Аддитивный полином - Additive polynomial

В математика, то аддитивные полиномы являются важной темой в классической алгебраическая теория чисел.

Определение

Позволять k быть поле из характеристика п, с п а простое число. А многочлен п(Икс) с коэффициентами в k называется аддитивный полином, или Фробениус многочлен, если

{ Displaystyle P (a + b) = P (a) + P (b) ,}

как многочлены от а и б. Это равносильно предположению, что это равенство выполняется для всех а и б в некотором бесконечном поле, содержащем k, например его алгебраическое замыкание.

Изредка абсолютно аддитивный используется для условия выше, и добавка используется для более слабого условия, что п(а + б) = п(а) + п(б) для всех а и б в поле. Для бесконечных полей условия эквивалентны, но для конечных полей это не так, а более слабое условие является «неправильным» и плохо себя ведет. Например, над полем заказа q любое кратное п из Икс^q − Икс удовлетворит п(а + б) = п(а) + п(б) для всех а и б в полевых условиях, но обычно не будет (абсолютно) аддитивным.

Примеры

Полином Икс^п аддитивный. Ведь для любого а и б в алгебраическом замыкании k у одного есть биномиальная теорема

{ displaystyle (a + b) ^ {p} = sum _ {n = 0} ^ {p} {p choose n} a ^ {n} b ^ {p-n}.}

С п первично, для всех п = 1, ..., п−1 биномиальный коэффициент ${ displaystyle scriptstyle {p choose n}}$ делится на п, откуда следует, что

{ displaystyle (a + b) ^ {p} Equiv a ^ {p} + b ^ {p} mod p}

как многочлены от а и б.

Аналогично все многочлены вида

{ displaystyle tau _ {p} ^ {n} (x) = x ^ {p ^ {n}}}

аддитивны, где п не-отрицательное целое число.

Определение имеет смысл, даже если k поле нулевой характеристики, но в этом случае единственными аддитивными полиномами являются полиномы вида топор для некоторых а в k.^{[нужна цитата ]}

Кольцо аддитивных многочленов

Доказать, что любой линейная комбинация многочленов ${ displaystyle scriptstyle tau _ {p} ^ {n} (x)}$ с коэффициентами в k также является аддитивным полиномом. Интересен вопрос, существуют ли другие аддитивные многочлены, кроме этих линейных комбинаций. Ответ в том, что это единственные.

Это можно проверить, если п(Икс) и M(Икс) являются аддитивными многочленами, то таковы п(Икс) + M(Икс) и п(M(Икс)). Отсюда следует, что аддитивные многочлены образуют звенеть при сложении полиномов и композиции. Это кольцо обозначается

{ Displaystyle к { тау _ {р} }. ,}

Это кольцо не коммутативно, если k равняется полю ${ Displaystyle scriptstyle mathbb {F} _ {p} = mathbf {Z} / p mathbf {Z}}$ (видеть модульная арифметика ). Действительно, рассмотрим аддитивные многочлены топор и Икс^п для коэффициента а в k. Чтобы они ездили по композиции, мы должны иметь

{ Displaystyle (топор) ^ {p} = ax ^ {p}, ,}

или же а^п − а = 0. Это неверно для а не корень этого уравнения, то есть для а за пределами ${ displaystyle scriptstyle mathbb {F} _ {p}.}$

Основная теорема об аддитивных многочленах

Позволять п(Икс) - многочлен с коэффициентами в k, и ${ displaystyle scriptstyle {w_ {1}, dots, w_ {m} } subset k}$ быть набором его корней. Предполагая, что корни п(Икс) различны (то есть п(Икс) является отделяемый ), тогда п(Икс) является аддитивным тогда и только тогда, когда множество ${ displaystyle scriptstyle {w_ {1}, dots, w_ {m} }}$ образует группа с добавлением поля.