Кластерная алгебра - Википедия - Cluster algebra

Кластерные алгебры являются классом коммутативные кольца представлен Фомин и Зелевинский (2002, 2003, 2007 ). Кластерная алгебра ранга п является область целостности А, вместе с некоторыми подмножествами размера п называемые кластеры, объединение которых порождает алгебра А и которые удовлетворяют различным условиям.

Определения

Предположим, что F является область целостности, такой как поле Q(Икс₁,...,Икс_п) из рациональные функции в п переменные по рациональное число Q.

А кластер из классифицировать п состоит из набора п elements {Икс, у, ...} из F, обычно считается алгебраически независимый набор генераторов расширение поля F.

А семя состоит из кластера {Икс, у, ...} из Fвместе с матрица обмена B с целочисленными записями б_Икс,у индексируется парами элементов Икс, у кластера. Иногда предполагается, что матрица имеет вид кососимметричный, так что б_Икс,у = –б_у,Икс для всех Икс и у. В более общем плане матрица может быть кососимметризуемой, что означает наличие положительных целых чисел d_Икс связанные с элементами кластера, такие что d_Иксб_Икс,у = –d_уб_у,Икс для всех Икс и у. Обычно семя изображают как колчан с вершинами порождающего множества, рисуя б_Икс,у стрелки из Икс к у если это число положительное. Когда б_Икс,у кососимметризуемо, колчан не имеет петель или 2-циклов.

А мутация семени, в зависимости от выбора вершины у кластера - это новое семя, данное обобщением наклон следующее. Обменять ценности б_Икс,у и б_у,Икс для всех Икс в кластере. Если б_Икс,у > 0 и б_у,z > 0, затем замените б_Икс,z к б_Икс,уб_у,z + б_Икс,z. Если б_Икс,у <0 и б_у,z <0, затем замените б_Икс,z к -б_Икс,уб_у,z + б_Икс,z. Если б_Икс,у б_у,z ≤ 0, то не меняйте б_Икс,z. Наконец замените у новым генератором ш, куда

{ displaystyle wy = prod _ {t: , b_ {t, y}> 0} t ^ {b_ {t, y}} + prod _ {t: , b_ {t, y} <0} t ^ {- b_ {t, y}}}

где продукты проходят сквозь элементы т в грозди семени так, чтобы б_т,у положительный или отрицательный соответственно. Обращение мутации также является мутацией, т. Е. Если А это мутация B тогда B это мутация А.

А кластерная алгебра строится из начального семени следующим образом. Если мы многократно мутируем семя всеми возможными способами, мы получаем конечное или бесконечное график семян, где два семени соединены ребром, если одно может быть получено путем мутации другого. Основная алгебра кластерной алгебры - это алгебра, порожденная всеми кластерами всех начальных чисел в этом графе. Кластерная алгебра также имеет дополнительную структуру начальных чисел этого графа.

Кластерная алгебра называется конечный тип если у него есть только конечное количество семян. Фомин и Зелевинский (2003) показали, что кластерные алгебры конечного типа можно классифицировать в терминах Диаграммы Дынкина конечномерных простые алгебры Ли.

Примеры

Кластерные алгебры ранга 1

Если {Икс} - это кластер семени ранга 1, то единственная мутация приводит его к {2Икс⁻¹}. Итак, кластерная алгебра ранга 1 - это просто кольцо k[Икс,Икс⁻¹] из Полиномы Лорана, и в нем всего два кластера, {Икс} и {2Икс⁻¹}. В частности, он имеет конечный тип и связан с диаграммой Дынкина A₁.

Кластерные алгебры ранга 2

Предположим, что мы начинаем с кластера {Икс₁, Икс₂} и возьмем матрицу обмена с б₁₂ = –B₂₁ = 1. Тогда мутация дает последовательность переменных Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄, ... такие, что кластеры заданы соседними парами {Икс_п, Икс_п+1}. Переменные связаны соотношением

{ displaystyle displaystyle x_ {n-1} x_ {n + 1} = 1 + x_ {n},}

так даются последовательностью

{ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} = { frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {4} = { frac {1 + x_ {3}} {x_ {2}}} = { frac {1 + x_ {1} + x_ {2}} {x_ {1} x_ {2}}},}

{ displaystyle x_ {5} = { frac {1 + x_ {4}} {x_ {3}}} = { frac {1 + x_ {1}} {x_ {2}}}, x_ {6 } = { frac {1 + x_ {5}} {x_ {4}}} = x_ {1}, x_ {7} = { frac {1 + x_ {6}} {x_ {5}}} = x_ {2}, ldots}

который повторяется с периодом 5. Таким образом, эта кластерная алгебра имеет ровно 5 кластеров, в частности конечного типа. Ему соответствует диаграмма Дынкина A₂.

