Веронезе поверхность - Veronese surface

В математика, то Веронезе поверхность является алгебраическая поверхность в пятимерном проективное пространство, и реализуется Веронезе вложение, вложение проективная плоскость дано полным линейная система коник. Он назван в честь Джузеппе Веронезе (1854–1917). Его обобщение на более высокое измерение известно как Веронезский сорт.

Поверхность допускает вложение в четырехмерное проективное пространство, определяемое проекцией из общей точки пятимерного пространства. Его общая проекция на трехмерное проективное пространство называется Поверхность Штейнера.

Определение

Поверхность Веронезе - это изображение отображения

{ Displaystyle Nu: mathbb {P} ^ {2} to mathbb {P} ^ {5}}

данный

{ displaystyle nu: [x: y: z] mapsto [x ^ {2}: y ^ {2}: z ^ {2}: yz: xz: xy]}

куда ${ Displaystyle [х: cdots]}$ обозначает однородные координаты. Карта ${ displaystyle nu}$ известен как Веронезе встраивание.

Мотивация

Поверхность Веронезе естественным образом возникает при изучении коники. Коника - это плоская кривая степени 2, определяемая таким образом уравнением:

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}

Спаривание между коэффициентами ${ displaystyle (A, B, C, D, E, F)}$ и переменные ${ Displaystyle (х, у, г)}$ линейна по коэффициентам и квадратична по переменным; отображение Веронезе делает его линейным по коэффициентам и линейным по мономам. Таким образом, для фиксированной точки ${ displaystyle [x: y: z],}$ условие, что коника содержит точку, является линейное уравнение в коэффициентах, что формализует утверждение, что «прохождение точки накладывает линейное условие на коники».

Карта Веронезе

В Карта Веронезе или же Веронезе сорт обобщает эту идею на отображения общей степени d в п+1 переменные. То есть карта степени Веронезе d это карта

{ displaystyle nu _ {d} двоеточие mathbb {P} ^ {n} to mathbb {P} ^ {m}}

с м предоставленный коэффициент мультимножества, или более привычно биномиальный коэффициент, в качестве:

{ displaystyle m = left (! ! {n + 1 choose d} ! ! right) -1 = {n + d choose d} -1.}

Карта отправляет ${ displaystyle [x_ {0}: ldots: x_ {n}]}$ ко всем возможным мономы общей степени d (из которых есть ${ displaystyle m + 1}$ ); у нас есть ${ displaystyle n + 1}$ так как есть ${ displaystyle n + 1}$ переменные ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n}}$ выбирать из; и мы вычитаем ${ displaystyle 1}$ поскольку проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {m}}$ имеет ${ displaystyle m + 1}$ координаты. Второе равенство показывает, что для фиксированного размера источника п, целевое измерение является полиномом от d степени п и ведущий коэффициент ${ displaystyle 1 / n !.}$

Для низкой степени, ${ displaystyle d = 0}$ является тривиальным постоянным отображением в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {0},}$ и ${ displaystyle d = 1}$ тождественная карта на ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n},}$ так d обычно принимается равным 2 и более.

Можно определить карту Веронезе безкоординатным способом, как

{ displaystyle nu _ {d}: mathbb {P} V to mathbb {P} ({ rm {{Sym} ^ {d} V)}}}

куда V есть ли векторное пространство конечной размерности, и ${ displaystyle { rm {{Sym} ^ {d} V}}}$ это его симметричные степени степени d. Это однородно степени d при скалярном умножении на V, и поэтому переходит к отображению на нижележащем проективные пространства.

Если векторное пространство V определяется над поле K который не имеет характеристика ноль, то определение необходимо изменить, чтобы понимать его как отображение в двойственное пространство многочленов на V. Это связано с тем, что для полей с конечной характеристикой п, то псилы элементов V не рациональные нормальные кривые, но это, конечно, линия. (См., Например, аддитивный полином для рассмотрения многочленов над полем конечной характеристики).

Рациональная нормальная кривая

За ${ Displaystyle п = 1,}$ сорт Веронезе известен как рациональная нормальная кривая, из которых известны примеры более низкой степени.

За ${ displaystyle n = 1, d = 1}$ карта Веронезе - это просто тождественная карта на проективной прямой.
За ${ Displaystyle п = 1, d = 2,}$ сорт Веронезе является стандартом парабола ${ displaystyle [x ^ {2}: xy: y ^ {2}],}$ в аффинных координатах ${ displaystyle (x, x ^ {2}).}$
За ${ Displaystyle п = 1, d = 3,}$ сорт Веронезе - это витая кубическая, ${ displaystyle [x ^ {3}: x ^ {2} y: xy ^ {2}: y ^ {3}],}$ в аффинных координатах ${ displaystyle (x, x ^ {2}, x ^ {3}).}$

Бирегуляр

Изображение разнообразия на карте Веронезе - это снова разнообразие, а не просто конструктивный набор; кроме того, они изоморфны в том смысле, что обратное отображение существует и является обычный - карта Веронезе двурегулярный. Точнее, изображения открытые наборы в Топология Зарисского снова открыты.

Смотрите также

Поверхность Веронезе - единственная Сорт Севери размерности 2