Теорема Цекендорфа - Википедия - Zeckendorfs theorem

Первые 89 натуральные числа в форме Цекендорфа. Высота и ширина каждого прямоугольника - это число Фибоначчи. Вертикальные полосы имеют ширину 10.

В математика, Теорема цекендорфа, названный в честь бельгийский математик Эдуард Зекендорф, это теорема о представлении целые числа в виде суммы Числа Фибоначчи.

Теорема Цекендорфа утверждает, что каждый положительное число может быть представлен однозначно как сумма один или больше различные числа Фибоначчи таким образом, что сумма не включает любые два последовательных числа Фибоначчи. Точнее, если N - любое натуральное число, существуют натуральные числа c_я ≥ 2, с c_я + 1 > c_я + 1, так что

${ Displaystyle N = сумма _ {я = 0} ^ {k} F_ {c_ {я}},}$

куда F_п это п^th Число Фибоначчи. Такая сумма называется Представительство Zeckendorf из N. В Кодирование Фибоначчи из N может быть получено из его представления Цекендорфа.

Например, представление Цекендорфа числа 64 таково:

64 = 55 + 8 + 1.

Есть и другие способы представления 64 как суммы чисел Фибоначчи, например

64 = 34 + 21 + 8 + 1

64 = 55 + 5 + 3 + 1

но это не представления Цекендорфа, потому что 34 и 21 - последовательные числа Фибоначчи, как 5 и 3.

Для любого заданного положительного целого числа его представление Цекендорфа можно найти с помощью жадный алгоритм, выбирая на каждом этапе максимально возможное число Фибоначчи.

История

Хотя теорема названа в честь одноименного автора, опубликовавшего свою статью в 1972 году, тот же результат был опубликован 20 годами ранее Геррит Леккеркеркер.^[1] Таким образом, теорема является примером Закон Стиглера эпонимии.

Доказательство

Теорема Цекендорфа состоит из двух частей:

1. Существование: каждое положительное целое числоп имеет представительство Цекендорфа.
2. Уникальность: нет положительного целого числап имеет два разных представления Цекендорфа.

Первая часть теоремы Цекендорфа (существование) может быть доказана следующим образом: индукция. За п = 1, 2, 3 это явно верно (поскольку это числа Фибоначчи), поскольку п = 4 у нас есть 4 = 3 + 1. Если п число Фибоначчи, тогда все готово. Еще существует j такой, что F_j < п < F_j + 1 . Теперь предположим, что каждый а < п имеет представление Цекендорфа (предположение индукции) и рассмотрим а = п − F_j . С а < п, а имеет представительство Цекендорфа. В то же время, а < F_j + 1 − F_j = F_j − 1 , поэтому представление Цекендорфа а не содержит F_j − 1 . Как результат, п можно представить как сумму F_j и представление Цекендорфа а.

Вторая часть теоремы Цекендорфа (единственность) требует следующей леммы:

Лемма: Сумма любого непустого набора различных, непоследовательных чисел Фибоначчи, наибольший член которого F_j строго меньше следующего большего числа Фибоначчи F_j + 1 .

Лемма доказывается индукцией по j.

Теперь возьмем два непустых набора различных непоследовательных чисел Фибоначчи. S и Т которые имеют такую ​​же сумму. Рассмотрим множества S′ и Т′ которые равны S и Т из которых удалены общие элементы (т. е. S′ = S\Т и Т′ = Т\S). С S и Т была равная сумма, и мы удалили ровно элементы из S${ displaystyle cap}$ Т из обоих наборов, S′ и Т′ должна быть такая же сумма.

Сейчас мы покажем от противного что по крайней мере один из S′ и Т′ пусто. Предположим противное, т.е. что S′ и Т′ оба непусты, и пусть самый большой член S′ быть F_s и самый большой член Т′ быть F_т. Потому что S′ и Т′ не содержат общих элементов, F_s ≠ F_т. Не теряя общий смысл, предполагать F_s < F_т. Тогда по лемме сумма S′ строго меньше, чем F_s + 1 и поэтому строго меньше, чем F_т, а сумма Т′ явно по крайней мере F_т. Это противоречит тому, что S′ и Т′ имеют одинаковую сумму, и мы можем сделать вывод, что либо S′ или же Т′ должно быть пусто.

