Номер гармоники - Harmonic number

Номер гармоники ${ displaystyle H_ {n}}$ с ${ Displaystyle п = lfloor x rfloor}$ (красная линия) с его асимптотическим пределом ${ Displaystyle гамма + пер (х)}$ (синяя линия) где ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони.

В математика, то п-го номер гармоники это сумма взаимные из первых п натуральные числа:

${ displaystyle H_ {n} = 1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {n}} = sum _ { k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Числа гармоник связаны с гармоническое среднее в этом п-й гармонический номер также п умноженное на обратную величину гармонического среднего первого п положительные целые числа.

Числа гармоник изучаются с древних времен и важны в различных областях теория чисел. Иногда их свободно называют гармонический ряд, тесно связаны с Дзета-функция Римана, и появляются в выражениях различных специальные функции.

Числа гармоник примерно соответствуют функция натурального логарифма^[1]:143 и, следовательно, связанные гармонический ряд растет без ограничений, хотя и медленно. В 1737 г. Леонард Эйлер использовал расходимость гармонического ряда предоставить новое доказательство бесконечность простых чисел. Его работа была распространена на комплексная плоскость к Бернхард Риманн в 1859 г., что привело прямо к знаменитому Гипотеза Римана о распределение простых чисел.

Когда стоимость большого количества предметов имеет Закон Ципфа распределение, общая стоимость п наиболее ценные предметы пропорциональны пномер -й гармоники. Это приводит к множеству неожиданных выводов относительно длинный хвост и теория сетевой ценности.

Постулат Бертрана означает, что, за исключением случая п = 1, гармонические числа никогда не бывают целыми.^[2]

Тождества, включающие гармонические числа

По определению гармонические числа удовлетворяют условию отношение повторения

${ displaystyle H_ {n + 1} = H_ {n} + { frac {1} {n + 1}}.}$

Номера гармоник связаны с Числа Стирлинга первого рода отношением

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {n!}} left [{n + 1 atop 2} right].}$

Функции

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {x ^ {n}} {n!}} ( log x-H_ {n})}$

удовлетворить собственность

${ displaystyle f_ {n} '(x) = f_ {n-1} (x).}$

Особенно

${ Displaystyle F_ {1} (х) = х ( журнал х-1)}$

является интегралом от логарифмической функции.

Гармонические числа удовлетворяют тождествам ряда

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} = (n + 1) H_ {n} -n.}$

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {2} = (n + 1) H_ {n} ^ {2} - (2n + 1) H_ {n} + 2n. }$

эти два результата во многом аналогичны соответствующим интегральным результатам

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} log y dy = x log x-x}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {x} ( log y) ^ {2} dy = x ( log x) ^ {2} -2x log x + 2x}$

Личности с участием π

Есть несколько бесконечных суммирований, включающих гармонические числа и степени π:^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n cdot 2 ^ {n}}} = { frac {1} {12}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {(n + 1) ^ {2}}} = { frac {11} {360 }} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2}} {n ^ {2}}} = { frac {17} {360}} pi ^ {4}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n}} {n ^ {3}}} = { frac {1} {72}} pi ^ {4} }$

Расчет

Интегральное представление, задаваемое Эйлер^[4] является

${ displaystyle H_ {n} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx.}$

Вышеприведенное равенство легко получить с помощью простого алгебраическая идентичность

${ displaystyle { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} = 1 + x + cdots + x ^ {n-1}.}$

Используя замену Икс = 1 − ты, другое выражение для ЧАС_п является

${ displaystyle { begin {align} H_ {n} & = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ {n}} {1-x}} , dx = int _ {0} ^ {1} { frac {1- (1-u) ^ {n}} {u}} , du [6pt] & = int _ {0} ^ {1} left [ - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} u ^ {k-1} right] , du = - sum _ { k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} int _ {0} ^ {1} u ^ {k-1} , du [6pt ] & = - sum _ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k} { frac {1} {k}} { binom {n} {k}}. end {выровнено} }}$

График, демонстрирующий связь между номерами гармоник и натуральный логарифм. Номер гармоники ЧАС_п можно интерпретировать как Сумма Римана интеграла: ${ displaystyle int _ {1} ^ {n + 1} { frac {dx} {x}} = ln (n + 1).}$

В пномер гармоники примерно такой же, как натуральный логарифм из п. Причина в том, что сумма приближена к интеграл

${ displaystyle int _ {1} ^ {n} { frac {1} {x}} , dx,}$

чья ценность пер п.

