Локально связанное пространство - Locally connected space

В этом топологическом пространстве V это район п и он содержит связанный открытый набор (темно-зеленый диск), содержащий п.

В топология и другие отрасли математика, а топологическое пространство Икс является локально связанный если каждая точка допускает основа соседства состоящий полностью из открыто, связаны наборы.

Фон

На протяжении всей истории топологии связность и компактность были двумя наиболее широко изученными топологическими свойствами. Действительно, изучение этих свойств даже среди подмножеств Евклидово пространство, и признание их независимости от конкретной формы Евклидова метрика, сыграли большую роль в прояснении понятия топологического свойства и, следовательно, топологического пространства. Однако в то время как структура компактный подмножества евклидова пространства были поняты довольно рано через Теорема Гейне – Бореля, связаны подмножества ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (за п > 1) оказалось намного сложнее. Действительно, в то время как любой компактный Пространство Хаусдорфа является локально компактный связное пространство - и даже связное подмножество евклидовой плоскости - не обязательно должно быть локально связным (см. ниже).

Это привело к обширным исследованиям в первой половине двадцатого века, в ходе которых топологи изучали последствия между все более тонкими и сложными вариациями понятия локально связанного пространства. В качестве примера понятие слабой локальной связности в точке и его связь с локальной связностью будут рассмотрены позже в статье.

Во второй половине двадцатого века исследовательские тенденции сместились в сторону более интенсивного изучения пространств, таких как коллекторы, которые хорошо известны на местном уровне (будучи локально гомеоморфный в евклидово пространство), но имеют сложное глобальное поведение. Под этим подразумевается, что хотя основные точечная топология многообразий относительно прост (поскольку многообразия по существу метризуемый согласно большинству определений понятия), их алгебраическая топология намного сложнее. С этой современной точки зрения более сильное свойство локальной связности путей оказывается более важным: например, для того, чтобы пространство допускало наличие универсальный чехол он должен быть подключен и подключен локально. Также будет обсуждаться локальная связность путей.

Пространство локально связно тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U, связные компоненты U (в топология подпространства ) открыты. Отсюда следует, например, что непрерывная функция из локально связного пространства в полностью отключен пространство должно быть локально постоянным. На самом деле открытость компонентов настолько естественна, что нужно обязательно помнить, что в целом это неверно: например Канторовское пространство полностью отключен, но не дискретный.

Определения и первые примеры

Позволять Икс - топологическое пространство, и пусть Икс быть точкой Икс.

Мы говорим что Икс является локально подключен в Икс если для каждого открытого набора V содержащий Икс существует связное открытое множество U с ${displaystyle xin Usubseteq V}$ . Космос Икс как говорят локально связанный если он подключен локально в Икс для всех Икс в Икс.^[1] Обратите внимание, что локальная связность и связность не связаны друг с другом; пространство может обладать одним или обоими этими свойствами, либо ни одним из них.

Напротив, мы говорим, что Икс является слабо локально связный на Икс (или же подключен im kleinen в Икс) если для каждого открытого множества V содержащий Икс существует связное подмножество N из V такой, что Икс лежит в интерьере N. Эквивалентное определение: каждый открытый набор V содержащий Икс содержит открытый район U из Икс так что любые две точки в U лежат в некотором связном подмножестве V.^[2] Космос Икс как говорят слабо локально связанный если он слабо локально связан в Икс для всех Икс в Икс.

Другими словами, единственное различие между этими двумя определениями состоит в том, что для локальной связности на Икс нам нужна база окрестностей открыто связанные множества, содержащие Икс, тогда как для слабой локальной связности при Икс нам потребуется только база окрестностей связных множеств, содержащая Икс.

Очевидно, пространство, локально связанное в Икс слабо локально связно на Икс. Обратное неверно (контрпример, место для метлы, приводится ниже). С другой стороны, столь же ясно, что локально связное пространство слабо локально связно, и здесь оказывается, что верно обратное: пространство, которое слабо локально связно во всех своих точках, обязательно локально связно во всех своих точках. точки.^[3] Доказательство приводится ниже.

Мы говорим что Икс является локально путь, подключенный в Икс если для каждого открытого набора V содержащий Икс существует путь подключен, открытый комплект U с ${displaystyle xin Usubseteq V}$ . Космос Икс как говорят локально путь подключен если это локально путь, подключенный в Икс для всех Икс в Икс.

