Исчисление Шуберта - Schubert calculus

В математика, Исчисление Шуберта это филиал алгебраическая геометрия введен в девятнадцатом веке Герман Шуберт, для решения различных задач подсчета проективная геометрия (часть перечислительная геометрия ). Это был предшественник нескольких более современных теорий, например характеристические классы, и, в частности, ее алгоритмические аспекты по-прежнему актуальны. Фраза «исчисление Шуберта» иногда используется для обозначения перечислительной геометрии линейных подпространств, примерно эквивалентной описанию кольца когомологий грассманианов, а иногда и для обозначения более общей перечислительной геометрии нелинейных многообразий. В более общем смысле, «исчисление Шуберта» часто понимают как охватывающее изучение аналогичных вопросов в обобщенные теории когомологий.

Объекты, представленные Шубертом, - это Клетки Шуберта, которые локально закрыто устанавливает в Грассманиан определяется условиями заболеваемость линейного подпространства в проективном пространстве с заданным флаг. Подробнее см. Сорт Шуберта.

В теория пересечений этих ячеек, что можно увидеть как структуру продукта в кольцо когомологий грассманиана ассоциированных классы когомологий, в принципе, позволяет предсказывать случаи, когда пересечение ячеек приводит к конечному набору точек, которые потенциально могут быть конкретными ответами на перечислительные вопросы. Подтверждающий теоретический результат состоит в том, что клетки Шуберта (или, скорее, их классы) охватывают все кольцо когомологий.

В подробных расчетах комбинаторные аспекты входят, как только ячейки необходимо проиндексировать. Снят с Грассманиан, который является однородное пространство, в общая линейная группа который действует на него, аналогичные вопросы задействованы в Разложение Брюа и классификация параболические подгруппы (к блочная матрица ).

Строгий фундамент системы Шуберта - это Пятнадцатая проблема Гильберта.

Строительство

Исчисление Шуберта можно построить с помощью Кольцо для чау-чау из Грассманиан где производящие циклы представлены геометрически значимыми данными.^[1] Обозначить ${ Displaystyle G (к, В)}$ как грассманиан ${ displaystyle k}$ -самолеты в фиксированной ${ displaystyle n}$ -мерное векторное пространство ${ displaystyle V}$ . Обратите внимание, что иногда это обозначается как ${ Displaystyle G (к, п)}$ если векторное пространство явно не указано. Связано с произвольным полным флагом ${ Displaystyle { mathcal {V}}}$

${ displaystyle 0 subset V_ {1} subset cdots subset V_ {n-1} subset V_ {n} = V}$

и уменьшение ${ displaystyle k}$ -набор целых чисел ${ Displaystyle mathbf {а} = (а_ {1}, ldots, а_ {к})}$ куда

${ Displaystyle п-к geq a_ {1} geq a_ {2} geq cdots geq a_ {k} geq 0}$

Существуют Циклы Шуберта (которые называются Клетки Шуберта при рассмотрении клеточной гомологии вместо кольца Чжоу) ${ Displaystyle Sigma _ { mathbf {a}} ({ mathcal {V}}) подмножество G (k, V)}$ определяется как

${ Displaystyle Sigma _ { mathbf {a}} ({ mathcal {V}}) = { Lambda in G (k, V): dim (V_ {n-k + i-a_ {i }} cap Lambda) geq i { text {для всех}} i geq 1 }}$

Поскольку класс ${ Displaystyle [ Sigma _ { mathbb {a}} ({ mathcal {V}})] в A ^ {*} (G (k, V))}$ не зависит от флага завершения, класс можно записать как

${ displaystyle sigma _ { mathbb {a}}: = [ Sigma _ { mathbb {a}}] in A ^ {*} (G (k, V))}$

которые называются Классы Шуберта. Можно показать, что эти классы порождают кольцо Чжоу, и соответствующая теория пересечений называется Исчисление Шуберта. Обратите внимание на последовательность ${ displaystyle mathbb {a} = (a_ {1}, ldots, a_ {j}, 0, ldots, 0)}$ класс Шуберта ${ displaystyle sigma _ {(a_ {1}, ldots, a_ {j}, 0, ldots, 0)}}$ обычно обозначается как просто ${ Displaystyle sigma _ {(а_ {1}, ldots, а_ {j})}}$ . Кроме того, классы Шуберта, заданные одним целым числом, ${ displaystyle sigma _ {a_ {1}}}$ , называются специальные классы. Используя формулу Джамбели ниже, все классы Шуберта могут быть сгенерированы из этих специальных классов.