Значения последовательности ЧАС_п - пер. п монотонно убывают в сторону предел

${ displaystyle lim _ {n to infty} left (H_ {n} - ln n right) = gamma,}$

куда γ ≈ 0.5772156649 это Константа Эйлера – Маскерони. Соответствующие асимптотическое разложение является

${ displaystyle { begin {align} H_ {n} & sim ln {n} + gamma + { frac {1} {2n}} - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}} & = ln {n} + gamma + { frac {1} {2n}} - { frac {1} {12n ^ { 2}}} + { frac {1} {120n ^ {4}}} - cdots, end {align}}}$

куда B_k являются Числа Бернулли.

Производящие функции

А производящая функция для гармонических чисел

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n} = { frac {- ln (1-z)} {1-z}},}$

где ln (z) это натуральный логарифм. Экспоненциальная производящая функция

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} H_ {n} = - e ^ {z} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k}} { frac {(-z) ^ {k}} {k!}} = e ^ {z} operatorname {Ein} (z)}$

где Ein (z) - это весь экспоненциальный интеграл. Обратите внимание, что

${ displaystyle operatorname {Ein} (z) = mathrm {E} _ {1} (z) + gamma + ln z = Gamma (0, z) + gamma + ln z}$

где Γ (0, z) это неполная гамма-функция.

Арифметические свойства

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Как известно, ${ textstyle H_ {n}}$ это целое число если и только если ${ textstyle n = 1}$, результат, который часто приписывают Тайсингеру.^[5] Действительно, используя 2-адическая оценка, нетрудно доказать, что для ${ textstyle п geq 2}$ числитель ${ textstyle H_ {n}}$ нечетное число, а знаменатель ${ textstyle H_ {n}}$ - четное число. Точнее,

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {2 ^ { lfloor log _ {2} (n) rfloor}}} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} }$

с некоторыми нечетными целыми числами ${ textstyle a_ {n}}$ и ${ textstyle b_ {n}}$.

Как следствие Теорема Вольстенхольма, для любого простого числа ${ displaystyle p geq 5}$ числитель ${ displaystyle H_ {p-1}}$делится на ${ textstyle p ^ {2}}$. Кроме того, Эйзенштейн^[6] доказал, что для всех нечетных простых чисел ${ textstyle p}$ он держит

${ Displaystyle H _ {(p-1) / 2} Equiv -2q_ {p} (2) { pmod {p}}}$

куда ${ textstyle q_ {p} (2) = (2 ^ {p-1} -1) / p}$ это Коэффициент Ферма, в результате чего ${ textstyle p}$ делит числитель ${ displaystyle H _ {(p-1) / 2}}$ если и только если ${ textstyle p}$ это Виферих прайм.

В 1991 году Эшваратхасан и Левин^[7] определенный ${ displaystyle J_ {p}}$ как набор всех положительных целых чисел ${ displaystyle n}$ так что числитель ${ displaystyle H_ {n}}$ делится на простое число ${ displaystyle p.}$ Они доказали, что

${ displaystyle {p-1, p ^ {2} -p, p ^ {2} -1 } substeq J_ {p}}$

для всех простых чисел ${ displaystyle p geq 5,}$ и они определили гармонические простые числа быть простыми ${ textstyle p}$ такой, что ${ Displaystyle J (p)}$ имеет ровно 3 элемента.

Эшваратхасан и Левин также предположили, что ${ displaystyle J_ {p}}$ это конечный набор для всех простых чисел ${ displaystyle p,}$ и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд^[8] подтвердил, что ${ displaystyle J_ {p}}$ конечно для всех простых чисел до ${ displaystyle p = 547}$ кроме 83, 127 и 397; и он дал эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в наборе всех простых чисел должны быть ${ displaystyle 1 / e}$. Санна^[9] показало, что ${ displaystyle J_ {p}}$ имеет ноль асимптотическая плотность, а Бин-Лин Ву и Юн-Гао Чен^[10] доказано, что количество элементов ${ displaystyle J_ {p}}$ не превышающий ${ displaystyle x}$ самое большее ${ displaystyle 3x ^ {{ frac {2} {3}} + { frac {1} {25 log p}}}}$, для всех ${ Displaystyle х geq 1}$.

