Постулат Бертрана - Википедия - Bertrands postulate

В теория чисел, Постулат Бертрана это теорема заявляя, что для любого целое число ${ displaystyle n> 3}$, всегда существует хотя бы один простое число ${ displaystyle p}$ с

${ displaystyle n$

Менее ограничительная формулировка: для каждого ${ displaystyle n> 1}$ всегда есть хотя бы одно простое число ${ displaystyle p}$ такой, что

${ Displaystyle п <р <2n.}$

Другая формулировка, где ${ displaystyle p_ {n}}$ это ${ displaystyle n}$-е простое число, для ${ Displaystyle п geq 1}$

${ displaystyle p_ {n + 1} <2p_ {n}.}$^[1]

Это утверждение было впервые высказано в 1845 г. Джозеф Бертран^[2] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех чисел в интервале [2, 3 × 10⁶].Его предположение было полностью доказано к Чебышев (1821–1894) в 1852 г.^[3] и поэтому постулат также называют Теорема Бертрана – Чебышева. или же Теорема Чебышева. Теорема Чебышева также может быть сформулирована как связь с ${ Displaystyle пи (х)}$, куда ${ Displaystyle пи (х)}$ это функция подсчета простых чисел (количество простых чисел меньше или равно ${ Displaystyle х ,}$):

${ Displaystyle пи (х) - пи ({ tfrac {x} {2}}) geq 1}$, для всех ${ Displaystyle х geq 2}$.

Теорема о простых числах

В теорема о простых числах (PNT) означает, что количество простых чисел до Икс примерно Икс/ ln (Икс), поэтому если мы заменим Икс с 2Икс то мы видим количество простых чисел до 2Икс асимптотически вдвое больше числа простых чисел до Икс (слагаемые ln (2Икс) и ln (Икс) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между п и 2п примерно п/ ln (п) когда п велико, и поэтому, в частности, в этом интервале намного больше простых чисел, чем гарантирует постулат Бертрана. Итак, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT - глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и более легко доказанным, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях п. (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до PNT и поэтому имеет исторический интерес.)

Подобные и до сих пор нерешенные Гипотеза Лежандра спрашивает, для каждого ли п > 1 есть простое число п, так что п² < п < (п + 1)². Опять же, мы ожидаем, что будет не один, а много простых чисел между п² и (п + 1)², но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до Икс² асимптотичен Икс²/ ln (Икс²), а количество простых чисел до (Икс + 1)² асимптотична (Икс + 1)²/ ln ((Икс + 1)²), которая асимптотична оценке простых чисел с точностью до Икс². В отличие от предыдущего случая Икс и 2Икс мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших п. Оценок погрешности PNT недостаточно (на самом деле не может быть) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.

Обобщения

В 1919 г. Рамануджан (1887–1920) использовали свойства Гамма-функция чтобы дать более простое доказательство.^[4] Краткая статья содержала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция Простые числа Рамануджана. Произошли также дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

${ displaystyle 2p_ {in}> p_ {i} { text {for}} i> k { text {where}} k = pi (p_ {k}) = pi (R_ {n}) , ,}$

с п_k то kй премьер и р_п то пй Рамануджан премьер.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (В следующих, п пробегает множество натуральных чисел.) В 2006 г. М. Эль-Бахрауи доказал, что существует простое число между 2п и 3п.^[5] В 1973 г. Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3п и 4п.^[6] Более того, в 2011 году Энди Лу доказал, что как п стремится к бесконечности, количество простых чисел между 3п и 4п также уходит в бесконечность, тем самым обобщая результаты Эрдеша и Рамануджана (см. ниже раздел о теоремах Эрдеша).^[7] Первый результат получается элементарными методами. Второй основан на аналитических оценках для факториал функция.

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группы перестановок. Сильвестр (1814–1897) обобщили более слабое утверждение утверждением: продукт k последовательные целые числа больше чем k является делимый на простое число больше, чем k. Постулат Бертрана (более слабый) следует из этого, если взять k = п, и учитывая k числа п + 1, п + 2, до включительно п + k = 2п, куда п > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из этих чисел имеет простой делитель больше, чемk. Поскольку все эти числа меньше 2 (k + 1), число с простым делителем большеk имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2п не является простым, поэтому теперь мы знаем, что существует простое числоп с п < п < 2п.