Поскольку пространства с линейной связью связаны, пространства с локальной связью локально связаны. На этот раз обратное неверно (см. Пример 6 ниже).

Первые примеры

Для любого положительного целого числа п, евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ является локально связным, а значит, локально связанным; это тоже связано.
В более общем плане каждый локально выпуклое топологическое векторное пространство локально связно, так как каждая точка имеет локальную базу выпуклый (и, следовательно, связные) окрестности.
Подпространство ${displaystyle [0,1] чашка [2,3]}$ реальной линии ${displaystyle mathbb {R} ^ {1}}$ подключен локально, но не подключен.
В синусоида тополога является связным подпространством евклидовой плоскости, но не локально связным.^[4]
Космос ${displaystyle mathbb {Q}}$ из рациональное число наделен стандартной евклидовой топологией, не связан и не связан локально.
В расческа подключен по пути, но не связан локально по пути.
Счетно бесконечное множество, наделенное конфинитная топология локально связно (действительно, сверхсвязанный ), но не подключены локально.^[5]

Дальнейшие примеры приведены ниже в статье.

Характеристики

Локальная связность по определению местная собственность топологических пространств, т. е. топологическое свойство п такое, что пространство Икс обладает собственностью п тогда и только тогда, когда каждая точка Икс в Икс допускает базу соседства множеств, обладающих свойством п. Соответственно, все «метасвойства», принадлежащие местной собственности, сохраняются для локальной связности. Особенно:
Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно допускает базу связных подмножеств.
В несвязный союз ${displaystyle coprod _ {i} X_ {i}}$ семьи ${displaystyle {X_ {i}}}$ пространств локально связно тогда и только тогда, когда каждое ${displaystyle X_ {i}}$ подключен локально. В частности, поскольку одна точка заведомо локально связна, отсюда следует, что любая дискретное пространство подключен локально. С другой стороны, дискретное пространство полностью отключен, поэтому подключается, только если имеет не более одной точки.
И наоборот, a полностью отключенное пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно дискретно. Этим можно объяснить упомянутый выше факт, что рациональные числа не связаны локально.

Компоненты и компоненты пути

Следующий результат почти сразу следует из определений, но будет весьма полезен:

Лемма. Пусть Икс быть пространством, и ${displaystyle {Y_ {i}}}$ семейство подмножеств Икс. Предположим, что ${displaystyle igcap _ {i} Y_ {i}}$ непусто. Тогда, если каждый ${displaystyle Y_ {i}}$ связно (соответственно, линейно связно), то объединение ${displaystyle igcup _ {i} Y_ {i}}$ связано (соответственно, связано по путям).^[6]

Теперь рассмотрим два отношения на топологическом пространстве Икс: за ${displaystyle x, yin X}$ , записывать:

{displaystyle xequiv _ {c} y}

если есть связное подмножество Икс содержащий оба Икс и у; и

{displaystyle xequiv _ {pc} y}

если существует подмножество Икс содержащий оба Икс и у.

Очевидно, оба отношения рефлексивны и симметричны. Более того, если Икс и у содержатся в связном (соответственно линейно связном) подмножестве А и у и z связаны в связном (соответственно, связанном по путям) подмножестве B, то из леммы следует, что ${displaystyle Acup B}$ - связное (соответственно линейно связное) подмножество, содержащее Икс, у и z. Таким образом, каждое отношение является отношение эквивалентности, и определяет разбиение Икс в классы эквивалентности. Рассмотрим эти два раздела по очереди.

За Икс в Икс, набор ${displaystyle C_ {x}}$ всех точек у такой, что ${displaystyle yequiv _ {c} x}$ называется связный компонент из Икс.^[7] Из леммы следует, что ${displaystyle C_ {x}}$ - единственное максимальное связное подмножество Икс содержащий Икс.^[8] С момента закрытия ${displaystyle C_ {x}}$ также является связным подмножеством, содержащим Икс,^[9] следует, что ${displaystyle C_ {x}}$ закрыто.^[10]

Если Икс имеет только конечное число компонент связности, то каждая компонента является дополнением к конечному объединению замкнутых множеств и, следовательно, открыта. В общем, связанные компоненты не обязательно должны быть открытыми, поскольку, например, существуют полностью несвязные пространства (т. Е. ${displaystyle C_ {x} = {x}}$ по всем пунктам Икс), которые не являются дискретными, как пространство Кантора. Однако связные компоненты локально связного пространства также открыты и, следовательно, являются Clopen наборы.^[11] Отсюда следует, что локально связное пространство Икс является топологическим дизъюнктным объединением ${displaystyle coprod C_ {x}}$ его различных компонент связности. Наоборот, если для каждого открытого подмножества U из Икс, связные компоненты U открыты, то Икс допускает базу связных множеств и поэтому локально связен.^[12]