Приложения

Номера гармоник присутствуют в нескольких формулах расчета, таких как функция дигаммы

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gamma.}$

Это соотношение также часто используется для определения расширения гармонических чисел на нецелые числа. п. Номера гармоник также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее ограничения:

${ displaystyle gamma = lim _ {n rightarrow infty} { left (H_ {n} - ln (n) right)},}$

несмотря на то что

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { left (H_ {n} - ln left (n + { frac {1} {2}} right) right)}}$

сходится быстрее.

В 2002, Джеффри Лагариас доказано^[11] что Гипотеза Римана эквивалентно утверждению, что

${ Displaystyle сигма (п) leq H_ {n} + ( log H_ {n}) e ^ {H_ {n}},}$

верно для каждого целое число п ≥ 1 со строгим неравенством, если п > 1; Вот σ(п) обозначает сумма делителей из п.

Собственные значения нелокальной задачи

${ displaystyle lambda varphi (x) = int _ {- 1} ^ {1} { frac { varphi (x) - varphi (y)} {| x-y |}} , dy}$

даны ${ displaystyle lambda = 2H_ {n}}$, где по соглашению ${ displaystyle H_ {0} = 0}$, а соответствующие собственные функции задаются Полиномы Лежандра ${ Displaystyle varphi (х) = P_ {п} (х)}$.^[12]

Обобщения

Обобщенные гармонические числа

В обобщенный номер гармоники порядка м из п дан кем-то

${ displaystyle H_ {n, m} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {m}}}.}.$

Другие иногда используемые обозначения включают

${ displaystyle H_ {n, m} = H_ {n} ^ {(m)} = H_ {m} (n).}$

Частный случай м = 0 дает ${ displaystyle H_ {n, 0} = n.}$ Частный случай м = 1 называется просто гармоническим числом и часто пишется без м, так как

${ displaystyle H_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}}.}$

Предел как п → ∞ конечно, если м > 1, с обобщенным номером гармоники, ограниченным и стремящимся к Дзета-функция Римана

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} H_ {n, m} = zeta (m).}$

Наименьшее натуральное число k такой, что k^п не делит знаменатель обобщенного номера гармоники ЧАС(k, п) ни знаменатель переменного обобщенного номера гармоники ЧАС'(k, п) это для п=1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма ${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ {п} к ^ {м}}$ происходит при изучении Числа Бернулли; гармонические числа также появляются при изучении Числа Стирлинга.

Некоторые интегралы от обобщенных гармонических чисел равны

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 2} , dx = a { frac { pi ^ {2}} {6}} - H_ {a}}$

и

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} H_ {x, 3} , dx = aA - { frac {1} {2}} H_ {a, 2},}$ куда А является Постоянная апери, т.е. ζ(3).

и

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k, m} = (n + 1) H_ {n, m} -H_ {n, m-1} { text {for}} m geq 0}$

Каждый обобщенный номер гармоники порядка m может быть записан как функция гармоники порядка m-1, используя:

${ displaystyle H_ {n, m} = sum _ {k = 1} ^ {n-1} { frac {H_ {k, m-1}} {k (k + 1)}} + { frac {H_ {n, m-1}} {n}}}$ Например: ${ displaystyle H_ {4,3} = { frac {H_ {1,2}} {1 cdot 2}} + { frac {H_ {2,2}} {2 cdot 3}} + { гидроразрыв {H_ {3,2}} {3 cdot 4}} + { frac {H_ {4,2}} {4}}}$

А производящая функция для обобщенных гармонических чисел есть

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} z ^ {n} H_ {n, m} = { frac { operatorname {Li} _ {m} (z)} {1-z} },}$

куда ${ displaystyle operatorname {Li} _ {m} (z)}$ это полилогарифм, и |z| < 1. Приведенная выше производящая функция для м = 1 является частным случаем этой формулы.

