Эйзенштейна простое - Eisenstein prime

Малые простые числа Эйзенштейна. Те, которые находятся на зеленой оси, связаны с естественным простым числом формы 3п - 1. Все остальные имеют квадрат абсолютного значения, равный натуральному простому числу.

Эйзенштейн выполняет простые числа в большем диапазоне

В математика, Эйзенштейна простое является Целое число Эйзенштейна

{ displaystyle z = a + b , omega, quad { text {where}} quad omega = e ^ { frac {2 pi i} {3}},}

то есть несводимый (или эквивалентно основной ) в теоретико-кольцевом смысле: это единственная Эйзенштейновская делители являются единицы ${\pm1, \pm ω, \pm ω 2}$ , $а + bω$ сам и его единомышленники.

Ассоциированные компании (мультипликаторы) и комплексно сопряженный любого простого числа Эйзенштейна также просты.

Характеристика

Целое число Эйзенштейна $z = а + bω$ является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих (взаимоисключающих) условий:

$z$ равна произведению единицы и естественный прайм формы $3 п - 1$ (обязательно соответствует 2 мод 3),
$| z | 2 = а 2 - ab + б 2$ является естественным простым числом (обязательно конгруэнтно 0 или 1 мод 3).

Отсюда следует, что квадрат абсолютного значения каждого простого числа Эйзенштейна является натуральным простым числом или квадратом натурального простого числа.

В база 12 (записываются цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B), натуральные простые числа Эйзенштейна - это в точности натуральные простые числа, оканчивающиеся на 5 или B (т.е. натуральные простые числа, конгруэнтные 2 мод 3). Естественный Простые числа Гаусса - это в точности натуральные простые числа, оканчивающиеся на 7 или B (т.е. натуральные простые числа, конгруэнтные 3 мод 4).

Примеры

Первые несколько простых чисел Эйзенштейна, равных натуральному простому числу $3 п - 1$ находятся:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, ... (последовательность A003627 в OEIS ).

Естественные простые числа, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, являются нет Простые числа Эйзенштейна: они допускают нетривиальные факторизации в Z[ω]. Например:

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

.

В общем, если натуральное простое число п 1 по модулю 3 и поэтому может быть записан как $п = а 2 - ab + б 2$ , затем факторизуется Z[ω] в качестве

р = (а + bω)((а - б) - bω)

.

Некоторые ненастоящие простые числа Эйзенштейна

2 + ω

,

3 + ω

,

4 + ω

,

5 + 2 ω

,

6 + ω

,

7 + ω

,

7 + 3 ω

.

С точностью до сопряжения и единичных чисел перечисленные выше простые числа вместе с 2 и 5 являются простыми числами Эйзенштейна абсолютная величина не более 7.

Большие простые числа

По состоянию на сентябрь 2019 г.^{[Обновить]}, наибольшее известное (действительное) простое число Эйзенштейна - девятое самый большой известный премьер 10223 × 2^31172165 + 1, обнаруженный Петером Сабольчем и PrimeGrid.^[1] Все большие известные простые числа Простые числа Мерсенна, обнаруженный GIMPS. Действительные простые числа Эйзенштейна конгруэнтны 2 мод 3, и все простые числа Мерсенна больше 3 конгруэнтны 1 мод 3; таким образом, ни одно простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Смотрите также

Гауссово простое число

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейна простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел

Эйзенштейна простое - Eisenstein prime

Содержание

Характеристика

Примеры

Большие простые числа

Смотрите также

Рекомендации