Квантовая когомология - Quantum cohomology

В математика особенно в симплектическая топология и алгебраическая геометрия, а квантовые когомологии звенеть является продолжением обычного кольцо когомологий из закрыто симплектическое многообразие. Он поставляется в двух версиях, называемых маленький и большой; как правило, последний вариант сложнее и содержит больше информации, чем первый. В каждом из них выбор кольца коэффициентов (обычно Кольцо новикова, описанный ниже) также существенно влияет на его структуру.

В то время как чашка продукта обычных когомологий описывает, как подмногообразия многообразия пересекаться друг друга, квантовый стаканчик квантовых когомологий описывает, как подпространства пересекаются «нечетким», «квантовым» образом. Точнее, они пересекаются, если связаны через один или несколько псевдоголоморфные кривые. Инварианты Громова – Виттена., которые подсчитывают эти кривые, появляются как коэффициенты в разложениях продукта квантового чашки.

Поскольку квантовые когомологии выражают структуру или паттерн инвариантов Громова – Виттена, они имеют важное значение для перечислительная геометрия. Это также связано со многими идеями в математическая физика и зеркальная симметрия. В частности, это кольцо-изоморфный к симплектические гомологии Флоера.

В этой статье Икс - замкнутое симплектическое многообразие с симплектической формой ω.

Кольцо Новикова

Различные варианты выбора кольца коэффициентов для квантовых когомологий Икс возможны. Обычно выбирается кольцо, кодирующее информацию о втором гомология из Икс. Это позволяет продукту квантового стакана, определенному ниже, записывать информацию о псевдоголоморфных кривых в Икс. Например, пусть

{ Displaystyle H_ {2} (X) = H_ {2} (X, mathbf {Z}) / mathrm {torsion}}

быть второй гомологией по модулю это кручение. Позволять р - любое коммутативное кольцо с единицей, а Λ - кольцо формальных степенной ряд формы

{ displaystyle lambda = sum _ {A in H_ {2} (X)} lambda _ {A} e ^ {A},}

куда

коэффициенты ${ displaystyle lambda _ {A}}$ родом из р,
то ${ displaystyle e ^ {A}}$ формальные переменные, подчиненные соотношению ${ displaystyle e ^ {A} e ^ {B} = e ^ {A + B}}$ ,
для каждого реального числа C, только конечное число А с ω (А) меньше или равно C иметь ненулевые коэффициенты ${ displaystyle lambda _ {A}}$ .

Переменная ${ displaystyle e ^ {A}}$ считается имеющим степень ${ displaystyle 2c_ {1} (А)}$ , куда ${ displaystyle c_ {1}}$ это первый Черн класс из касательный пучок TXрассматривается как сложный векторный набор выбрав любой почти сложная структура совместим с ω. Таким образом, Λ - градуированное кольцо, называемое Кольцо новикова для ω. (Альтернативные определения являются общими.)

Малые квантовые когомологии

Позволять

{ displaystyle H ^ {*} (X) = H ^ {*} (X, mathbf {Z}) / mathrm {torsion}}

быть когомологиями Икс по модулю кручения. Определить малые квантовые когомологии с коэффициентами в Λ быть

{ displaystyle QH ^ {*} (X, Lambda) = H ^ {*} (X) otimes _ { mathbf {Z}} Lambda.}

Его элементами являются конечные суммы вида

{ displaystyle sum _ {i} a_ {i} otimes lambda _ {i}.}

Малые квантовые когомологии - это градуированная р-модуль с

{ displaystyle deg (a_ {i} otimes lambda _ {i}) = deg (a_ {i}) + deg ( lambda _ {i}).}

Обычные когомологии ЧАС*(Икс) встраивается в QH*(Икс, Λ) через ${ displaystyle a mapsto a otimes 1}$ , и QH*(Икс, Λ) порождается как Λ-модуль ЧАС*(Икс).

Для любых двух классов когомологий а, б в ЧАС*(Икс) чистой степени, и для любого А в ${ displaystyle H_ {2} (X)}$ , определять (а∗б)_А быть уникальным элементом ЧАС*(Икс) такие, что

{ displaystyle int _ {X} (a * b) _ {A} smile c = GW_ {0,3} ^ {X, A} (a, b, c).}

(Правая часть представляет собой 0, 3-точечный инвариант Громова – Виттена.) Затем определим

{ displaystyle a * b: = sum _ {A in H_ {2} (X)} (a * b) _ {A} otimes e ^ {A}.}

Это продолжается по линейности до корректно определенного Λ-билинейного отображения

{ Displaystyle QH ^ {*} (X, Lambda) otimes QH ^ {*} (X, Lambda) to QH ^ {*} (X, Lambda)}

называется небольшой квантовый стаканчик.

Геометрическая интерпретация

Единственные псевдоголоморфные кривые в классе А = 0 - постоянные карты, изображения которых являются точками. Следует, что

{ displaystyle GW_ {0,3} ^ {X, 0} (a, b, c) = int _ {X} a smile b smile c;}

другими словами,

{ displaystyle (a * b) _ {0} = a smile b.}

Таким образом, квантовый стаканчик содержит обычный стаканчик; он расширяет обычный кубок до ненулевых классов А.