Объяснение определения

Поначалу определение выглядит немного неудобным. Учитывая общий ${ displaystyle k}$ -самолет ${ displaystyle Lambda subset V}$ он будет иметь только нулевое пересечение с ${ displaystyle V_ {i}}$ за ${ Displaystyle я Leq п-к}$ и ${ Displaystyle тусклый (V_ {N-K + I} cap Lambda) = I}$ за ${ displaystyle i> п-к}$ . Например, в ${ Displaystyle G (4,9)}$ учитывая ${ displaystyle 4}$ -самолет ${ displaystyle Lambda}$ , это вырезается системой пяти линейных уравнений. В ${ displaystyle 2}$ -самолет ${ displaystyle V_ {2}}$ не гарантируется, что он пересечется где-либо, кроме начала координат, поскольку есть пять свободных параметров, в которых он может существовать. Кроме того, однажды ${ Displaystyle тусклый (V_ {я}) + тусклый ( Лямбда)> п}$ , то они обязательно пересекаются. Это означает, что ожидаемый размер пересечения ${ displaystyle V_ {5}}$ и ${ displaystyle Lambda}$ должен иметь размер ${ displaystyle 1}$ , пересечение ${ displaystyle V_ {6}}$ и ${ displaystyle Lambda}$ должен иметь размер ${ displaystyle 2}$ , и так далее. Эти циклы затем определяют специальные подмногообразия в ${ Displaystyle G (к, п)}$ .

Характеристики

Включение

Есть частичный заказ на всех ${ displaystyle k}$ -наборы, где ${ Displaystyle mathbb {а} geq mathbb {b}}$ если ${ displaystyle a_ {i} geq b_ {i}}$ для каждого ${ displaystyle i}$ . Это дает включение циклов Шуберта

${ displaystyle Sigma _ { mathbb {a}} subset Sigma _ { mathbb {b}} iff a geq b}$

показывающий рост индексов соответствует еще большей специализации подмногообразий.

Формула коразмерности

Цикл Шуберта ${ Displaystyle Sigma _ { mathbb {а}}}$ имеет коразмерность

${ displaystyle sum a_ {i}}$

которое устойчиво относительно включений грассманианов. То есть включение

${ Displaystyle я: G (к, п) hookrightarrow G (к + 1, п + 1)}$

дается добавлением дополнительного базового элемента ${ displaystyle e_ {n + 1}}$ для каждого ${ displaystyle k}$ -самолет, дающий ${ Displaystyle (к + 1)}$ -самолет, имеет свойство

${ Displaystyle я ^ {*} ( sigma _ { mathbb {a}}) = sigma _ { mathbb {a}}}$

Также включение

${ Displaystyle J: G (к, п) hookrightarrow G (к, п + 1)}$

дается включением ${ displaystyle k}$ -plane имеет то же свойство отката.

Продукт пересечения

Произведение пересечений было впервые установлено с использованием формул Пиери и Джамбелли.

Формула Пиери

В частном случае ${ displaystyle mathbb {b} = (b, 0, ldots, 0)}$ , есть явная формула произведения ${ displaystyle sigma _ {b}}$ с произвольным классом Шуберта ${ displaystyle sigma _ {a_ {1}, ldots, a_ {k}}}$ данный

${ displaystyle sigma _ {b} cdot sigma _ {a_ {1}, ldots, a_ {k}} = sum _ { begin {matrix} | c | = | a | + b a_ {i} leq c_ {i} leq a_ {i-1} end {matrix}} sigma _ { mathbb {c}}}$

Примечание ${ displaystyle | mathbb {a} | = a_ {1} + cdots + a_ {k}}$ . Эта формула называется Формула Пиери и может использоваться для определения произведения пересечений любых двух классов Шуберта в сочетании с формулой Джамбелли. Например

${ displaystyle sigma _ {1} cdot sigma _ {4,2,1} = sigma _ {5,2,1} + sigma _ {4,3,1} + sigma _ {4, 2,1,1}}$