Есть похожие примеры с б₁₂ = 1, –б₂₁ = 2 или 3, где аналогичная последовательность кластерных переменных повторяется с периодом 6 или 8. Они также имеют конечный тип и связаны с диаграммами Дынкина B₂ и G₂. Однако если |б₁₂б₂₁| ≥ 4, то последовательность кластерных переменных непериодична и кластерная алгебра имеет бесконечный тип.

Кластерные алгебры ранга 3

Предположим, мы начнем с колчана Икс₁ → Икс₂ → Икс₃. Тогда 14 кластеров:

{ displaystyle left {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right },}

{ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {2}, x_ {3} right },}

{ displaystyle left {x_ {1}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, x_ {3} right },}

{ displaystyle left {x_ {1}, x_ {2}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_) {1} x_ {2}}}, x_ {3} right },}

{ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, x_ {2}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} верно},}

{ displaystyle left {{ frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {x_ {1} +) x_ {3}} {x_ {2}}}, x_ {3} right },}

{ displaystyle left {x_ {1}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1}) + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}} right },}

{ Displaystyle left {x_ {1}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac { 1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_) {1} x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) ) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {x_ {1} +) x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ { 2} x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}) }}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ { 2} x_ {3}}} right },}

{ displaystyle left {{ frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}) }}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac {1 + x_ {2}} {x_ {3}}} right }.}

Есть 6 переменных кластера, кроме 3 исходных. Икс₁, Икс₂, Икс₃ данный

{ displaystyle { frac {1 + x_ {2}} {x_ {1}}}, { frac {x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2}}}, { frac {1+) x_ {2}} {x_ {3}}}, { frac {x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + x_ {3}} {x_ {2} x_ {3}}}, { frac {(1 + x_ {2}) x_ {1} + (1 + x_ {2}) x_ {3}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3}}}}

.

Они соответствуют 6 положительным корням диаграммы Дынкина A₃: точнее знаменатели - одночлены от Икс₁, Икс₂, Икс₃, что соответствует выражению положительных корней как суммы простых корней. 3 + 6 кластерных переменных генерируют кластерную алгебру конечного типа, связанную с диаграммой Дынкина A₃. 14 кластеров являются вершинами графа кластеров, который ассоциэдр.

Грассманианы

Простые примеры дают алгебры однородных функций на Грассманианы. В Координаты Плюккера предоставить некоторые из отличительных элементов.

Мутация между двумя триангуляциями семиугольника

Для грассманиана плоскостей в^п, ситуация еще проще. В этом случае координаты Плюккера предоставляют все выделенные элементы, и кластеры могут быть полностью описаны с помощью триангуляции из правильный многоугольник с п вершины. Точнее, кластеры находятся во взаимно однозначном соответствии с триангуляциями, а выделенные элементы находятся во взаимно однозначном соответствии с диагоналями (отрезками прямых, соединяющих две вершины многоугольника). Можно различить диагонали на границе, принадлежащие каждому кластеру, и диагонали внутри. Это соответствует общему различию между переменными коэффициентов и переменными кластера.

Кластерные алгебры, возникающие из поверхностей

Предполагать S это компактный связаны ориентированный Риманова поверхность и M это непустой конечный набор точек в S содержащий хотя бы одну точку из каждого граница компонент S (граница S не считается пустым или непустым). Пара (S, M) часто называют окаймленная поверхность с отмеченными точками. Фомин-Шапиро-Терстон показал, что если S не закрытая поверхность, или если M имеет более одной точки, то (отмеченные) дуги на (S, M) параметризовать набор кластерных переменных определенной кластерной алгебры А(S, M), который зависит только от (S, M) и выбор некоторой системы коэффициентов таким образом, чтобы набор (помеченных) триангуляций (S, M) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством кластеров А(S, M), две (помеченные) триангуляции связаны кувырок тогда и только тогда, когда кластеры, которым они соответствуют, связаны мутацией кластера.

Двойные клетки Брюа

За грамм а восстановительная группа Такие как ${ displaystyle GL_ {n}}$ с Борелевские подгруппы ${ displaystyle B _ { pm}}$ Затем на ${ displaystyle G ^ {u, v} = BuB bigcap B _ {-} vB _ {-}}$ (куда ты и v находятся в Группа Вейля ) имеются диаграммы координат кластера в зависимости от сокращенных разложений слов ты и v. Они называются параметрами факторизации, и их структура закодирована на монтажной схеме. Только с ${ displaystyle B}$ или только ${ displaystyle B _ {-}}$ , это Разложение Брюа.