Полная последовательность - Википедия - Complete sequence

В математика, а последовательность из натуральные числа называется полная последовательность если каждый положительный целое число можно выразить как сумму значений в последовательности, используя каждое значение не более одного раза.

Например, последовательность силы двух (1, 2, 4, 8, ...), основа двоичная система счисления, - полная последовательность; учитывая любое натуральное число, мы можем выбрать значения, соответствующие битам 1 в его двоичном представлении, и просуммировать их, чтобы получить это число (например, 37 = 100101₂ = 1 + 4 + 32). Эта последовательность минимальна, так как из нее нельзя удалить никакое значение, не сделав невозможным представление некоторых натуральных чисел. Простые примеры неполных последовательностей включают четные числа, поскольку сложение четных чисел дает только четные числа - нет нечетное число могут быть сформированы.

Условия полноты

Без ограничения общности предположим последовательность а_п находится в неубывающем порядке, и определим частичные суммы а_п в качестве:

${ displaystyle s_ {n} = sum _ {m = 0} ^ {n} a_ {m}}$.

Тогда условия

${ displaystyle a_ {0} = 1 ,}$

${ displaystyle s_ {k-1} geq a_ {k} -1 { text {для всех}} k geq 1}$

необходимы и достаточны для а_п быть полной последовательностью.^[1][2]

Следствие вышесказанного гласит, что

${ displaystyle a_ {0} = 1 ,}$

${ displaystyle 2a_ {k} geq a_ {k + 1} { text {для всех}} k geq 1}$

достаточно для а_п быть полной последовательностью.^[1]

Однако есть полные последовательности, которые не удовлетворяют этому следствию, например (последовательность A203074 в OEIS ), состоящий из числа 1 и первого основной после каждой степени 2.

Другие полные последовательности

Полные последовательности включают:

• Последовательность цифры 1, за которой следует простые числа (изучено С. С. Пиллаи^[3] и другие); это следует из Постулат Бертрана.^[1]
• Последовательность практические числа который имеет 1 в качестве первого члена и содержит все остальные степени 2 в качестве подмножества.^[4] (последовательность A005153 в OEIS )
• В Числа Фибоначчи, а также числа Фибоначчи с удалением любого одного числа.^[1] Это следует из тождества, что сумма первых п Числа Фибоначчи - это (п + 2) и число Фибоначчи минус 1 (см. Fibonacci_numbers # Second_identity ).

Приложения

Подобно тому, как степени двойки образуют полную последовательность из-за двоичной системы счисления, фактически любая полная последовательность может использоваться для кодирования целых чисел как битовых строк. Крайний правый бит назначается первому, наименьшему члену последовательности; следующий справа от следующего члена; и так далее. Биты, установленные в 1, включаются в сумму. Эти представления не могут быть уникальными.

Кодирование Фибоначчи

Например, в Арифметика Фибоначчи В системе, основанной на последовательности Фибоначчи, число 17 может быть закодировано шестью различными способами:

 110111 (F₆ + F₅ + F₃ + F₂ + F₁ = 8 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17, максимальная форма)

 111001 (F₆ + F₅ + F₄ + F₁ = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)

 111010 (F₆ + F₅ + F₄ + F₂ = 8 + 5 + 3 + 1 = 17)

1000111 (F₇ + F₃ + F₂ + F₁ = 13 + 2 + 1 + 1 = 17)

1001001 (F₇ + F₄ + F₁ = 13 + 3 + 1 = 17)

1001010 (F₇ + F₄ + F₂ = 13 + 3 + 1 = 17, минимальная форма, как используется в Кодирование Фибоначчи )

Максимальная форма выше всегда будет использовать F₁ и всегда будет в конце. Полную кодировку без завершающей можно найти по адресу (последовательность A104326 в OEIS ). Если отбросить последний, кодирование 17 выше происходит как 16-й член A104326. Минимальная форма никогда не будет использовать F₁ и всегда будет иметь нулевой конец. Полный код без завершающего нуля можно найти по адресу (последовательность A014417 в OEIS ). Это кодирование известно как Представительство Zeckendorf.

В этой системе счисления любая подстрока «100» может быть заменена на «011» и наоборот из-за определения чисел Фибоначчи.^[5] Постоянное применение этих правил переводит из максимального в минимальное и наоборот. Тот факт, что любое число (больше 1) может быть представлено с помощью терминала 0, означает, что всегда можно добавить 1, и, учитывая, что для 1 и 2 могут быть представлены в кодировке Фибоначчи, полнота следует за индукция.

Смотрите также

• Нумерация Островского

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Полная последовательность». MathWorld.