А дробный аргумент для обобщенных гармонических чисел можно представить следующим образом:

Для каждого ${ displaystyle p, q> 0}$ целое число и ${ displaystyle m> 1}$ целое или нет, из полигамма-функций имеем:

${ displaystyle H_ {q / p, m} = zeta (m) -p ^ {m} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {(q + pk) ^ { m}}}}$

куда ${ Displaystyle zeta (м)}$ это Дзета-функция Римана. Соответствующее рекуррентное отношение:

${ displaystyle H_ {a, m} = H_ {a-1, m} + { frac {1} {a ^ {m}}}}$

Некоторые особые значения:

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 2} = 16–8 ГБ - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$ куда грамм является Каталонская постоянная

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 2} = 4 - { tfrac { pi ^ {2}} {3}}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 2} = 8G + { tfrac {16} {9}} - { tfrac {5} {6}} pi ^ {2}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {4}}, 3} = 64-27 zeta (3) - pi ^ {3}}$

${ displaystyle H _ {{ frac {1} {2}}, 3} = 8–6 zeta (3)}$

${ displaystyle H _ {{ frac {3} {4}}, 3} = {({ tfrac {4} {3}})} ^ {3} -27 zeta (3) + pi ^ {3 }}$

В частном случае, когда ${ displaystyle p = 1}$, мы получили

${ Displaystyle Н_ {n, m} = zeta (m, 1) - zeta (m, n + 1)}$,

куда ${ Displaystyle zeta (м, п)}$ это Дзета-функция Гурвица. Это соотношение используется для численного расчета номеров гармоник.

Формулы умножения

В теорема умножения применяется к номерам гармоник. С помощью полигамма функций, получаем

${ displaystyle H_ {2x} = { frac {1} {2}} left (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {2}}} right) + ln 2}$

${ displaystyle H_ {3x} = { frac {1} {3}} left (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {3}}} + H_ {x - { frac { 2} {3}}} right) + ln 3,}$

или, в более общем смысле,

${ displaystyle H_ {nx} = { frac {1} {n}} left (H_ {x} + H_ {x - { frac {1} {n}}} + H_ {x - { frac { 2} {n}}} + cdots + H_ {x - { frac {n-1} {n}}} right) + ln n.}$

Для обобщенных гармонических чисел имеем

${ displaystyle H_ {2x, 2} = { frac {1} {2}} left ( zeta (2) + { frac {1} {2}} left (H_ {x, 2} + H_ {x - { frac {1} {2}}, 2} right) right)}$

${ displaystyle H_ {3x, 2} = { frac {1} {9}} left (6 zeta (2) + H_ {x, 2} + H_ {x - { frac {1} {3}) }, 2} + H_ {x - { frac {2} {3}}, 2} right),}$

куда ${ Displaystyle zeta (п)}$ это Дзета-функция Римана.

Гипергармонические числа

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвей и Р. К. Гай в своей книге 1995 года Книга чисел.^[1]:258 Позволять

${ displaystyle H_ {n} ^ {(0)} = { frac {1} {n}}.}$

Затем энный гипергармоническое число порядка р (г> 0) определяется рекурсивно как

${ Displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = sum _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {(r-1)}.}$

Особенно, ${ displaystyle H_ {n} ^ {(1)}}$ это обычный номер гармоники ${ displaystyle H_ {n}}$.

Числа гармоник для действительных и комплексных значений

Формулы, приведенные выше,

${ displaystyle H_ {x} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-t ^ {x}} {1-t}} , dt = - sum _ {k = 1} ^ { infty} {x choose k} { frac {(-1) ^ {k}} {k}}}$

представляют собой интегральное и серийное представление для функции, которая интерполирует гармонические числа, и через аналитическое продолжение, расширяет определение на комплексную плоскость, кроме отрицательных целых чисел Икс. На самом деле интерполирующая функция тесно связана с функция дигаммы

${ displaystyle H_ {x} = psi (x + 1) + gamma,}$

куда ψ(Икс) это дигамма, и γ - постоянная Эйлера-Маскерони. Процесс интеграции можно повторить, чтобы получить

${ displaystyle H_ {x, 2} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} {x select k} H_ {k }.}$

В Серия Тейлор для гармонических чисел

${ displaystyle H_ {x} = sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} zeta (k) ; x ^ {k-1} quad { text {для }} | x | <1}$

который происходит из серии Тейлора для функции дигаммы.