Теоремы Эрдеша

В 1932 г. Erds (1913–1996) также опубликовали более простое доказательство, использующее биномиальные коэффициенты и Функция Чебышева ϑ, определяется как:

${ Displaystyle vartheta (х) = сумма _ {p = 2} ^ {x} ln (p)}$

куда п ≤ Икс пробегает простые числа. Видеть доказательство постулата Бертрана для подробностей.^[8]

В 1934 году Эрдеш доказал, что для любого натурального числа k, есть натуральное число N такой, что для всех п > N, есть как минимум k простые числа между п и 2п. Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Рамануджан премьер ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа ${ displaystyle varepsilon> 0}$ Существует ${ displaystyle n_ {0}> 0}$ такой, что для всех ${ displaystyle n> n_ {0}}$ есть прайм ${ displaystyle p}$ такой, что ${ Displaystyle п <р <(1+ varepsilon) п}$. Можно показать, например, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { pi ((1+ varepsilon) n) - pi (n)} {n / log n}} = varepsilon,}$

откуда следует, что ${ Displaystyle пи ((1+ varepsilon) п) - пи (п)}$ стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 для достаточно большой ${ displaystyle n}$).^[9]

Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Джитсуро Нагура доказал, что для ${ displaystyle n geq 25}$ всегда есть премьер между ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle left (1 + { frac {1} {5}} right) n}$.^[10]

В 1976 г. Лоуэлл Шонфельд показал, что для ${ displaystyle n geq 2010760}$, всегда есть простое число ${ displaystyle p}$ в открытом интервале ${ displaystyle n$

.^[11]

В своей докторской диссертации 1998 г. Пьер Дюзар улучшил результат выше, показав, что для ${ displaystyle k geq 463}$, ${ displaystyle p_ {k + 1} leq left (1 + { frac {1} {2 ln ^ {2} {p_ {k}}}} right) p_ {k}}$, и в частности для ${ displaystyle x geq 3275}$, существует простое число ${ displaystyle p}$ в интервале ${ displaystyle x$

.^[12]

В 2010 году Пьер Дюзар доказал, что для ${ displaystyle x geq 396738}$ есть хотя бы одно простое число ${ displaystyle p}$ в интервале ${ displaystyle x$

.^[13]

В 2016 году Пьер Дюзар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (Предложение 5.4), что если ${ displaystyle x geq 89693}$, есть хотя бы одно простое число ${ displaystyle p}$ в интервале ${ displaystyle x$

.^[14] Он также показывает (следствие 5.5), что для ${ displaystyle x geq 468991632}$, есть хотя бы одно простое число ${ displaystyle p}$ в интервале ${ displaystyle x$

.

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число ${ Displaystyle [х-х ^ {. 525}, , х]}$ для всех достаточно больших ${ displaystyle x}$.^[15]

Последствия

• Последовательность простых чисел вместе с 1 представляет собой полная последовательность; любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое не более одного раза.
• Единственный номер гармоники то есть целое число - это число 1.^[16]

Смотрите также

• Гипотеза Оппермана

Примечания

Библиография

• П. Эрдёш (1934). «Теорема Сильвестра и Шура». Журнал Лондонского математического общества. 9 (4): 282–288. Дои:10.1112 / jlms / s1-9.4.282.
• Джитсуро Нагура (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число». Proc. Japan Acad. 28 (4): 177–181. Дои:10.3792 / pja / 1195570997.
• Крис Колдуэлл, Постулат Бертрана в Prime Pages глоссарий.
• Х. Рикардо (2005). «Из гипотезы Гольдбаха следует постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно. 112: 492.
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 49. ISBN  978-0-521-84903-6.
• Дж. Сондоу (2009). «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно. 116 (7): 630–635. arXiv:0907.5232. Дои:10.4169 / 193009709x458609.

внешняя ссылка

• Сондоу, Джонатан & Вайсштейн, Эрик В. «Постулат Бертрана». MathWorld.
• Доказательство слабой версии в Система Мицар: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Постулат Бертрана - Доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/

Эта статья требует дополнительных или более конкретных категории. Пожалуйста помочь к добавление категорий к нему, чтобы его можно было перечислить с аналогичными статьями. (Апрель 2019)