еще могут выполняться примерно, при условии небольших колебаний.

Вывод в картине Шредингера

Предположим, что некоторая система сейчас находится в квантовое состояние $Φ$ . Если мы хотим узнать мгновенную производную по времени от математического ожидания $А$ , то есть по определению

{ displaystyle { begin {align} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} langle A rangle & = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d } t}} int Phi ^ {*} A Phi , mathrm {d} ^ {3} x & = int left ({ frac { partial Phi ^ {*}} { partial t}} right) A Phi , mathrm {d} ^ {3} x + int Phi ^ {*} left ({ frac { partial A} { partial t}} right ) Phi , mathrm {d} ^ {3} x + int Phi ^ {*} A left ({ frac { partial Phi} { partial t}} right) , mathrm { d} ^ {3} x & = int left ({ frac { partial Phi ^ {*}} { partial t}} right) A Phi , mathrm {d} ^ { 3} x + left langle { frac { partial A} { partial t}} right rangle + int Phi ^ {*} A left ({ frac { partial Phi} { partial t}} right) , mathrm {d} ^ {3} x end {выравнивается}}}

где мы интегрируем по всему пространству. Если мы применим Уравнение Шредингера, мы находим, что

{ displaystyle { frac { partial Phi} { partial t}} = { frac {1} {i hbar}} H Phi}

Принимая комплексное сопряжение, находим

{ displaystyle { frac { partial Phi ^ {*}} { partial t}} = - { frac {1} {i hbar}} Phi ^ {*} H ^ {*} = - { frac {1} {i hbar}} Phi ^ {*} H.}

^[6]

Примечание $ЧАС = ЧАС *$ , поскольку Гамильтониан является Эрмитский. Помещая это в приведенное выше уравнение, мы имеем

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A rangle = { frac {1} {i hbar}} int Phi ^ {*} (AH-HA) Phi ~ d ^ { 3} x + left langle { frac { partial A} { partial t}} right rangle = { frac {1} {i hbar}} langle [A, H] rangle + left langle { frac { partial A} { partial t}} right rangle.}

Часто (но не всегда) оператор $А$ не зависит от времени, так что его производная равна нулю, и мы можем игнорировать последний член.

Вывод в картине Гейзенберга

в Картинка Гейзенберга, вывод тривиален. Картина Гейзенберга переносит временную зависимость системы на операторы, а не на векторы состояния. Начиная с уравнения движения Гейзенберга

{ displaystyle { frac {d} {dt}} A (t) = { frac { partial A (t)} { partial t}} + { frac {1} {я hbar}} [A (t), H],}

мы можем вывести теорему Эренфеста, просто проецируя уравнение Гейзенберга на ${ displaystyle | Psi rangle}$ справа и ${ Displaystyle langle Psi |}$ слева или взяв математическое ожидание, поэтому

{ Displaystyle left langle Psi left | { frac {d} {dt}} A (t) right | Psi right rangle = left langle Psi left | { frac { partial A (t)} { partial t}} right | Psi right rangle + left langle Psi left | { frac {1} {i hbar}} [A (t), H ] right | Psi right rangle,}

Мы можем потянуть $d / dt$ из первого члена, поскольку векторы состояния больше не зависят от времени в картине Гейзенберга. Следовательно,

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle A (t) rangle = left langle { frac { partial A (t)} { partial t}} right rangle + { гидроразрыв {1} {i hbar}} left langle [A (t), H] right rangle}

Общий пример

Однако математические ожидания теоремы в Картина Шредингера также. Для самого общего примера массивного частица переезд в потенциал, гамильтониан просто

{ Displaystyle H (x, p, t) = { frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t)}

куда $Икс$ - положение частицы.

