Кластерная алгебра - Википедия - Cluster algebra

Кластерные алгебры являются классом коммутативные кольца представлен Фомин и Зелевинский  (2002, 2003, 2007 ). Кластерная алгебра ранга п является область целостности А, вместе с некоторыми подмножествами размера п называемые кластеры, объединение которых порождает алгебра А и которые удовлетворяют различным условиям.

Определения

Предположим, что F является область целостности, такой как поле Q(Икс1,...,Иксп) из рациональные функции в п переменные по рациональное число Q.

А кластер из классифицировать п состоит из набора п elements {Икс, у, ...} из F, обычно считается алгебраически независимый набор генераторов расширение поля F.

А семя состоит из кластера {Икс, у, ...} из Fвместе с матрица обмена B с целочисленными записями бИкс,у индексируется парами элементов Икс, у кластера. Иногда предполагается, что матрица имеет вид кососимметричный, так что бИкс,у = –бу,Икс для всех Икс и у. В более общем плане матрица может быть кососимметризуемой, что означает наличие положительных целых чисел dИкс связанные с элементами кластера, такие что dИксбИкс,у = –dубу,Икс для всех Икс и у. Обычно семя изображают как колчан с вершинами порождающего множества, рисуя бИкс,у стрелки из Икс к у если это число положительное. Когда бИкс,у кососимметризуемо, колчан не имеет петель или 2-циклов.

А мутация семени, в зависимости от выбора вершины у кластера - это новое семя, данное обобщением наклон следующее. Обменять ценности бИкс,у и бу,Икс для всех Икс в кластере. Если бИкс,у > 0 и бу,z > 0, затем замените бИкс,z к бИкс,убу,z + бИкс,z. Если бИкс,у <0 и бу,z <0, затем замените бИкс,z к -бИкс,убу,z + бИкс,z. Если бИкс,у бу,z ≤ 0, то не меняйте бИкс,z. Наконец замените у новым генератором ш, куда

где продукты проходят сквозь элементы т в грозди семени так, чтобы бт,у положительный или отрицательный соответственно. Обращение мутации также является мутацией, т. Е. Если А это мутация B тогда B это мутация А.

А кластерная алгебра строится из начального семени следующим образом. Если мы многократно мутируем семя всеми возможными способами, мы получаем конечное или бесконечное график семян, где два семени соединены ребром, если одно может быть получено путем мутации другого. Основная алгебра кластерной алгебры - это алгебра, порожденная всеми кластерами всех начальных чисел в этом графе. Кластерная алгебра также имеет дополнительную структуру начальных чисел этого графа.

Кластерная алгебра называется конечный тип если у него есть только конечное количество семян. Фомин и Зелевинский (2003) показали, что кластерные алгебры конечного типа можно классифицировать в терминах Диаграммы Дынкина конечномерных простые алгебры Ли.

Примеры

Кластерные алгебры ранга 1

Если {Икс} - это кластер семени ранга 1, то единственная мутация приводит его к {2Икс−1}. Итак, кластерная алгебра ранга 1 - это просто кольцо k[Икс,Икс−1] из Полиномы Лорана, и в нем всего два кластера, {Икс} и {2Икс−1}. В частности, он имеет конечный тип и связан с диаграммой Дынкина A1.

Кластерные алгебры ранга 2

Предположим, что мы начинаем с кластера {Икс1, Икс2} и возьмем матрицу обмена с б12 = –B21 = 1. Тогда мутация дает последовательность переменных Икс1, Икс2, Икс3, Икс4, ... такие, что кластеры заданы соседними парами {Иксп, Иксп+1}. Переменные связаны соотношением

так даются последовательностью

который повторяется с периодом 5. Таким образом, эта кластерная алгебра имеет ровно 5 кластеров, в частности конечного типа. Ему соответствует диаграмма Дынкина A2.

Есть похожие примеры с б12 = 1, –б21 = 2 или 3, где аналогичная последовательность кластерных переменных повторяется с периодом 6 или 8. Они также имеют конечный тип и связаны с диаграммами Дынкина B2 и G2. Однако если |б12б21| ≥ 4, то последовательность кластерных переменных непериодична и кластерная алгебра имеет бесконечный тип.

Кластерные алгебры ранга 3

Предположим, мы начнем с колчана Икс1Икс2Икс3. Тогда 14 кластеров:

Есть 6 переменных кластера, кроме 3 исходных. Икс1, Икс2, Икс3 данный

.

