Кусочно-линейная функция - Piecewise linear function

В математика и статистика, а кусочно-линейный, PL или же сегментированный функция - это функция с действительным знаком действительной переменной, чья график состоит из прямолинейных отрезков.^[1]

Определение

Кусочно-линейная функция - это функция, определенная на (возможно, неограниченном) интервал из действительные числа, такой, что существует набор интервалов, на каждом из которых функция является аффинная функция. Если область определения функции компактный, должен существовать конечный набор таких интервалов; если область некомпактна, может потребоваться либо конечная, либо локально конечный в реалах.

Примеры

Непрерывная кусочно-линейная функция

Функция, определяемая

{ displaystyle f (x) = { begin {cases} -x-3 & { text {if}} x leq -3 x + 3 & { text {if}} - 3

кусочно-линейный из четырех частей. График этой функции показан справа. Поскольку график линейной функции представляет собой линия, график кусочно-линейной функции состоит из отрезки линии и лучи. В Икс значения (в приведенном выше примере –3, 0 и 3), где изменения наклона обычно называются точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также является непрерывной. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном интервале есть многоугольная цепь.

Другие примеры кусочно-линейных функций включают абсолютная величина функция, пилообразная функция, а функция пола.

Подгонка к кривой

Функция (синий) и кусочно-линейное приближение к ней (красный)

Приближение к известной кривой может быть найдено путем выборки кривой и линейной интерполяции между точками. Опубликован алгоритм вычисления наиболее значимых точек с учетом заданной устойчивости к ошибкам.^[2]

Подгонка к данным

Если разделы, а затем точки останова уже известны, линейная регрессия может выполняться независимо на этих разделах. Однако в этом случае не сохраняется преемственность, а также отсутствует уникальная эталонная модель, лежащая в основе наблюдаемых данных. Получен устойчивый алгоритм для этого случая.^[3]

Если разделы неизвестны, остаточная сумма квадратов можно использовать для выбора оптимальных точек разделения.^[4] Однако эффективное вычисление и совместная оценка всех параметров модели (включая контрольные точки) могут быть получены с помощью итерационной процедуры.^[5] в настоящее время реализовано в пакете сегментированный^[6] для R язык.

Вариант обучение по дереву решений называется модельные деревья изучает кусочно-линейные функции.^[7]

Обозначение

Кусочно-линейная функция в двух измерениях (вверху) и выпуклые многогранники, на которых она линейна (внизу)

Понятие кусочно-линейной функции имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены на п-размерный Евклидово пространство, или вообще любой векторное пространство или же аффинное пространство, а также на кусочно-линейные многообразия, симплициальные комплексы, и так далее. В каждом случае функция может быть настоящий -значный, или он может принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этом контексте термин «линейный» не относится исключительно к линейные преобразования, но в более общем аффинно-линейный функции.)

При размерах больше единицы обычно требуется, чтобы домен каждой детали был многоугольник или же многогранник. Это гарантирует, что график функции будет состоять из многоугольных или многогранных частей.

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывный кусочно-линейные функции и выпуклый кусочно-линейные функции. п-мерная непрерывная кусочно-линейная функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ , Существует

{ displaystyle Pi in { mathcal {P}} ({ mathcal {P}} ( mathbb {R} ^ {n + 1}))}

такой, что

{ displaystyle f ({ vec {x}}) = min _ { Sigma in Pi} max _ {({ vec {a}}, b) in Sigma} { vec {a }} cdot { vec {x}} + b.}

Если ${ displaystyle f}$ выпукло и непрерывно, то существует

{ Displaystyle Sigma in { mathcal {P}} ( mathbb {R} ^ {n + 1})}

такой, что

{ displaystyle f ({ vec {x}}) = max _ {({ vec {a}}, b) in Sigma} { vec {a}} cdot { vec {x}} + b.}

Сплайны обобщить кусочно-линейные функции на полиномы более высокого порядка, которые, в свою очередь, содержатся в категории кусочно-дифференцируемых функций, PDIFF.

Приложения

Реакция культуры на глубину водного стола^[8]

Пример реакции сельскохозяйственных культур на засоление почвы^[9]

В сельское хозяйство кусочно регрессивный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожай, и диапазона, в котором культура нечувствительна к изменениям этих факторов.

На изображении слева показано, что при неглубокой водные столы урожайность снижается, в то время как при более глубоких (> 7 дм) водоемах урожай не изменяется. График составлен методом наименьших квадратов найти два сегмента с наиболее подходящий.

График справа показывает, что урожайность терпеть а засоление почвы до ECe = 8 dS / m (ECe - электрическая проводимость экстракта насыщенного образца почвы), а при превышении этого значения урожайность снижается. График построен методом частичной регрессии, чтобы найти самый длинный диапазон «отсутствия эффекта», т.е. когда линия является горизонтальной. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго сегмента используется метод наименьших квадратов.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Аппс, П., Лонг, Н., и Рис, Р. (2014). Оптимальное кусочно-линейное налогообложение прибыли. Журнал общественной экономической теории, 16(4), 523–545.