Теперь предположим (снова без ограничения общности), что S′ пусто. потом S′ имеет сумму 0, и поэтому должен Т′. Но с тех пор Т′ может содержать только положительные целые числа, он также должен быть пустым. Заключить: S′ = Т′ = ∅ что означает S = Т, доказывая, что каждое представление Цекендорфа уникально.

Умножение Фибоначчи

Можно определить следующую операцию ${ displaystyle a circ b}$ на натуральные числа а, б: с учетом представлений Цекендорфа${ displaystyle a = sum _ {i = 0} ^ {k} F_ {c_ {i}} ; (c_ {i} geq 2)}$ и ${ displaystyle b = sum _ {j = 0} ^ {l} F_ {d_ {j}} ; (d_ {j} geq 2)}$ мы определяем Произведение Фибоначчи ${ displaystyle a circ b = sum _ {i = 0} ^ {k} sum _ {j = 0} ^ {l} F_ {c_ {i} + d_ {j}}.}$

Например, представление Цекендорфа 2 есть ${ displaystyle F_ {3}}$, а представление Цекендорфа 4 есть ${ displaystyle F_ {4} + F_ {2}}$ (${ displaystyle F_ {1}}$ запрещено в представлениях), поэтому ${ displaystyle 2 circ 4 = F_ {3 + 4} + F_ {3 + 2} = 13 + 5 = 18.}$

(Продукт не всегда в форме Zeckendorf. Например, ${ Displaystyle 4 circ 4 = (F_ {4} + F_ {2}) circ (F_ {4} + F_ {2}) = F_ {4 + 4} + 2F_ {4 + 2} + F_ {2 +2} = 21 + 2 cdot 8 + 3 = 40 = F_ {9} + F_ {5} + F_ {2}.}$)

Простая перестановка сумм показывает, что это коммутативный операция; тем не мение, Дональд Кнут доказал тот удивительный факт, что эта операция также ассоциативный.^[2]

Представление с числами Негафибоначчи

Последовательность Фибоначчи может быть расширена до отрицательного индексап используя преобразованное рекуррентное отношение

${ Displaystyle F_ {n-2} = F_ {n} -F_ {n-1},}$

что дает последовательность "Негафибоначчи "числа удовлетворяющие

${ displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}.}$

Любое целое число может быть однозначно представлено^[3] как сумма чисел Негафибоначчи, в которой не используются два последовательных числа Негафибоначчи. Например:

• −11 = F₋₄ + F₋₆ = (−3) + (−8)
• 12 = F₋₂ + F₋₇ = (−1) + 13
• 24 = F₋₁ + F₋₄ + F₋₆ + F₋₉ = 1 + (−3) + (−8) + 34
• −43 = F₋₂ + F₋₇ + F₋₁₀ = (−1) + 13 + (−55)
• 0 представлен пустая сумма.

0 = F₋₁ + F₋₂ , например, поэтому уникальность представления действительно зависит от того, что не используются два последовательных числа Негафибоначчи.

Это дает система кодирования целые числа, аналогично представлению теоремы Цекендорфа. В строке, представляющей целое числоИкс, то п^th цифра 1, если F_−n появляется в сумме, представляющей Икс; в противном случае эта цифра равна 0. Например, 24 может быть представлено строкой 100101001, которая имеет цифру 1 в местах 9, 6, 4 и 1, потому что 24 = F₋₁ + F₋₄ + F₋₆ + F₋₉ . Целое числоИкс представлен строкой нечетной длины если и только если Икс > 0.

Смотрите также

• Полная последовательность
• Кодирование Фибоначчи
• Ним Фибоначчи
• Нумерация Островского

Рекомендации

• Цекендорф, Э. (1972). «Репрезентация чисел по определению Фибоначчи или чисел Лукаса». Бык. Soc. R. Sci. Вассал (На французском). 41: 179–182. ISSN  0037-9565. Zbl  0252.10011.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Цекендорфа». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Представительство Цекендорфа". MathWorld.
• Теорема цекендорфа в завязать узел
• Г. Филлипс (2001) [1994], "Цекендорфское представительство", Энциклопедия математики, EMS Press
• OEIS последовательность A101330 (произведение Фибоначчи Кнута (или круг))

Эта статья включает в себя материал из доказательства того, что представление Цекендорфа положительного целого числа уникально на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.