по аналогии Икс в Икс, набор ${displaystyle PC_ {x}}$ всех точек у такой, что ${displaystyle yequiv _ {pc} x}$ называется компонент пути из Икс.^[13] Как указано выше, ${displaystyle PC_ {x}}$ также является объединением всех линейно связанных подмножеств Икс которые содержат Икс, так что по лемме сам путь связан. Поскольку соединенные по пути множества связаны, мы имеем ${displaystyle PC_ {x} subteq C_ {x}}$ для всех Икс в Икс.

Однако замыкание связного набора путей не обязательно должно быть связным путем: например, синусоида тополога является замыканием открытого подмножества U состоящий из всех точек (х, у) с х> 0, и U, будучи гомеоморфным интервалу на вещественной прямой, безусловно, линейно связно. Кроме того, компоненты пути синусоиды тополога C находятся U, который открыт, но не закрыт, и ${displaystyle Csetminus U}$ , который закрыт, но не открыт.

Пространство является локально связным, если и только если для всех открытых подмножеств U, компоненты пути U открыты.^[13] Следовательно, компоненты пути в пространстве с локальной линейной связностью образуют разбиение Икс на попарно непересекающиеся открытые множества. Отсюда следует, что открытое связное подпространство локально линейно связного пространства обязательно линейно связно.^[14] Более того, если пространство локально линейно связно, то оно также локально связно, поэтому для всех Икс в Икс, ${displaystyle C_ {x}}$ связно и открыто, следовательно, связно, т. е. ${displaystyle C_ {x} = PC_ {x}}$ . То есть для пространства, связанного локально путями, компоненты и компоненты пути совпадают.

Примеры

Набор я × я (куда я = [0,1]) в толковый словарь топология заказа имеет ровно один компонент (потому что он связан), но имеет несчетное количество компонентов пути. Действительно, любое множество вида {а} × я компонент пути для каждого а принадлежащий я.
Позволять ж быть непрерывной картой из р к р_ℓ (р в топология нижнего предела ). С р связно, и образ связного пространства при непрерывном отображении должен быть связным, образ р под ж должен быть подключен. Следовательно, образ р под ж должен быть подмножеством компонента р_ℓ. Поскольку это изображение непусто, единственные непрерывные отображения из р к р_ℓ, - постоянные карты. Фактически, любая непрерывная карта из связного пространства в полностью отключенное пространство должна быть постоянной.

Квазикомпоненты

Позволять Икс быть топологическим пространством. Определим третье соотношение на Икс: ${displaystyle xequiv _ {qc} y}$ если нет разделения Икс в открытые наборы А и B такой, что Икс является элементом А и у является элементом B. Это отношение эквивалентности на Икс и класс эквивалентности ${displaystyle QC_ {x}}$ содержащий Икс называется квазикомпонент из Икс.^[8]

${displaystyle QC_ {x}}$ также можно охарактеризовать как пересечение всех прищемить подмножества Икс которые содержат Икс.^[8] Соответственно ${displaystyle QC_ {x}}$ закрыто; в общем, он не должен быть открытым.

Очевидно ${displaystyle C_ {x} substeq QC_ {x}}$ для всех Икс в Икс.^[8] В целом мы имеем следующие ограничения среди компонентов пути, компонентов и квазикомпонентов в Икс:

{displaystyle PC_ {x} subteq C_ {x} substeq QC_ {x}.}

Если Икс локально связно, то, как и выше, ${displaystyle C_ {x}}$ это закрытый набор, содержащий Икс, так ${displaystyle QC_ {x} подэтап C_ {x}}$ и поэтому ${displaystyle QC_ {x} = C_ {x}}$ . Поскольку из локальной связности путей следует локальная связность, отсюда следует, что во всех точках Икс локально линейно связного пространства имеем

{displaystyle PC_ {x} = C_ {x} = QC_ {x}.}

Другой класс пространств, для которых квазикомпоненты согласуются с компонентами, - это класс компактных хаусдорфовых пространств.

