Перечислительная геометрия - Enumerative geometry

В математика, перечислительная геометрия это филиал алгебраическая геометрия занимается подсчетом числа решений геометрических вопросов, в основном с помощью теория пересечений.

История

Круги Аполлония

В проблема Аполлония является одним из самых ранних примеров перечислительной геометрии. Эта задача требует количества и построения окружностей, которые касаются трех заданных окружностей, точек или прямых. В общем, задача для трех заданных кругов имеет восемь решений, которые можно рассматривать как 2³, каждое условие касания накладывает квадратичное условие на пространство окружностей. Однако для особого расположения данных кругов количество решений также может быть любым целым числом от 0 (без решений) до шести; нет договоренности, для которой существует семь решений проблемы Аполлония.

Ключевые инструменты

Ряд инструментов, от простых до более сложных, включают:

Подсчет размеров
Теорема Безу
Исчисление Шуберта, и в более общем плане характеристические классы в когомология
Связь подсчета пересечений с когомологиями есть Двойственность Пуанкаре
Изучение пространства модулей кривых, карт и других геометрических объектов, иногда с помощью теории квантовые когомологии. Изучение квантовые когомологии, Инварианты Громова – Виттена. и зеркальная симметрия дал значительный прогресс в Гипотеза Клеменса.

Перечислительная геометрия очень тесно связана с теория пересечений.

Исчисление Шуберта

Перечислительная геометрия получила впечатляющее развитие к концу девятнадцатого века благодаря Герман Шуберт.^[1] Он ввел с этой целью Исчисление Шуберта, что доказало фундаментальные геометрические и топологический ценность в более широких областях. Конкретные потребности перечислительной геометрии не рассматривались до тех пор, пока в 1960-х и 1970-х годах им не было уделено дополнительное внимание (как, например, указывалось на Стивен Клейман ). Номера перекрестков был строго определен ( Андре Вайль как часть его основополагающей программы на 1942-1946 гг. и впоследствии), но это не исчерпало собственно области перечислительных вопросов.

Факторы Фаджа и пятнадцатая проблема Гильберта

Наивное применение подсчета размерностей и теоремы Безу дает неверные результаты, как показывает следующий пример. В ответ на эти проблемы алгебраические геометры ввели расплывчатые «ложные факторы», которые были строго оправданы лишь десятилетия спустя.

Например, посчитайте конические секции по касательной к пяти заданным прямым в проективная плоскость.^[2] Коники составляют проективное пространство размерности 5, принимая их шесть коэффициентов как однородные координаты, и пять точек определяют конус, если точки в общее линейное положение, поскольку прохождение через заданную точку накладывает линейное условие. Аналогично касание к заданной прямой L (касание - это пересечение с кратностью два) является одним квадратичным условием, поэтому определяется квадрика в п⁵. Тем не менее линейная система делителей состоящая из всех таких квадрик, не лишена базовый локус. Фактически каждая такая квадрика содержит Веронезе поверхность, который параметризует коники

(aX + к + cZ)² = 0

называется «двойными линиями». Это связано с тем, что двойная прямая пересекает каждую прямую на плоскости, поскольку прямые в проективной плоскости пересекаются с кратностью два, потому что она удваивается, и, таким образом, удовлетворяет тому же условию пересечения (пересечение кратности два), что и невырожденная коника, которая является касательная к строке.

Генерал Теорема Безу говорит, что 5 общих квадрик в 5-пространстве будут пересекаться в 32 = 2⁵ точки. Но соответствующих квадрик здесь нет. общая позиция. Из 32 необходимо вычесть 31 и приписать ему веронезе, чтобы получить правильный ответ (с точки зрения геометрии), а именно 1. Этот процесс отнесения пересечений к «вырожденным» случаям является типичным геометрическим введением «фактор выдумки '.

Пятнадцатая проблема Гильберта должно было преодолеть явно произвольный характер этих вмешательств; этот аспект выходит за рамки фундаментального вопроса самого исчисления Шуберта.

Гипотеза Клеменса

В 1984 г. Х. Клеменс изучал подсчет количества рациональные кривые на квинтик тройной ${ Displaystyle X подмножество P ^ {4}}$ и пришел к следующей гипотезе.

Позволять

{ Displaystyle X подмножество P ^ {4}}

- общая квинтика тройного многообразия,

{ displaystyle d}

положительное целое число, то существует только конечное число рациональных кривых со степенью

{ displaystyle d}

на

{ displaystyle X}

.

Эта гипотеза разрешена в случае ${ displaystyle d leq 9}$ , но все еще открыт для более высоких ${ displaystyle d}$ .

В 1991 г.^[3] о зеркальной симметрии на пятой степени в ${ displaystyle P ^ {4}}$ с точки зрения теории струн дает количество рациональных кривых степени d на ${ displaystyle X}$ для всех ${ displaystyle d> 0}$ . До этого алгебраические геометры могли вычислять эти числа только для ${ displaystyle d leq 5}$ .

Примеры

Некоторые из исторически важных примеров перечислений в алгебраической геометрии включают:

2 Количество линий, пересекающих 4 общие линии в пространстве
8 Количество окружностей, касающихся 3-х общих окружностей ( проблема Аполлония ).
27 Количество линий на гладкой кубическая поверхность (Лосось и Кэли )
2875 Количество строк на генерале квинтик тройной
3264 Количество коники, касательные к 5 плоским коникам в общем положении (Chasles )
609250 Количество конусов на генерале квинтик тройной
4407296 Число коник, касательных к 8 общим квадратичным поверхностям Фултон (1984, п. 193)
666841088 Количество квадратичных поверхностей, касательных к 9 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-мерном пространстве (Шуберт 1879, стр.106) (Фултон 1984, п. 193)
5819539783680 Число скрученных кубических кривых, касательных к 12 заданным квадратичным поверхностям общего положения в 3-пространстве (Шуберт 1879, стр.184) (С. Клейман, С. А. Стрёмме и С. Шамбо1987 )

внешняя ссылка

Башелор, Эндрю; Ксир, Эми; Травес, Уилл (2008). «Перечислительная алгебраическая геометрия коник». Амер. Математика. Ежемесячно. 115 (8): 701–7. Дои:10.1080/00029890.2008.11920584. JSTOR 27642583.

[1] Шуберт, Х. (1979) [1879]. Kalkül der abzählenden Geometrie.

[2] Фултон, Уильям (1984). "10.4". Теория пересечения. ISBN 0-387-12176-5.

[3] * Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Парки, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика B. 359 (1): 21–74. Дои:10.1016/0550-3213(91)90292-6.

[1]

[2]

[3]