Разложение Брюа - Bruhat decomposition

В математике Разложение Брюа (представлен Франсуа Брюа за классические группы и по Клод Шевалле в целом) грамм = BWB определенных алгебраические группы грамм в клетки можно рассматривать как общее выражение принципа Исключение Гаусса – Жордана, который обычно записывает матрицу как произведение верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц, но в исключительных случаях. Это связано с Ячейка Шуберта разложение грассманианов: см. Группа Вейля за это.

В общем, любая группа с (B, N) пара имеет разложение Брюа.

Определения

грамм это связаны, редуктивный алгебраическая группа над алгебраически замкнутое поле.
B это Подгруппа Бореля из грамм
W это Группа Вейля из грамм соответствующий максимальному тору B.

В Разложение Брюа из грамм это разложение

{ Displaystyle G = BWB = bigsqcup _ {w in W} BwB}

из грамм как несвязный союз двойные классы из B параметризованный элементами группы Вейля W. (Обратите внимание, что хотя W в общем случае не является подгруппой грамм, класс wB все еще корректно определено, поскольку максимальный тор содержится в B.)

Примеры

Позволять грамм быть общая линейная группа GL_п обратимого ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы с элементами некоторого алгебраически замкнутого поля, которое является восстановительная группа. Тогда группа Вейля W изоморфен симметричная группа S_п на п буквы, с матрицы перестановок в качестве представителей. В этом случае мы можем взять B быть подгруппой верхнетреугольных обратимых матриц, поэтому разложение Брюа говорит, что можно записать любую обратимую матрицу А как продукт U₁ПУ₂ куда U₁ и U₂ верхнетреугольные, а п матрица перестановок. Написав это как п = U₁⁻¹Австралия₂⁻¹, это говорит о том, что любая обратимая матрица может быть преобразована в матрицу перестановок с помощью серии операций со строками и столбцами, где нам разрешено только добавлять строку я (соотв. столбец я) грести j (соотв. столбец j) если я > j (соотв. я < j). Операции со строками соответствуют U₁⁻¹, а операции со столбцами соответствуют U₂⁻¹.

В специальная линейная группа SL_п обратимого ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы с детерминант 1 - это полупростая группа, а значит, и редуктивный. В этом случае, W по-прежнему изоморфна симметрической группе S_п. Однако определитель матрицы перестановок является знаком перестановки, поэтому для представления нечетной перестановки в SL_п, в качестве одного из ненулевых элементов можно взять −1 вместо 1. Здесь B является подгруппой верхнетреугольных матриц с определителем 1, поэтому интерпретация разложения Брюа в этом случае аналогична случаю GL_п.

Геометрия

Ячейки в разложении Брюа соответствуют Ячейка Шуберта разложение грассманианов. Размер ячеек соответствует длина слова ш в группе Вейля. Двойственность Пуанкаре ограничивает топологию клеточного разложения и, следовательно, алгебру группы Вейля; например, ячейка верхнего измерения уникальна (она представляет собой фундаментальный класс ) и соответствует самый длинный элемент группы Кокстера.

Расчеты

Количество ячеек в данном измерении разложения Брюа является коэффициентом q-полином^[1] связанных Диаграмма Дынкина.

Двойные клетки Брюа

С двумя противоположными борелями можно пересекать ячейки Брюа для каждой из них.

{ displaystyle G = bigsqcup _ {w_ {1}, w_ {2} in W} (Bw_ {1} B cap B _ {-} w_ {2} B _ {-})}

Смотрите также

Разложения группы Ли
Факторизация Биркгофа, частный случай разложения Брюа для аффинных групп.
Кластерная алгебра

Примечания

^ Результаты этой недели по математической физике, неделя 186