Они соответствуют 6 положительным корням диаграммы Дынкина A3: точнее знаменатели - одночлены от Икс1, Икс2, Икс3, что соответствует выражению положительных корней как суммы простых корней. 3 + 6 кластерных переменных генерируют кластерную алгебру конечного типа, связанную с диаграммой Дынкина A3. 14 кластеров являются вершинами графа кластеров, который ассоциэдр.

Грассманианы

Простые примеры дают алгебры однородных функций на Грассманианы. В Координаты Плюккера предоставить некоторые из отличительных элементов.

Мутация между двумя триангуляциями семиугольника

Для грассманиана плоскостей вп, ситуация еще проще. В этом случае координаты Плюккера предоставляют все выделенные элементы, и кластеры могут быть полностью описаны с помощью триангуляции из правильный многоугольник с п вершины. Точнее, кластеры находятся во взаимно однозначном соответствии с триангуляциями, а выделенные элементы находятся во взаимно однозначном соответствии с диагоналями (отрезками прямых, соединяющих две вершины многоугольника). Можно различить диагонали на границе, принадлежащие каждому кластеру, и диагонали внутри. Это соответствует общему различию между переменными коэффициентов и переменными кластера.

Кластерные алгебры, возникающие из поверхностей

Предполагать S это компактный связаны ориентированный Риманова поверхность и M это непустой конечный набор точек в S содержащий хотя бы одну точку из каждого граница компонент S (граница S не считается пустым или непустым). Пара (S, M) часто называют окаймленная поверхность с отмеченными точками. Фомин-Шапиро-Терстон показал, что если S не закрытая поверхность, или если M имеет более одной точки, то (отмеченные) дуги на (S, M) параметризовать набор кластерных переменных определенной кластерной алгебры А(S, M), который зависит только от (S, M) и выбор некоторой системы коэффициентов таким образом, чтобы набор (помеченных) триангуляций (S, M) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством кластеров А(S, M), две (помеченные) триангуляции связаны кувырок тогда и только тогда, когда кластеры, которым они соответствуют, связаны мутацией кластера.

Двойные клетки Брюа

За грамм а восстановительная группа Такие как с Борелевские подгруппы Затем на (куда ты и v находятся в Группа Вейля ) имеются диаграммы координат кластера в зависимости от сокращенных разложений слов ты и v. Они называются параметрами факторизации, и их структура закодирована на монтажной схеме. Только с или только , это Разложение Брюа.

Рекомендации

  • Беренштейн, Аркадий; Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2005), "Кластерные алгебры. III. Верхние границы и двойные ячейки Брюа", Математический журнал герцога, 126 (1): 1–52, arXiv:математика / 0305434, Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12611-9, МИСТЕР  2110627
  • Фомин, Сергей; Шапиро, Майкл; Терстон, Дилан (2008), "Кластерные алгебры и триангулированные поверхности, часть I: Кластерные комплексы", Acta Mathematica, 201: 83–146, arXiv:математика / 0608367, Дои:10.1007 / s11511-008-0030-7
  • Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2002), "Кластерные алгебры. I. Основы", Журнал Американского математического общества, 15 (2): 497–529, arXiv:математика / 0104151, Дои:10.1090 / S0894-0347-01-00385-X, МИСТЕР  1887642
  • Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2003), "Кластерные алгебры. II. Классификация конечных типов", Inventiones Mathematicae, 154 (1): 63–121, arXiv:математика / 0208229, Bibcode:2003InMat.154 ... 63F, Дои:10.1007 / s00222-003-0302-y, МИСТЕР  2004457
  • Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2007), "Кластерные алгебры. IV. Коэффициенты", Compositio Mathematica, 143 (1): 112–164, arXiv:математика / 0602259, Дои:10.1112 / S0010437X06002521, МИСТЕР  2295199
  • Фомин, Сергей; Ридинг, Натан (2007), «Корневые системы и обобщенные ассоциаэдры», Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд (ред.), Геометрическая комбинаторика, IAS / Park City Math. Сер., 13, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., arXiv:математика / 0505518, Bibcode:2005математика ...... 5518F, ISBN  978-0-8218-3736-8, МИСТЕР  2383126
  • Марш, Роберт Дж. (2013), Конспект лекций по кластерным алгебрам., Цюрихские лекции по высшей математике, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), Дои:10.4171/130, ISBN  978-3-03719-130-9, МИСТЕР  3155783
  • Рейтен, Идун (2010), Теория тилтинга и кластерные алгебры, Триестские материалы семинара, arXiv:1012.6014, Bibcode:2010arXiv1012.6014R
  • Зелевинский, Андрей (2007), "Что такое ... кластерная алгебра?" (PDF), Уведомления AMS, 54 (11): 1494–1495.

внешняя ссылка