и

${ displaystyle sigma _ {2} cdot sigma _ {4,3} = sigma _ {4,3,2} + sigma _ {4,4,1} + sigma _ {5,3, 1} + sigma _ {5,4} + sigma _ {6,3}}$

Формула Джамбелли

Классы Шуберта с кортежами длины два или более могут быть описаны как детерминированное уравнение, использующее классы только одного кортежа. В Формула Джамбелли читается как уравнение

${ displaystyle sigma _ {(a_ {1}, ldots, a_ {k})} = { begin {vmatrix} sigma _ {a_ {1}} & sigma _ {a_ {1} +1} & sigma _ {a_ {1} +2} & cdots & sigma _ {a_ {1} + k-1} sigma _ {a_ {2} -1} & sigma _ {a_ {2 }} & sigma _ {a_ {2} +1} & cdots & sigma _ {a_ {2} + k-2} sigma _ {a_ {3} -2} & sigma _ {a_ {3} -1} & sigma _ {a_ {3}} & cdots & sigma _ {a_ {3} + k-3} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots sigma _ {a_ {k} -k + 1} & sigma _ {a_ {k} -k + 2} & sigma _ {a_ {k} -k + 3} & cdots & sigma _ { а_ {к}} конец {vmatrix}}}$

заданный определителем ${ Displaystyle (к, к)}$ -матрица. Например,

${ displaystyle sigma _ {2,2} = { begin {vmatrix} sigma _ {2} & sigma _ {3} sigma _ {1} & sigma _ {2} end {vmatrix }} = sigma _ {2} ^ {2} - sigma _ {1} cdot sigma _ {3}}$

и

${ displaystyle sigma _ {2,1,1} = { begin {vmatrix} sigma _ {2} & sigma _ {3} & sigma _ {4} sigma _ {0} & сигма _ {1} & sigma _ {2} 0 & sigma _ {0} & sigma _ {1} end {vmatrix}}}$

Связь с классами Черна

Кольцо когомологий, или кольцо Чоу, грассманиана можно легко описать с помощью классов Черна двух естественных векторных расслоений над грассманианом ${ Displaystyle G (к, п)}$ . Имеется последовательность векторных расслоений

${ displaystyle 0 to T to { underline {V}} to Q to 0}$

куда ${ displaystyle { underline {V}}}$ - тривиальное векторное расслоение ранга ${ displaystyle n}$ , волокно ${ displaystyle T}$ над ${ displaystyle Lambda in G (k, n)}$ подпространство ${ displaystyle Lambda subset V}$ , и ${ displaystyle Q}$ - факторно-векторное расслоение (которое существует, поскольку ранг постоянен на каждом из слоев). Классы Черна этих двух связанных расслоений суть

${ displaystyle c_ {i} (T) = (- 1) ^ {i} sigma _ {(1, ldots, 1)}}$

куда ${ Displaystyle (1, ldots, 1)}$ является ${ displaystyle i}$ -часть и

${ Displaystyle c_ {я} (Q) = sigma _ {я}}$

Затем тавтологическая последовательность дает представление о ринге Чау в виде

${ displaystyle A ^ {*} (G (k, n)) = { frac { mathbb {Z} [c_ {1} (T), ldots, c_ {k} (T), c_ {1} (Q), ldots, c_ {nk} (Q)]} {(c (T) c (Q) -1)}}}$

G (2,4)

Один из проанализированных классических примеров - грассманиан ${ Displaystyle G (2,4)}$ поскольку он параметризует строки в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ . Исчисление Шуберта можно использовать, чтобы найти количество линий на Кубическая поверхность.

Кольцо для чау-чау

Ринг Чау имеет презентацию

${ Displaystyle A ^ {*} (G (2,4)) = { frac { mathbb {Z} [ sigma _ {1}, sigma _ {1,1}, sigma _ {2}] } {(1- sigma _ {1} + sigma _ {1,1}) (1+ sigma _ {1} + sigma _ {2})}}}$

а как градуированная абелева группа -

${ Displaystyle { begin {align} A ^ {0} (G (2,4)) & = mathbb {Z} cdot 1 A ^ {2} (G (2,4)) & = mathbb {Z} cdot sigma _ {1} A ^ {4} (G (2,4)) & = mathbb {Z} cdot sigma _ {2} oplus mathbb {Z} cdot sigma _ {1,1} A ^ {6} (G (2,4)) & = mathbb {Z} cdot sigma _ {2,1} A ^ {8} (G (2,4)) & = mathbb {Z} cdot sigma _ {2,2} конец {выровнено}}}$ ^[2]

Линии на кубической поверхности

Это кольцо Чоу можно использовать для вычисления количества линий на кубической поверхности.^[1] Вспомните строку в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ дает подпространство размерности два в ${ displaystyle mathbb {A} ^ {4}}$ , следовательно ${ Displaystyle mathbb {G} (1,3) cong G (2,4)}$ . Кроме того, уравнение линии можно представить в виде участка ${ Displaystyle Gamma ( mathbb {G} (1,3), T ^ {*})}$ . Поскольку кубическая поверхность ${ displaystyle X}$ дается как общий однородный кубический многочлен, это дается как общее сечение ${ displaystyle s in Gamma ( mathbb {G} (1,3), { text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}))}$ . Затем строка ${ Displaystyle L подмножество mathbb {P} ^ {3}}$ является подмногообразием ${ displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда сечение исчезает на ${ Displaystyle [L] в mathbb {G} (1,3)}$ . Следовательно Класс Эйлера из ${ displaystyle { text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$ может быть интегрирован ${ Displaystyle mathbb {G} (1,3)}$ чтобы получить количество точек, в которых общее сечение исчезает на ${ Displaystyle mathbb {G} (1,3)}$ . Чтобы получить класс Эйлера, полный класс Черна ${ displaystyle T ^ {*}}$ должен быть вычислен, что дается как

${ displaystyle c (T ^ {*}) = 1+ sigma _ {1} + sigma _ {1,1}}$

Тогда формула расщепления читается как формальное уравнение

${ displaystyle { begin {align} c (T ^ {*}) & = (1+ alpha) (1+ beta) & = 1+ alpha + beta + alpha cdot beta конец {выровнен}}}$

куда ${ Displaystyle с ({ mathcal {L}}) = 1+ альфа}$ и ${ Displaystyle с ({ mathcal {M}}) = 1+ бета}$ для формальных наборов линий ${ displaystyle { mathcal {L}}, { mathcal {M}}}$ . Уравнение расщепления дает соотношения

${ Displaystyle sigma _ {1} = альфа + бета}$ и ${ Displaystyle sigma _ {1,1} = альфа cdot beta}$ .

С ${ displaystyle { text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})}$ можно читать как прямую сумму формальных векторных расслоений

${ displaystyle { text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*}) = { mathcal {L}} ^ { otimes 3} oplus ({ mathcal {L}} ^ { otimes 2 } otimes { mathcal {M}}) oplus ({ mathcal {L}} otimes { mathcal {M}} ^ { otimes 2}) oplus { mathcal {M}} ^ { otimes 3}}$

чей полный класс Черна

${ displaystyle c ({ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) = (1 + 3 alpha) (1 + 2 alpha + beta) (1+ alpha +2 бета) (1 + 3 бета)}$

следовательно

${ displaystyle { begin {align} c_ {4} ({ text {Sym}} ^ {3} (T ^ {*})) & = 3 alpha (2 alpha + beta) ( alpha + 2 beta) 3 beta & = 9 alpha beta (2 ( alpha + beta) ^ {2} + alpha beta) & = 9 sigma _ {1,1} (2 sigma _ {1} ^ {2} + sigma _ {1,1}) & = 27 sigma _ {2,2} end {выравнивается}}}$

используя факт

${ Displaystyle sigma _ {1,1} cdot sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {2,1} sigma _ {1} = sigma _ {2,2}}$ и ${ Displaystyle sigma _ {1,1} cdot sigma _ {1,1} = sigma _ {2,2}}$

Тогда интеграл равен

${ displaystyle int _ { mathbb {G} (1,3)} 27 sigma _ {2,2} = 27}$

поскольку ${ displaystyle sigma _ {2,2}}$ это высший класс. Поэтому есть ${ displaystyle 27}$ линии на кубической поверхности.