Альтернативная асимптотическая формулировка

При стремлении приблизитьЧАС_Икс для комплексного числаИкс, эффективно сначала вычислитьЧАС_м для некоторого большого целого числам. Используйте это, чтобы приблизить значение дляЧАС_м+Икс а затем использовать соотношение рекурсии ЧАС_п = ЧАС_п−1 + 1/п назадм раз, чтобы приблизить его кЧАС_Икс. Кроме того, это приближение является точным в пределем уходит в бесконечность.

В частности, для фиксированного целого числап, это тот случай, когда

${ displaystyle lim _ {м rightarrow infty} влево [H_ {m + n} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Еслип не является целым числом, то невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще не определили (в этом разделе) гармонические числа для нецелых чисел. Однако мы действительно получаем уникальное расширение гармонических чисел на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое числоп заменяется произвольным комплексным числомИкс.

${ Displaystyle lim _ {м rightarrow infty} влево [H_ {m + x} -H_ {m} right] = 0 ,,}$

Меняя местами две части этого уравнения, а затем вычитая их изЧАС_Икс дает

${ displaystyle { begin {align} H_ {x} & = lim _ {m rightarrow infty} left [H_ {m} - (H_ {m + x} -H_ {x}) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} left [ left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {k}} right) - left ( sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {1} {x + k}} right) right] [6pt] & = lim _ {m rightarrow infty} sum _ {k = 1} ^ {m} left ({ frac {1} {k}} - { frac {1} {x + k}} right) = x sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k (x + k)}} ,. end {align}}}$

Этот бесконечная серия сходится для всех комплексных чиселИкс кроме отрицательных целых чисел, которые терпят неудачу из-за попытки использовать отношение рекурсии ЧАС_п = ЧАС_п−1 + 1/п назад через значениеп = 0 предполагает деление на ноль. По этой конструкции функция, определяющая номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет (1) ЧАС₀ = 0, (2) ЧАС_Икс = ЧАС_Икс−1 + 1/Икс для всех комплексных чиселИкс кроме неположительных целых чисел и (3) Lim_м→+∞ (ЧАС_м+Икс − ЧАС_м) = 0 для всех сложных значенийИкс.

Обратите внимание, что эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} H_ {x} , dx = gamma ,,}$

кудаγ это Константа Эйлера – Маскерони или, в более общем смысле, для каждогоп у нас есть:

${ displaystyle int _ {0} ^ {n} H_ {x} , dx = n gamma + ln {(n!)} ,.}$

Специальные значения для дробных аргументов

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, задаваемые интегралом

${ displaystyle H _ { alpha} = int _ {0} ^ {1} { frac {1-x ^ { alpha}} {1-x}} , dx ,.}$

Из рекуррентного отношения могут быть сгенерированы другие значения

${ Displaystyle H _ { alpha} = H _ { alpha -1} + { frac {1} { alpha}} ,,}$

или из отношения отражения

${ Displaystyle H_ {1- alpha} -H _ { alpha} = pi cot {( pi alpha)} - { frac {1} { alpha}} + { frac {1} {1 - alpha}} ,.}$

Например:

${ displaystyle H _ { frac {1} {2}} = 2–2 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {3}} = 3 - { tfrac { pi} {2 { sqrt {3}}}} - { tfrac {3} {2}} ln {3 }}$

${ displaystyle H _ { frac {2} {3}} = { tfrac {3} {2}} (1- ln {3}) + { sqrt {3}} { tfrac { pi} { 6}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {4}} = 4 - { tfrac { pi} {2}} - 3 ln {2}}$

${ displaystyle H _ { frac {3} {4}} = { tfrac {4} {3}} - 3 ln {2} + { tfrac { pi} {2}}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {6}} = 6 - { tfrac { pi} {2}} { sqrt {3}} - 2 ln {2} - { tfrac {3} { 2}} ln {3}}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {8}} = 8 - { tfrac { pi} {2}} - 4 ln {2} - { tfrac {1} { sqrt {2}}} left { pi + ln left (2 + { sqrt {2}} right) - ln left (2 - { sqrt {2}} right) right }}$

