Конструируемый набор (топология) - Constructible set (topology)

Для Конструктивный набор Гёделя, увидеть конструируемая вселенная.

В топология, а конструктивный набор в топологическое пространство является конечным объединением локально замкнутые множества. (Множество является локально замкнутым, если оно является пересечением открытый набор и закрытый набор, или, что то же самое, если он открыт в своем замыкании.) Конструируемые множества образуют Булева алгебра (т.е. она замкнута относительно конечного объединения и дополнения.) Фактически, конструктивные множества - это в точности булева алгебра, порожденная открытыми множествами и замкнутыми множествами; отсюда и название «конструктивный». Это понятие появляется в классической алгебраическая геометрия.

Теорема Шевалле (EGA IV, 1.8.4.) Утверждает: Пусть ${displaystyle f: X o Y}$ - морфизм конечного представления схем. Тогда образ любого конструктивного множества при ж конструктивно. В частности, образ разнообразия не обязательно должен быть разнообразием, но (при определенных предположениях) всегда является конструктивным множеством. Например, карта ${displaystyle mathbf {A} ^ {2} ightarrow mathbf {A} ^ {2}}$ что посылает ${displaystyle (x, y)}$ к ${displaystyle (x, xy)}$ имеет изображение набора ${displaystyle {xeq 0} чашка {x = y = 0}}$, который не является разнообразием, но может быть построен.

В любом (не обязательно нётеровом) топологическом пространстве каждое конструктивное множество содержит плотное открытое подмножество своего замыкания.^[1]

Предупреждение: В EGA III, Def.9.1.2, конструктивные множества определяются с использованием только ретрокомпакт открывается. То есть семейство конструктивных множеств топологического пространства определяется как наименьшее семейство, замкнутое относительно конечного пересечения и дополнения и содержащее все ретрокомпакт открытые подмножества.

Так, например, происхождение ${displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, точки)}$ в бесконечном аффинном пространстве ${displaystyle mathbb {A} ^ {infty} = Spec (k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots])}$ является не конструктивный.

В любом локально нётеровом топологическом пространстве все подмножества являются ретрокомпактными (EGA III, 9.1), поэтому эти два определения совпадают в этой настройке.

Смотрите также

• Конструируемая топология
• Конструируемая связка

Заметки

использованная литература

• Аллуш, Жан Поль. Замечание о конструктивных наборах топологического пространства.
• Андрадас, Карлос; Брекер, Людвиг; Руис, Хесус М. (1996). Конструируемые наборы в реальной геометрии. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Результаты по математике и смежным областям (3). 33. Берлин: Springer-Verlag. С. x + 270. ISBN  3-540-60451-0. Г-Н  1393194.
• Борель, Арман. Линейные алгебраические группы.
• Гротендик, Александр. EGA 0 §9
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-05113-8.
• Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4: 5–228. Дои:10.1007 / bf02684778. Г-Н  0217083.
• Мостовский, А. (1969). Конструируемые наборы с приложениями. Исследования по логике и основам математики. Амстердам --- Варшава: издательство North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Польские научные издательства. С. ix + 269. Г-Н  0255390.