Теорема Бендиксона – Дюлака - Bendixson–Dulac theorem

В математика, то Теорема Бендиксона – Дюлака на динамические системы заявляет, что если существует ${ displaystyle C ^ {1}}$ функция ${ Displaystyle varphi (х, у)}$ (называемая функцией Дюлака) такая, что выражение

Согласно теореме Дюлака любая двумерная автономная система с периодической орбитой имеет область с положительной дивергенцией и область с отрицательной дивергенцией внутри такой орбиты. Здесь представлены красные и зеленые области соответственно

${ displaystyle { frac { partial ( varphi f)} { partial x}} + { frac { partial ( varphi g)} { partial y}}}$

имеет такой же знак (${ displaystyle neq 0}$) почти всюду в односвязный области плоскости, то автономная система самолета

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = f (x, y),}$

${ displaystyle { frac {dy} {dt}} = g (x, y)}$

не имеет непостоянного периодические решения полностью лежит в пределах региона.^[1] «Почти везде» означает везде, за исключением, возможно, набора мера 0, например точка или линия.

Теорема была впервые установлена ​​шведским математиком Ивар Бендиксон в 1901 году и дополнительно усовершенствован французским математиком Анри Дюлак в 1933 г. Теорема Грина.

Доказательство

Без ограничения общности пусть существует функция ${ Displaystyle varphi (х, у)}$ такой, что

${ displaystyle { frac { partial ( varphi f)} { partial x}} + { frac { partial ( varphi g)} { partial y}}> 0}$

в односвязном регионе ${ displaystyle R}$. Позволять ${ displaystyle C}$ - замкнутая траектория плоской автономной системы в ${ displaystyle R}$. Позволять ${ displaystyle D}$ быть интерьером ${ displaystyle C}$. Затем по Теорема Грина,

${ displaystyle { begin {align} & iint _ {D} left ({ frac { partial ( varphi f)} { partial x}} + { frac { partial ( varphi g)} { partial y}} right) , dx , dy = oint _ {C} left (- varphi g , dx + varphi f , dy right) [6pt] = {} & oint _ {C} varphi left (- { dot {y}} , dx + { dot {x}} , dy right). end {align}}}$

Из-за постоянного знака левый интеграл в предыдущей строке должен быть положительным. Но на ${ displaystyle C}$, ${ displaystyle dx = { dot {x}} , dt}$ и ${ Displaystyle dy = { точка {y}} , dt}$, так что нижний подынтегральное выражение на самом деле везде 0, и по этой причине правый интеграл равен 0. Это противоречие, поэтому такой замкнутой траектории быть не может. ${ displaystyle C}$.

использованная литература

Анри Дюлак (1870-1955) был французским математиком из Fayence