Гомоклиническая орбита - Homoclinic orbit

Гомоклиническая орбита

Ориентированная гомоклиническая орбита

Закрученная гомоклиническая орбита

В математика, а гомоклиническая орбита это траектория поток из динамическая система который соединяет седловую точку равновесия с собой. Точнее, гомоклиническая орбита лежит в пересечении стабильное многообразие и неустойчивый коллектор из равновесие.

Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ODE

{displaystyle {точка {x}} = f (x)}

Предположим, что есть равновесие при ${displaystyle x = x_ {0}}$ , то решение ${displaystyle Phi (t)}$ является гомоклинической орбитой, если

{displaystyle Phi (t) ightarrow x_ {0} quad mathrm {as} quad tightarrow pm infty}

Если фазовое пространство имеет три или более измерения, то важно учитывать топология неустойчивого многообразия седловой точки. На рисунках показаны два случая. Во-первых, когда устойчивое многообразие топологически является цилиндром, а во-вторых, когда неустойчивое многообразие топологически является цилиндром. Лента Мебиуса; в этом случае гомоклиническая орбита называется скрученный.

Дискретная динамическая система

Гомоклинические орбиты и гомоклинические точки определены таким же образом для повторяющиеся функции, как пересечение стабильный набор и неустойчивый набор некоторых фиксированная точка или же периодическая точка системы.

Мы также имеем понятие гомоклинической орбиты при рассмотрении дискретных динамических систем. В таком случае, если ${displaystyle f: Mightarrow M}$ это диффеоморфизм из многообразие ${displaystyle M}$ мы говорим, что ${displaystyle x}$ является гомоклинической точкой, если у нее одинаковое прошлое и будущее, а именно, если существует фиксированная (или периодическая) точка ${displaystyle p}$ такой, что

{displaystyle lim _ {nightarrow pm infty} f ^ {n} (x) = p.}

Характеристики

Наличие одной гомоклинической точки подразумевает существование бесконечного числа их.^[1]Это происходит из его определения: пересечение устойчивого и неустойчивого множества. Оба набора инвариантный по определению, что означает, что прямая итерация гомоклинической точки происходит как на стабильном, так и на нестабильном множестве. Путем повторения N раз карта приближается к точке равновесия по устойчивому множеству, но на каждой итерации она также оказывается на неустойчивом многообразии, что демонстрирует это свойство.

Это свойство предполагает, что сложная динамика возникает из-за существования гомоклинической точки. Действительно, Смейл (1967)^[2] показали, что эти точки приводят к карта подковы как динамика, которая связана с хаосом.

Символическая динамика

Используя Марковская перегородка, долговременное поведение гиперболическая система можно изучать с помощью методик символическая динамика. В этом случае гомоклиническая орбита имеет особенно простое и ясное представление. Предположим, что ${displaystyle S = {1,2, ldots, M}}$ это конечный набор из M символы. Динамика точки Икс тогда представлен би-бесконечная строка символов

{displaystyle sigma = {(ldots, s _ {- 1}, s_ {0}, s_ {1}, ldots): s_ {k} в S; forall kin mathbb {Z}}}

А периодическая точка системы - это просто повторяющаяся последовательность букв. А гетероклиническая орбита тогда является соединением двух различных периодических орбит. Это можно записать как

{displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} q ^ {omega}}

куда ${displaystyle p = t_ {1} t_ {2} cdots t_ {k}}$ представляет собой последовательность символов длины k, (конечно, ${displaystyle t_ {i} на S}$ ), и ${displaystyle q = r_ {1} r_ {2} cdots r_ {m}}$ это еще одна последовательность символов длиной м (так же, ${displaystyle r_ {i} в S}$ ). Обозначение ${displaystyle p ^ {omega}}$ просто означает повторение п бесконечное количество раз. Таким образом, гетероклиническую орбиту можно понимать как переход от одной периодической орбиты к другой. Напротив, гомоклиническую орбиту можно записать как

{displaystyle p ^ {omega} s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n} p ^ {omega}}

с промежуточной последовательностью ${displaystyle s_ {1} s_ {2} cdots s_ {n}}$ быть непустым, и, конечно, не быть п, иначе орбита была бы просто ${displaystyle p ^ {omega}}$ .

Смотрите также

внешняя ссылка

Гомоклинические орбиты на карте Хенона с Java-апплетами и комментариями

[1] Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах. Издательство Кембриджского университета.

[2] Смейл, Стивен (1967). Дифференцируемые динамические системы. Бык. Амер. Математика. Soc.73, 747–817.

[1]

[2]