Примеры

Примером пространства, квазикомпоненты которого не равны его компонентам, является последовательность с двойной предельной точкой. Это пространство полностью разъединено, но обе предельные точки лежат в одной и той же квазикомпоненте, потому что любое замкнутое множество, содержащее одну из них, должно содержать хвост последовательности, а значит, и другую точку.
Космос ${displaystyle ({0} cup {{frac {1} {n}} mid nin mathbb {Z} ^ {+}}) imes [-1,1] setminus {(0,0)}}$ локально компактно и хаусдорфово, но множества ${displaystyle {0} imes [-1,0)}$ и ${displaystyle {0} imes (0,1]}$ - это два разных компонента, которые лежат в одной квазикомпоненте.
В Аренс – Форт пространство не является локально связным, но тем не менее компоненты и квазикомпоненты совпадают: действительно ${displaystyle QC_ {x} = C_ {x} = {x}}$ по всем пунктам Икс.^[4]

Подробнее о локальной связности и слабой локальной связности

Теорема

Позволять Икс - слабо локально связное пространство. потом Икс подключен локально.

Доказательство

Достаточно показать, что компоненты открытых множеств открыты. Позволять U быть открытым в Икс и разреши C быть составной частью U. Позволять Икс быть элементом C. потом Икс является элементом U так что существует связное подпространство А из Икс содержалась в U и содержащий район V из Икс. С А связан и А содержит Икс, А должно быть подмножеством C (компонент, содержащий Икс). Следовательно, соседство V из Икс это подмножество C, что показывает, что Икс это внутренняя точка C. С Икс был произвольной точкой C, C открыт в Икс. Следовательно, Икс подключен локально.

Некий бесконечный союз убывающих места для метел является примером пространства, которое слабо локально связано в определенной точке, но не локально связано в этой точке.^[15]

Примечания

^ Уиллард, Определение 27.4, с. 199
^ Уиллард, Определение 27.14, с. 201
^ Уиллард, теорема 27.16, с. 201
^ ^а ^б Стин и Зеебах, стр. 137–138.
^ Стин и Зеебах, стр. 49–50.
^ Уиллард, теорема 26.7a, с. 192
^ Уиллард, Определение 26.11, стр.194
^ ^а ^б ^c ^d Уиллард, Проблема 26B, стр. 195–196.
^ Келли, теорема 20, с. 54; Уиллард, Теорема 26.8, стр.193
^ Уиллард, теорема 26.12, с. 194
^ Уиллард, следствие 27.10, с. 200
^ Уиллард, теорема 27.9, с. 200
^ ^а ^б Уиллард, Проблема 27D, стр. 202
^ Уиллард, теорема 27.5, с. 199
^ Steen & Seebach, пример 119.4, стр. 139

Смотрите также

дальнейшее чтение

Коппин, К. А. (1972), "Непрерывные функции из связанного локально связанного пространства в связанное пространство с точкой рассеяния", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 32 (2): 625–626, Дои:10.1090 / S0002-9939-1972-0296913-7, JSTOR 2037874. Для хаусдорфовых пространств показано, что любая непрерывная функция из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии постоянна
Дэвис, Х. С. (1968), "Заметка о взаимосвязанности Им Кляйнен", Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 19 (5): 1237–1241, Дои:10.1090 / с0002-9939-1968-0254814-3, JSTOR 2036067.

[1] Уиллард, Определение 27.4, с. 199

[2] Уиллард, Определение 27.14, с. 201

[3] Уиллард, теорема 27.16, с. 201

[Steen-4] а ^б Стин и Зеебах, стр. 137–138.

[5] Стин и Зеебах, стр. 49–50.

[6] Уиллард, теорема 26.7a, с. 192

[7] Уиллард, Определение 26.11, стр.194

[WillardProblem_a-8] а ^б ^c ^d Уиллард, Проблема 26B, стр. 195–196.

[9] Келли, теорема 20, с. 54; Уиллард, Теорема 26.8, стр.193

[10] Уиллард, теорема 26.12, с. 194

[11] Уиллард, следствие 27.10, с. 200

[12] Уиллард, теорема 27.9, с. 200

[WillardProblem-13] а ^б Уиллард, Проблема 27D, стр. 202

[14] Уиллард, теорема 27.5, с. 199

[15] Steen & Seebach, пример 119.4, стр. 139

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Локально связанное пространство - Locally connected space

Содержание

Фон

Определения и первые примеры

Первые примеры

Характеристики

Компоненты и компоненты пути

Примеры

Квазикомпоненты

Примеры

Подробнее о локальной связности и слабой локальной связности

Примечания

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение