Минимальное простое число (развлекательная математика) - Minimal prime (recreational mathematics)

В развлекательный теория чисел, а минимальное простое число это простое число для которого нет короче подпоследовательность цифр в данном основании, образующих простое число. В базе 10 ровно 26 минимальных простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (последовательность A071062 в OEIS ).

Например, 409 является минимальным простым числом, потому что среди более коротких подпоследовательностей цифр нет простого числа: 4, 0, 9, 40, 49, 09. Подпоследовательность не обязательно должна состоять из последовательных цифр, поэтому 109 не является минимальным простое (потому что 19 простое). Но это должно быть в том же порядке; так, например, 991 по-прежнему является минимальным простым числом, хотя подмножество цифр может образовывать более короткое простое число 19, изменяя порядок.

Точно так же ровно 32 составные числа которые не имеют более короткой составной подпоследовательности:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (последовательность A071070 в OEIS ).

Есть 146 простых чисел, конгруэнтных 1 по модулю 4, которые не имеют более коротких простых чисел, конгруэнтных 1 подпоследовательности по модулю 4:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... (последовательность A111055 в OEIS )

Есть 113 простых чисел, конгруэнтных 3 по модулю 4, которые не имеют более коротких простых чисел, конгруэнтных подпоследовательности 3 по модулю 4:

3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2099, 2699, 2999, 4051, 4451, 4651, 5051, 5651, 5851, 6299, 6451, 6551, 6899, 8291, 8699, 8951, 8999, 9551, 9851, ... (последовательность A111056 в OEIS )

Другие базы

Минимальные простые числа можно обобщить на другие базисы. Можно показать, что в каждой базе есть только конечное число минимальных простых чисел. В равной степени каждый достаточно большой prime содержит более короткую подпоследовательность, образующую простое число.

б	минимальные простые числа в базе б (написано в базе б, буквы A, B, C, ... представляют значения 10, 11, 12, ...)	количество минимальные простые числа в базе б
1	11	1
2	10, 11	2
3	2, 10, 111	3
4	2, 3, 11	3
5	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441	8
6	2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041	7
7	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111	9
8	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441	15
9	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101	12
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049	26
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A6611901 9090, 6A A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A90999A, 6A90999A A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 60001196A, 6A11111000, 6000691000, 4A111199 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990600000, A9909006, A9990006, A9990600000, A9909006, A9990006, A9990606, A9914096600 A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0 000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, +40000000000000000000000000041, +440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441	152
12	2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001	17

Базовые 12 минимальных простых чисел, записанные в базе 10, перечислены в OEIS: A110600.

Количество минимальных (вероятных) простых чисел в базе п находятся

1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280,^[1] 50, 3463,^[2] 651, 2601,^[3] 1242, 6021, 306, (17608 или 17609),^[4] 5664,^[5] 17215,^[6] 5784,^[7] (57296 или 57297),^[8] 220, ...

Длина наибольшего минимального (вероятного) простого числа в базе п находятся

2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150), 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...

Наибольшее минимальное (вероятное) простое число в базе п (записано в базе 10)

2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (следующий член состоит из 35670 цифр) (последовательность A326609 в OEIS )

Количество минимальных композитов в базе п находятся

1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...

Длина самого большого минимального композита в базе п находятся

4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...

Примечания

^ Это значение только предположительно. Для основания 17 известно 1279 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: F1 {9}
^ Это значение только предположительно. Для основания 19 известно 3462 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: EE1 {6}
^ Это значение только предположительно. Для базы 21 известно 2600 минимальных (вероятных) простых чисел и одно нерешенное семейство: G {0} FK
^ Это значение только предположительно. Для основания 25 известно 17597 минимальных (вероятных) простых чисел и двенадцать неразрешенных семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств (LO {L} 8) может быть или не быть минимальным простым числом, поскольку другим неразрешенным семейством является O { L} 8
^ Это значение только предположительно. Для базы 26 известно 5662 минимальных (вероятных) простых числа и два нерешенных семейства: {A} 6F и {I} GL.
^ Это значение только предположительно. Для основания 27 известно 17210 минимальных (вероятных) простых чисел и пять нерешенных семейств.
^ Это значение только предположительно. Для базы 28 известно 5783 минимальных (вероятных) простых числа и одно нерешенное семейство: O {A} F
^ Это значение только предположительно. Для основания 29 существует 57283 известных минимальных (вероятных) простых числа и четырнадцать неразрешенных семейств, но наименьшее простое число одного из этих семейств ({F} OPF) может быть или не быть минимальным простым числом, так как другим неразрешенным семейством является {F} OP

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллай Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Основание -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел

Минимальное простое число (развлекательная математика) - Minimal prime (recreational mathematics)

Другие базы

Примечания

Рекомендации