Тропическая геометрия - Tropical geometry

Тропическая кубическая кривая

В математика, тропическая геометрия это изучение многочленов и их геометрические свойства когда сложение заменяется минимизацией, а умножение заменяется обычным сложением:

{ Displaystyle х oplus у = мин {х, у },}

{ displaystyle x otimes y = x + y.}

Так, например, классический полином ${ displaystyle x ^ {3} + 2xy + y ^ {4}}$ станет ${ Displaystyle мин {х + х + х, ; 2 + х + у, ; у + у + у + у }}$ . Такие многочлены и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например, в задаче оптимизации времени отправления для сети поездов.

Тропическая геометрия - это вариант алгебраическая геометрия в котором полиномиальные графы напоминают кусочно-линейный ячеек, и номера которых принадлежат тропическое полукольцо вместо поля. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны, результаты и методы могут быть преобразованы между ними. Алгебраические многообразия можно сопоставить с тропическими аналогами, и, поскольку этот процесс все еще сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать, чтобы помочь доказать и обобщить классические результаты алгебраической геометрии, такие как Теорема Брилла – Нётер, используя инструменты тропической геометрии.^[1]

История

Основные идеи тропического анализа были независимо развиты в одних и тех же обозначениях математиками, работающими в различных областях.^[2] Ведущие идеи тропической геометрии в различных формах проявились в более ранних работах. Например, Виктор Павлович Маслов представила тропический вариант процесса интеграции. Он также заметил, что Превращение Лежандра и решения Уравнение Гамильтона – Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле.^[3] Однако только с конца 1990-х годов была предпринята попытка закрепить основные определения теории. Это было мотивировано заявками на перечислительная алгебраическая геометрия, с идеями от Максим Концевич^[4] и работы Григория Михалкина^[5] среди прочего.

Прилагательное тропический в названии области было придумано французскими математиками в честь Венгерский -родившийся Бразильский специалист в области информатики Имре Симон, который писал на поле. Жан-Эрик Пин приписывает чеканку Доминик Перрен,^[6] в то время как сам Саймон приписывает это слово Кристиану Чоффруту.^[7]

Фон алгебры

Тропическая геометрия основана на тропическое полукольцо. Это определяется двумя способами, в зависимости от соглашения о максимальном или минимальном значении.

В мин. тропическое полукольцо это полукольцо ${ Displaystyle ( mathbb {R} чашка {+ infty }, oplus, otimes)}$ , с операциями:

{ Displaystyle х oplus у = мин {х, у },}

{ displaystyle x otimes y = x + y.}

Операции ${ displaystyle oplus}$ и ${ displaystyle otimes}$ упоминаются как тропическое дополнение и тропическое размножение соответственно. Блок для ${ displaystyle oplus}$ является ${ displaystyle + infty}$ , а блок для ${ displaystyle otimes}$ равно 0.

Точно так же макс тропическое полукольцо это полукольцо ${ Displaystyle ( mathbb {R} чашка {- infty }, oplus, otimes)}$ , с операциями:

{ Displaystyle х oplus у = макс {х, у },}

{ displaystyle x otimes y = x + y.}

Блок для ${ displaystyle oplus}$ является ${ displaystyle - infty}$ , а блок для ${ displaystyle otimes}$ равно 0.

Эти полукольца изоморфны, при отрицании ${ Displaystyle х mapsto -x}$ , и обычно один из них выбирается и обозначается просто как тропическое полукольцо. Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют мин соглашение, некоторые используют Максимум соглашение.

Операции с тропическим полукольцом моделируют, как оценки вести себя при сложении и умножении в ценное поле.

Некоторые общие оценочные поля, встречающиеся в тропической геометрии (с соглашением min):

${ displaystyle mathbb {Q}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {C}}$ с тривиальной оценкой, ${ Displaystyle v (а) = 0}$ для всех ${ displaystyle a neq 0}$ .
${ displaystyle mathbb {Q}}$ или его расширения с p-адическая оценка, ${ displaystyle v_ {p} (p ^ {n} a / b) = n}$ за а и б взаимно простой с п.
Поле Серия Laurent ${ Displaystyle mathbb {C} (! (т) !)}$ (целые степени), или поле (комплексное) Серия Puiseux ${ Displaystyle mathbb {C} {! {т } ! }}$ , с оценкой, возвращающей наименьший показатель степени т появляясь в сериале.

Тропические многочлены

А тропический многочлен это функция ${ Displaystyle F двоеточие mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ что может быть выражено как тропическая сумма конечного числа мономиальные термины. Мономиальный член - это тропическое произведение (и / или частное) константы и переменных из ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ . Таким образом, тропический многочлен F является минимумом конечного набора аффинно-линейные функции в котором переменные имеют целые коэффициенты, поэтому вогнутый, непрерывный, и кусочно-линейный.^[8]

{ displaystyle { begin {align} F (X_ {1}, ldots, X_ {n}) & = left (C_ {1} otimes X_ {1} ^ { otimes a_ {11}} otimes cdots otimes X_ {n} ^ { otimes a_ {n1}} right) oplus cdots oplus left (C_ {s} otimes X_ {1} ^ { otimes a_ {1s}} otimes cdots otimes X_ {n} ^ { otimes a_ {ns}} right) & = min {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + cdots + a_ {n1} X_ {n}, ; ldots, ; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + cdots + a_ {ns} X_ {n} }. end {align}}}

Учитывая многочлен ж в Кольцо полиномов Лорана ${ Displaystyle К [x_ {1} ^ { pm 1}, ldots, x_ {n} ^ { pm 1}]}$ куда K является значимым полем, тропикализация из ж, обозначенный ${ displaystyle operatorname {Trop} (f)}$ , - тропический многочлен, полученный из ж заменяя умножение и сложение их тропическими аналогами и каждой константой в K по его оценке. То есть, если

{ displaystyle f = sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {A_ {i}} quad { text {with}} A_ {1}, ldots, A_ {s} in mathbb {Z} ^ {n},}

тогда

{ displaystyle operatorname {Trop} (f) = bigoplus _ {i = 1} ^ {s} v (c_ {i}) otimes X ^ { otimes A_ {i}}.}

Множество точек, в которых тропический многочлен F недифференцируема, называется ассоциированной тропическая гиперповерхность, обозначенный ${ Displaystyle mathrm {V} (F)}$ (по аналогии с исчезающий набор полинома). Эквивалентно, ${ Displaystyle mathrm {V} (F)}$ - множество точек, где минимум среди членов F достигается минимум дважды. Когда ${ displaystyle F = operatorname {Trop} (f)}$ для полинома Лорана ж, эта последняя характеристика ${ Displaystyle mathrm {V} (F)}$ отражает тот факт, что при любом решении ${ displaystyle f = 0}$ , минимальная оценка сроков ж должно быть выполнено как минимум дважды, чтобы все они были отменены.^[9]

Тропические сорта

Определения

За Икс ан алгебраическое многообразие в алгебраический тор ${ Displaystyle (К ^ { раз}) ^ {п}}$ , то тропический сорт из Икс или же тропикализация из Икс, обозначенный ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ , является подмножеством ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ это можно определить по-разному. Эквивалентность этих определений называется Основная теорема тропической геометрии.^[9]

Пересечение тропических гиперповерхностей

Позволять ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ - идеал многочленов Лорана, обращающихся в нуль на Икс в ${ Displaystyle К [x_ {1} ^ { pm 1}, ldots, x_ {n} ^ { pm 1}]}$ . Определять

{ displaystyle operatorname {Trop} (X) = bigcap _ {е in mathrm {I} (X)} mathrm {V} ( operatorname {Trop} (f)) substeq mathbb {R} ^ {n}.}

Когда Икс является гиперповерхностью, ее исчезающий идеал ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ это главный идеал порожденный полиномом Лорана ж, и тропический сорт ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ это в точности тропическая гиперповерхность ${ Displaystyle mathrm {V} ( Operatorname {Trop} (f))}$ .

Каждое тропическое многообразие является пересечением конечного числа тропических гиперповерхностей. Конечный набор многочленов ${ displaystyle {f_ {1}, ldots, f_ {r} } substeq mathrm {I} (X)}$ называется тропическая основа за Икс если ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ является пересечением тропических гиперповерхностей ${ displaystyle operatorname {Trop} (f_ {1}), ldots, operatorname {Trop} (f_ {r})}$ . В общем, генераторная установка ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ недостаточно для создания тропической основы. Пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей называется тропическое разнообразие и вообще не тропический сорт.^[9]

Первоначальные идеалы

Выбор вектора ${ displaystyle mathbf {w}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ определяет отображение из мономиальных членов ${ Displaystyle К [x_ {1} ^ { pm 1}, ldots, x_ {n} ^ { pm 1}]}$ к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ отправив срок м к ${ displaystyle operatorname {Trop} (m) ( mathbf {w})}$ . Для полинома Лорана ${ displaystyle f = m_ {1} + cdots + m_ {s}}$ определить исходная форма из ж быть суммой условий ${ displaystyle m_ {i}}$ из ж для которого ${ displaystyle operatorname {Trop} (m_ {i}) ( mathbf {w})}$ минимально. Для идеального ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ определим его начальный идеал относительно ${ displaystyle mathbf {w}}$ быть

{ displaystyle operatorname {in} _ { mathbf {w}} mathrm {I} (X) = ( operatorname {in} _ { mathbf {w}} (f): f in mathrm {I } (ИКС)).}

Затем определите

{ displaystyle operatorname {Trop} (X) = { mathbf {w} in mathbb {R} ^ {n}: operatorname {in} _ { mathbf {w}} mathrm {I} ( X) neq (1) }.}

Поскольку мы работаем в кольце Лорана, это то же самое, что и набор весовых векторов, для которых ${ displaystyle operatorname {in} _ { mathbf {w}} mathrm {I} (X)}$ не содержит одночлена.

Когда K имеет тривиальную оценку, ${ displaystyle operatorname {in} _ { mathbf {w}} mathrm {I} (X)}$ в точности исходный идеал ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ с уважением к мономиальный порядок заданный вектором веса ${ displaystyle mathbf {w}}$ . Следует, что ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ является вентилятором Вентилятор Грёбнера из ${ Displaystyle mathrm {I} (X)}$ .

Изображение оценочной карты

Предположим, что Икс это разнообразие над полем K с оценкой v чей образ плотен в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ (например поле серии Puiseux). Действуя по координатам, v определяет отображение из алгебраического тора ${ Displaystyle (К ^ { раз}) ^ {п}}$ к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Затем определите

{ displaystyle operatorname {Trop} (X) = { overline { {(v (x_ {1}), ldots, v (x_ {n})) :( x_ {1}, ldots, x_ { n}) in X }}},}

где верхняя черта указывает закрытие в Евклидова топология. Если оценка K не плотно в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , то приведенное выше определение можно адаптировать с помощью расширение скаляров к более крупному полю, имеющему плотную оценку.

Это определение показывает, что ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ неархимедов амеба над алгебраически замкнутый неархимедово поле K.^[10]

Если Икс это разнообразие ${ Displaystyle mathbb {C}}$ , ${ displaystyle operatorname {Trop} (X)}$ можно рассматривать как ограничивающий объект амебы ${ displaystyle operatorname {Log} _ {t} (X)}$ в качестве основы т логарифма уходит в бесконечность.^[11]

Многогранный комплекс

Следующая характеризация описывает тропические многообразия по сути без ссылки на алгебраические многообразия и тропикализацию. V в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем взвешенного многогранный комплекс чистого измерения d что удовлетворяет условие нулевого напряжения и связан в коразмерности один. Когда d равно единице, условие нулевого натяжения означает, что вокруг каждой вершины взвешенная сумма выходных направлений ребер равна нулю. Для более высокого измерения суммы берутся вместо каждой ячейки измерения. ${ displaystyle d-1}$ после выделения аффинного промежутка ячейки.^[8] Свойство, которое V связно в коразмерности один означает для любых двух точек, лежащих в размерности d ячеек, их соединяет путь, который не проходит через ячейки размером меньше ${ displaystyle d-1}$ .^[12]

Тропические кривые

Изучение тропические кривые (тропические разновидности размерности один) особенно хорошо развиты и тесно связаны с теория графов. Например, теория делители тропических кривых связаны с чип-игры на графах, связанных с тропическими кривыми.^[13]

Многие классические теоремы алгебраической геометрии имеют аналоги в тропической геометрии, в том числе:

Олег Виро использовали тропические кривые для классификации действительных кривых степени 7 на плоскости до изотопия. Его метод лоскутное шитье дает процедуру построения действительной кривой данного изотопического класса по ее тропической кривой.

Приложения

Тропическая линия появилась в Пауль Клемперер дизайн аукционы используется Банк Англии во время финансового кризиса 2007 г.^[17] Ёсинори Сиодзава определил субтропическую алгебру как полукольцо max-times или min-times (вместо max-plus и min-plus). Он обнаружил, что теорию рикардианской торговли (международная торговля без торговли ресурсами) можно интерпретировать как субтропическую выпуклую алгебру.^[18]

Более того, несколько задач оптимизации, возникающих, например, при планировании заданий, анализе местоположения, транспортных сетях, принятии решений и динамических системах дискретных событий, могут быть сформулированы и решены в рамках тропической геометрии.^[19] Тропический аналог Карта Абеля – Якоби может быть применен к хрустальному дизайну.^[20] Вес в взвешенный конечный преобразователь часто требуется, чтобы они были тропическим полукольцом. Тропическая геометрия может показать самоорганизованная критичность.^[21]

Смотрите также

Примечания

^ Хартнетт, Кевин. «Модели Tinkertoy создают новые геометрические идеи». Журнал Quanta. Получено 12 декабря 2018.
^ Видеть Cuninghame-Green, Раймонд А. (1979). Минимаксная алгебра. Конспект лекций по экономике и математическим наукам. 166. Springer. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.
^ Маслов Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры. 42:3 (3): 43–54. Bibcode:1987РуМаС..42 ... 43М. Дои:10.1070 / RM1987v042n03ABEH001439.
^ Концевич Максим; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения на тор». arXiv:математика / 0011041.
^ Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R²" (PDF). Журнал Американского математического общества. 18 (2): 313–377. arXiv:математика / 0312530. Дои:10.1090 / S0894-0347-05-00477-7.
^ Пин, Жан-Эрик (1998). «Тропические полукольца» (PDF). В Gunawardena, J. (ред.). Идемпотентность. Публикации института Ньютона. 11. Издательство Кембриджского университета. С. 50–69. Дои:10.1017 / CBO9780511662508.004. ISBN 9780511662508.
^ Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы информатики 1988 г.. Конспект лекций по информатике. 324. С. 107–120. Дои:10.1007 / BFb0017135. ISBN 978-3-540-50110-7.
^ ^а ^б Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009), «Тропическая математика» (PDF), Математический журнал, 82 (3): 163–173, Дои:10.1080 / 0025570X.2009.11953615
^ ^а ^б ^c Маклаган, Дайан; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию. Американское математическое общество. ISBN 9780821851982.
^ Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсон, Саймон; Элиашберг, Яков; Громов Михаил (ред.). Различные грани геометрии. Международная математическая серия. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum Publishers. С. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Zbl 1072.14013.
^ Кац, Эрик (2017), "Что такое тропическая геометрия?" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 64 (4): 380–382, Дои:10.1090 / noti1507
^ Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропиков», Письма о математических исследованиях, 19 (5): 1089–1095, arXiv:1204.6589, Bibcode:2012arXiv1204.6589C, Дои:10.4310 / MRL.2012.v19.n5.a10
^ Hladký, Jan; Кралу, Даниэль; Норин, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, серия А. 120 (7): 1521–1538. arXiv:0709.4485. Дои:10.1016 / j.jcta.2013.05.002. ISSN 0097-3165.
^ Табера, Луис Фелипе (1 января 2005 г.). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях. 2005 (39): 2373–2389. arXiv:математика / 0409126. Дои:10.1155 / IMRN.2005.2373. ISSN 1073-7928.
^ Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Mathematische Zeitschrift. 259 (1): 217–230. arXiv:математика / 0612129. Дои:10.1007 / s00209-007-0222-4. ISSN 1432-1823.
^ Чан, Мелодия; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в виде сот». В Brugallé, Erwan (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы семинара CIEM по тропической геометрии, Международный центр математических встреч (CIEM), Кастро Урдиалес, Испания, 12–16 декабря 2011 г.. Современная математика. 589. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 87–107. arXiv:1203.2356. Bibcode:2012arXiv1203.2356C. ISBN 978-0-8218-9146-9. Zbl 1312.14142.
^ «Как геометрия выручила во время банковского кризиса». Департамент экономики Оксфордского университета. Получено 24 марта 2014.
^ Сиодзава, Ёсинори (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры». Обзор эволюционной и институциональной экономики. 12: 177–212. Дои:10.1007 / s40844-015-0012-3. Это дайджест Ю. Сиозавы "Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли "черновик.
^ Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». В Леоне А. Петросяне; Дэвид В. К. Йунг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных исследований, посвященных памяти Л. В. Канторовича. Нью-Йорк: Nova Science Publishers. С. 195–214. arXiv:1408.0313. ISBN 978-1-63117-073-7.
^ Сунада, Т. (2012). Топологическая кристаллография: с точки зрения дискретного геометрического анализа. Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. 6. Springer Japan. ISBN 9784431541769.
^ Калинин, Н .; Guzmán-Sáenz, A .; Prieto, Y .; Школьников, М .; Калинина, В .; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 115 (35): E8135 – E8142. arXiv:1806.09153. Bibcode:2018arXiv180609153K. Дои:10.1073 / pnas.1805847115. ISSN 0027-8424. ЧВК 6126730. PMID 30111541.

дальнейшее чтение

Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер, ред. (2013). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Исследовательский институт Беллэрса, Холтаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г.. Современная математика. 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002.