В целом Пуанкаре двойственный из (а∗б)_А соответствует пространству псевдоголоморфных кривых класса А проходя через двойники Пуанкаре а и б. Итак, в то время как обычные когомологии рассматривают а и б пересекаться только тогда, когда они встречаются в одной или нескольких точках, квантовая когомология записывает ненулевое пересечение для а и б всякий раз, когда они соединены одной или несколькими псевдоголоморфными кривыми. Кольцо Новикова просто обеспечивает систему бухгалтерского учета, достаточно большую, чтобы записывать эту информацию о пересечении для всех классов. А.

Пример

Позволять Икс быть сложным проективная плоскость с его стандартной симплектической формой (соответствующей Метрика Фубини – Этюд ) и сложной конструкции. Позволять ${ displaystyle ell in H ^ {2} (X)}$ - двойственный Пуанкаре прямой L. потом

{ Displaystyle H ^ {*} (X) cong mathbf {Z} [ ell] / ell ^ {3}.}

Единственными ненулевыми инвариантами Громова – Виттена являются инварианты класса А = 0 или А = L. Оказывается, что

{ displaystyle int _ {X} ( ell ^ {i} * ell ^ {j}) _ {0} smile ell ^ {k} = GW_ {0,3} ^ {X, 0} ( ell ^ {i}, ell ^ {j}, ell ^ {k}) = delta (i + j + k, 2)}

и

{ displaystyle int _ {X} ( ell ^ {i} * ell ^ {j}) _ {L} smile ell ^ {k} = GW_ {0,3} ^ {X, L} ( ell ^ {i}, ell ^ {j}, ell ^ {k}) = delta (i + j + k, 5),}

где δ - Дельта Кронекера. Следовательно,

{ displaystyle ell * ell = ell ^ {2} e ^ {0} + 0e ^ {L} = ell ^ {2},}

{ displaystyle ell * ell ^ {2} = 0e ^ {0} + 1e ^ {L} = e ^ {L}.}

В этом случае удобно переименовать ${ displaystyle e ^ {L}}$ в качестве q и воспользуемся более простым кольцом коэффициентов Z[q]. Этот q имеет степень ${ displaystyle 6 = 2c_ {1} (L)}$ . потом

{ displaystyle QH ^ {*} (X, mathbf {Z} [q]) cong mathbf {Z} [ ell, q] / ( ell ^ {3} = q).}

Свойства продукта малого квантового стакана

За а, б чистой степени,

{ Displaystyle deg (a * b) = deg (a) + deg (b)}

и

{ displaystyle b * a = (- 1) ^ { deg (a) deg (b)} a * b.}

Небольшой квантовый стаканчик распределительный и Λ-билинейный. В элемент идентичности ${ Displaystyle 1 в H ^ {0} (X)}$ также является элементом единицы для малых квантовых когомологий.

Небольшой квантовый стаканчик также ассоциативный. Это следствие закона склейки для инвариантов Громова – Виттена, сложный технический результат. Это равносильно тому, что Громов – Виттен потенциал (а производящая функция для инвариантов Громова – Виттена рода 0) удовлетворяет некоторому третьему порядку дифференциальное уравнение известный как Уравнение WDVV.

Соединение на перекрестке

{ displaystyle QH ^ {*} (X, Lambda) otimes QH ^ {*} (X, Lambda) to R}

определяется

{ displaystyle left langle sum _ {i} a_ {i} otimes lambda _ {i}, sum _ {j} b_ {j} otimes mu _ {j} right rangle = sum _ {i, j} ( lambda _ {i}) _ {0} ( mu _ {j}) _ {0} int _ {X} a_ {i} smile b_ {j}.}

(Нижние индексы 0 указывают А = 0 коэффициент.) Это спаривание удовлетворяет свойству ассоциативности

{ displaystyle langle a * b, c rangle = langle a, b * c rangle.}

Дубровина связь

Когда базовое кольцо р является C, можно просмотреть равномерно отсортированную часть ЧАС векторного пространства QH*(Икс, Λ) как комплексное многообразие. Небольшое произведение квантового стакана ограничивается четко определенным коммутативным произведением на ЧАС. При умеренных предположениях, ЧАС с парой пересечения ${ displaystyle langle, rangle}$ тогда Алгебра Фробениуса.

Продукт квантового стакана можно рассматривать как связь на касательном расслоении TH, называется Дубровина связь. Коммутативность и ассоциативность продукта квантового стакана тогда соответствуют нулю-кручение и ноль-кривизна условия по этому подключению.

Большие квантовые когомологии

Существует район U из 0 ∈ ЧАС такой, что ${ displaystyle langle, rangle}$ и связь Дубровина дают U структура Многообразие Фробениуса. Любой а в U определяет продукт квантовой чашки

{ displaystyle * _ {a}: H otimes H to H}

по формуле

{ displaystyle langle x * _ {a} y, z rangle: = sum _ {n} sum _ {A} { frac {1} {n!}} GW_ {0, n + 3} ^ {X, A} (x, y, z, a, ldots, a).}

В совокупности эти продукты на ЧАС называются большие квантовые когомологии. Все инварианты Громова – Виттена рода 0 восстанавливаются по нему; в общем, то же самое нельзя сказать о более простых малых квантовых когомологиях.

Малые квантовые когомологии содержат информацию только о 3-точечных инвариантах Громова – Виттена, но большие квантовые когомологии имеют все (n ≧ 4) n-точечные инварианты Громова – Виттена. Чтобы получить перечислительную геометрическую информацию для некоторых многообразий, нам нужно использовать большие квантовые когомологии. Малые квантовые когомологии соответствовали бы 3-точечным корреляционным функциям в физике, тогда как большие квантовые когомологии соответствовали бы всем n-точечным корреляционным функциям.