Предположим, мы хотим узнать мгновенное изменение ожидания импульса. $п$ . Используя теорему Эренфеста, имеем

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle p rangle = { frac {1} {i hbar}} langle [p, H] rangle + left langle { frac { частичное p} { partial t}} right rangle = { frac {1} {i hbar}} langle [p, V (x, t)] rangle,}

поскольку оператор $п$ коммутирует сама с собой и не зависит от времени.^[7] Расширяя правую часть, заменяя $п$ к $- я \nabla$ , мы получили

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle p rangle = int Phi ^ {*} V (x, t) { frac { partial} { partial x}} Phi ~ dx - int Phi ^ {*} { frac { partial} { partial x}} (V (x, t) Phi) ~ dx ~.}

После применения правило продукта на второй срок имеем

{ Displaystyle { begin {align} { frac {d} {dt}} langle p rangle & = int Phi ^ {*} V (x, t) { frac { partial} { partial x}} Phi ~ dx- int Phi ^ {*} left ({ frac { partial} { partial x}} V (x, t) right) Phi ~ dx- int Phi ^ {*} V (x, t) { frac { partial} { partial x}} Phi ~ dx & = - int Phi ^ {*} left ({ frac { partial} { partial x}} V (x, t) right) Phi ~ dx & = left langle - { frac { partial} { partial x}} V (x, t) right rangle = langle F rangle. end {выравнивается}}}

Как объяснялось во введении, этот результат нет говорят, что пара ${ displaystyle ( langle X rangle, langle P rangle)}$ удовлетворяет Второй закон Ньютона, поскольку правая часть формулы равна ${ Displaystyle langle F (х, т) rangle,}$ скорее, чем ${ Displaystyle F ( langle X rangle, т)}$ . Тем не менее, как объяснялось во введении, для состояний, которые сильно локализованы в пространстве, ожидаемое положение и импульс будут примерно следовать классическим траекториям, которые можно рассматривать как пример принцип соответствия.

Точно так же мы можем получить мгновенное изменение математического ожидания позиции.

{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dt}} langle x rangle & = { frac {1} {i hbar}} langle [x, H] rangle + left langle { frac { partial x} { partial t}} right rangle & = { frac {1} {i hbar}} left langle left [x, { frac {p ^ {2}} {2m}} + V (x, t) right] right rangle +0 & = { frac {1} {i hbar}} left langle left [x, { frac {p ^ {2}} {2m}} right] right rangle & = { frac {1} {i hbar 2m}} left langle [x, p] { frac {d} {dp}} p ^ {2} right rangle & = { frac {1} {i hbar 2m}} langle i hbar 2p rangle & = { frac {1 } {м}} langle p rangle end {выравнивается}}}

Этот результат фактически полностью соответствует классическому уравнению.

Вывод уравнения Шредингера из теорем Эренфеста

Выше было установлено, что теоремы Эренфеста являются следствием Уравнение Шредингера. Однако верно и обратное: уравнение Шредингера можно вывести из теорем Эренфеста.^[8] Мы начинаем с

{ displaystyle { begin {align} m { frac {d} {dt}} left langle Psi (t) right | { hat {x}} left | Psi (t) right rangle & = left langle Psi (t) right | { hat {p}} left | Psi (t) right rangle, { frac {d} {dt}} left langle Psi (t) right | { hat {p}} left | Psi (t) right rangle & = left langle Psi (t) right | -V '({ hat { x}}) left | Psi (t) right rangle. end {align}}}

Применение правило продукта приводит к

{ displaystyle { begin {align} left langle { frac {d Psi} {dt}} { Big |} { hat {x}} { Big |} Psi right rangle + left langle Psi { Big |} { hat {x}} { Big |} { frac {d Psi} {dt}} right rangle & = left langle Psi { Big | } { frac { hat {p}} {m}} { Big |} Psi right rangle, left langle { frac {d Psi} {dt}} { Big |} { hat {p}} { Big |} Psi right rangle + left langle Psi { Big |} { hat {p}} { Big |} { frac {d Psi} {dt}} right rangle & = langle Psi | -V '({ hat {x}}) | Psi rangle, end {align}}}

Здесь примените Теорема Стоуна, с помощью $ЧАС$ для обозначения квантового генератора перевода времени. Следующий шаг - показать, что это то же самое, что и оператор Гамильтона, используемый в квантовой механике. Из теоремы Стоуна следует

{ displaystyle i hbar left | { frac {d Psi} {dt}} right rangle = { hat {H}} | Psi (t) rangle ~,}

куда $час$ была введена как нормировочная константа к размерности баланса. Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, от усреднения можно отказаться и система уравнений коммутатора для $ЧАС$ получены:

{ displaystyle im [{ hat {H}}, { hat {x}}] = hbar { hat {p}}, qquad i [{ hat {H}}, { hat {p} }] = - hbar V '({ hat {x}}).}

Предполагая, что наблюдаемые координаты и импульс подчиняются каноническое коммутационное соотношение $[x̂, p̂] = я$ . Параметр ${ displaystyle { hat {H}} = H ({ hat {x}}, { hat {p}})}$ , уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения^[8]^[9]

{ displaystyle m { frac { partial H (x, p)} { partial p}} = p, qquad { frac { partial H (x, p)} { partial x}} = V ' (Икс),}

чье решение знакомо квантовый гамильтониан

{ displaystyle { hat {H}} = { frac {{ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + V ({ hat {x}}).}

Отсюда Уравнение Шредингера был выведен из теорем Эренфеста в предположении канонической коммутационной связи между координатой и импульсом. Если предположить, что координата и импульс коммутируют, один и тот же вычислительный метод приводит к Классическая механика Купмана – фон Неймана, какой Гильбертово пространство формулировка классическая механика.^[8] Следовательно, этот вывод, как и вывод механики Купмана – фон Неймана, показывает, что существенное отличие квантовой механики от классической сводится к значению коммутатора $[x̂, p̂]$ .

Следствия теоремы Эренфеста для систем с классической хаотической динамикой обсуждаются в статье Scholarpedia. Эренфест время и хаос. Показано, что из-за экспоненциальной неустойчивости классических траекторий время Эренфеста, на котором существует полное соответствие между квантовой и классической эволюцией, является логарифмически коротким, пропорциональным логарифму типичного квантового числа. Для случая интегрируемой динамики этот временной масштаб намного больше, поскольку он пропорционален некоторой степени квантового числа.

Примечания

^ Зал 2013 Раздел 3.7.5
^ Уилер, Николас. «Замечания относительно статуса и некоторых ответвлений теоремы Эренфеста» (PDF).
^ Зал 2013 п. 78
^ Эренфест, П. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik. 45 (7–8): 455–457. Bibcode:1927ZPhy ... 45..455E. Дои:10.1007 / BF01329203.
^ Смит, Хенрик (1991). Введение в квантовую механику. World Scientific Pub Co Inc., стр. 108–109. ISBN 978-9810204754.
^ В обозначение бюстгальтера, ${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} langle phi | x rangle = { frac {-1} {i hbar}} langle phi | { hat {H}} | x rangle = { frac {-1} {i hbar}} langle phi | x rangle H = { frac {-1} {i hbar}} Phi ^ {*} H,}$ куда ${ displaystyle { hat {H}}}$ - оператор Гамильтона, а $ЧАС$ представляет собой гамильтониан, представленный в координатном пространстве (как в случае вывода выше). Другими словами, мы применили сопряженную операцию ко всему уравнению Шредингера, что изменило порядок операций для $ЧАС$ и $Φ$ .
^ Хотя математическое ожидание импульса $⟨ п ⟩$ , что является настоящий номер -значная функция времени, будет иметь зависимость от времени, сам оператор импульса, $п$ нет, на этом рисунке: скорее, оператор импульса является константой линейный оператор на Гильбертово пространство системы. Зависимость математического ожидания от времени на этом рисунке связана с эволюция во времени волновой функции, для которой рассчитывается математическое ожидание. An Для этого случая пример оператора, который имеет временную зависимость: $⟨ xt 2 ⟩$ , куда $Икс$ - обычный оператор позиции и $т$ это просто (неоператорское) время, параметр.
^ ^а ^б ^c Бондарь, Д .; Cabrera, R .; Lompay, R .; Иванов, М .; Рабиц, Х. (2012). «Оперативное динамическое моделирование за пределами квантовой и классической механики». Письма с физическими проверками. 109 (19): 190403. arXiv:1105.4014. Bibcode:2012ПхРвЛ.109с0403Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.109.190403. PMID 23215365.
^ Transtrum, M. K .; Ван Хуэле, Дж. Ф. О. С. (2005). «Коммутационные соотношения для функций операторов». Журнал математической физики. 46 (6): 063510. Bibcode:2005JMP .... 46f3510T. Дои:10.1063/1.1924703.