${ displaystyle H _ { frac {1} {12}} = 12-3 left ( ln {2} + { tfrac { ln {3}} {2}} right) - pi left ( 1 + { tfrac { sqrt {3}} {2}} right) +2 { sqrt {3}} ln left ({ sqrt {2 - { sqrt {3}}}} right )}$

Для положительных целых чисел п и q с п < q, у нас есть:

${ displaystyle H _ { frac {p} {q}} = { frac {q} {p}} + 2 sum _ {k = 1} ^ { lfloor { frac {q-1} {2} } rfloor} cos left ({ frac {2 pi pk} {q}} right) ln left ({ sin left ({ frac { pi k} {q}} right )} right) - { frac { pi} {2}} cot left ({ frac { pi p} {q}} right) - ln left (2q right)}$

Связь с дзета-функцией Римана

Некоторые производные дробных номеров гармоник даются по формуле:

${ displaystyle { begin {align} { frac {d ^ {n} H_ {x}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} n! left [ zeta (n + 1) -H_ {x, n + 1} right] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 2}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} (n + 1)! Left [ zeta (n + 2) -H_ {x, n + 2} right] [6pt] { frac {d ^ {n} H_ {x, 3}} {dx ^ {n}}} & = (- 1) ^ {n + 1} { frac {1} {2}} (n + 2)! Left [ zeta (n +3) -H_ {x, n + 3} right]. End {выравнивается}}}$

И используя Серия Маклорена, у нас есть для Икс < 1:

${ Displaystyle { begin {align} H_ {x} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} x ^ {n} zeta (n + 1) [5pt] H_ {x, 2} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} (n + 1) x ^ {n} zeta (n +2) [5pt] H_ {x, 3} & = { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} ( n + 1) (n + 2) x ^ {n} zeta (n + 3). end {выравнивается}}}$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для а > 1:

${ displaystyle { begin {align} H_ {1 / a} & = { frac {1} {a}} left ( zeta (2) - { frac {1} {a}} zeta (3 ) + { frac {1} {a ^ {2}}} zeta (4) - { frac {1} {a ^ {3}}} zeta (5) + cdots right) [ 6pt] H_ {1 / a, , 2} & = { frac {1} {a}} left (2 zeta (3) - { frac {3} {a}} zeta (4) + { frac {4} {a ^ {2}}} zeta (5) - { frac {5} {a ^ {3}}} zeta (6) + cdots right) [6pt] H_ {1 / a, , 3} & = { frac {1} {2a}} left (2 cdot 3 zeta (4) - { frac {3 cdot 4} {a}} zeta (5) + { frac {4 cdot 5} {a ^ {2}}} zeta (6) - { frac {5 cdot 6} {a ^ {3}}} zeta (7) + cdots right). end {выравнивается}}}$

Смотрите также

• Оценка Уоттерсона
• Таджима D
• Проблема сборщика купонов
• Проблема с джипом
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин

Примечания

Рекомендации

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Встреча Стирлинга с гармоническими числами» (PDF). Математический журнал. 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722. Дои:10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-06-17. Получено 2005-08-08.
• Дональд Кнут (1997). «Раздел 1.2.7: Числа гармоник». Искусство программирования. Том 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75–79. ISBN  978-0-201-89683-1.
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер - оценка проблемы Базеля (2003)
• Пол, Питер; Шнайдер, Карстен (2003). "Компьютерные доказательства нового семейства гармонических числовых тождеств" (PDF). Adv. Appl. Математика. 31 (2): 359–378. Дои:10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2.
• Вэньчан Чу (2004). "Биномиальное тождество коэффициента, связанное с гипотезой Бойкерса об аперических числах" (PDF). Электронный журнал комбинаторики. 11: N15.
• Айхан Дил; Иштван Мезо (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычисления. 206 (2): 942–951. arXiv:0803.4388. Дои:10.1016 / j.amc.2008.10.013.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». MathWorld.

Эта статья включает в себя материал из Harmonic number на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.