внешняя ссылка

Тропическая геометрия, I

[1] Хартнетт, Кевин. «Модели Tinkertoy создают новые геометрические идеи». Журнал Quanta. Получено 12 декабря 2018.

[2] Видеть Cuninghame-Green, Раймонд А. (1979). Минимаксная алгебра. Конспект лекций по экономике и математическим наукам. 166. Springer. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.

[3] Маслов Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры. 42:3 (3): 43–54. Bibcode:1987РуМаС..42 ... 43М. Дои:10.1070 / RM1987v042n03ABEH001439.

[4] Концевич Максим; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения на тор». arXiv:математика / 0011041.

[5] Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R²" (PDF). Журнал Американского математического общества. 18 (2): 313–377. arXiv:математика / 0312530. Дои:10.1090 / S0894-0347-05-00477-7.

[Pin1998-6] Пин, Жан-Эрик (1998). «Тропические полукольца» (PDF). В Gunawardena, J. (ред.). Идемпотентность. Публикации института Ньютона. 11. Издательство Кембриджского университета. С. 50–69. Дои:10.1017 / CBO9780511662508.004. ISBN 9780511662508.

[Simon1988-7] Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы информатики 1988 г.. Конспект лекций по информатике. 324. С. 107–120. Дои:10.1007 / BFb0017135. ISBN 978-3-540-50110-7.

[SpeyerSturmfels2009-8] а ^б Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009), «Тропическая математика» (PDF), Математический журнал, 82 (3): 163–173, Дои:10.1080 / 0025570X.2009.11953615

[Maclagan-9] а ^б ^c Маклаган, Дайан; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию. Американское математическое общество. ISBN 9780821851982.

[10] Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсон, Саймон; Элиашберг, Яков; Громов Михаил (ред.). Различные грани геометрии. Международная математическая серия. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum Publishers. С. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Zbl 1072.14013.

[11] Кац, Эрик (2017), "Что такое тропическая геометрия?" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 64 (4): 380–382, Дои:10.1090 / noti1507

[12] Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропиков», Письма о математических исследованиях, 19 (5): 1089–1095, arXiv:1204.6589, Bibcode:2012arXiv1204.6589C, Дои:10.4310 / MRL.2012.v19.n5.a10

[13] Hladký, Jan; Кралу, Даниэль; Норин, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, серия А. 120 (7): 1521–1538. arXiv:0709.4485. Дои:10.1016 / j.jcta.2013.05.002. ISSN 0097-3165.

[14] Табера, Луис Фелипе (1 января 2005 г.). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях. 2005 (39): 2373–2389. arXiv:математика / 0409126. Дои:10.1155 / IMRN.2005.2373. ISSN 1073-7928.

[15] Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Mathematische Zeitschrift. 259 (1): 217–230. arXiv:математика / 0612129. Дои:10.1007 / s00209-007-0222-4. ISSN 1432-1823.

[16] Чан, Мелодия; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в виде сот». В Brugallé, Erwan (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы семинара CIEM по тропической геометрии, Международный центр математических встреч (CIEM), Кастро Урдиалес, Испания, 12–16 декабря 2011 г.. Современная математика. 589. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 87–107. arXiv:1203.2356. Bibcode:2012arXiv1203.2356C. ISBN 978-0-8218-9146-9. Zbl 1312.14142.

[17] «Как геометрия выручила во время банковского кризиса». Департамент экономики Оксфордского университета. Получено 24 марта 2014.

[18] Сиодзава, Ёсинори (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры». Обзор эволюционной и институциональной экономики. 12: 177–212. Дои:10.1007 / s40844-015-0012-3. Это дайджест Ю. Сиозавы "Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли "черновик.

[19] Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». В Леоне А. Петросяне; Дэвид В. К. Йунг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных исследований, посвященных памяти Л. В. Канторовича. Нью-Йорк: Nova Science Publishers. С. 195–214. arXiv:1408.0313. ISBN 978-1-63117-073-7.

[20] Сунада, Т. (2012). Топологическая кристаллография: с точки зрения дискретного геометрического анализа. Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. 6. Springer Japan. ISBN 9784431541769.

[21] Калинин, Н .; Guzmán-Sáenz, A .; Prieto, Y .; Школьников, М .; Калинина, В .; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 115 (35): E8135 – E8142. arXiv:1806.09153. Bibcode:2018arXiv180609153K. Дои:10.1073 / pnas.1805847115. ISSN 0027-8424. ЧВК 6126730. PMID 30111541.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]