Естественная плотность - Natural density

В теория чисел, естественная плотность (также называемый асимптотическая плотность или же арифметическая плотность) - один из методов измерения "большого" размера подмножество из набор из натуральные числа является. Он полагается главным образом на вероятность встречи с членами желаемого подмножества при прочесывании интервал [1, п] в качестве п становится большим.

Интуитивно кажется, что есть еще положительные целые числа чем идеальные квадраты, поскольку каждый полный квадрат уже положителен, а кроме того существует множество других положительных целых чисел. Однако набор положительных целых чисел на самом деле не больше, чем набор полных квадратов: оба набора равны бесконечный и счетный и поэтому может быть вставлен индивидуальная переписка. Тем не менее, если рассматривать натуральные числа, квадратов становится все меньше. Понятие естественной плотности делает эту интуицию точной для многих, но не для всех, подмножеств естественных (см. Плотность Шнирельмана, которая аналогична естественной плотности, но определена для всех подмножеств ${ Displaystyle mathbb {N}}$ ).

Если целое число случайно выбрано из интервала [1,п], то вероятность того, что он принадлежит А это отношение количества элементов А в 1,п] к общему количеству элементов в [1,п]. Если эта вероятность стремится к некоторой предел в качестве п стремится к бесконечности, то этот предел называется асимптотической плотностью А. Это понятие можно понимать как своего рода вероятность выбора числа из множества А. Действительно, асимптотическая плотность (как и некоторые другие типы плотностей) изучается в вероятностная теория чисел.

Определение

Подмножество А натуральных чисел имеет естественную плотность α если доля элементов А среди всего натуральные числа от 1 до п сходится к α в качестве п стремится к бесконечности.

Более точно, если определить для любого натурального числа п подсчет функция а(п) как количество элементов А меньше или равно п, то естественная плотность A, равная α, в точности означает, что^[1]

а(п) / п → α при п → ∞.

Из определения следует, что если множество А имеет естественную плотность α тогда 0 ≤ α ≤ 1.

Верхняя и нижняя асимптотическая плотность

Позволять ${ displaystyle A}$ быть подмножеством множества натуральных чисел ${ displaystyle mathbb {N} = {1,2, ldots }.}$ Для любого ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ положить ${ displaystyle A (n) = {1,2, ldots, n } cap A.}$ и ${ Displaystyle а (п) = | А (п) |}$ .

Определить верхняя асимптотическая плотность (также называется «верхняя плотность») ${ Displaystyle { overline {d}} (А)}$ из ${ displaystyle A}$ к

{ displaystyle { overline {d}} (A) = limsup _ {n rightarrow infty} { frac {a (n)} {n}}}

где lim sup - это предел высшего. ${ Displaystyle { overline {d}} (А)}$ также известен как верхняя плотность ${ displaystyle A.}$

По аналогии, ${ displaystyle { underline {d}} (А)}$ , то нижняя асимптотическая плотность (также называемая «более низкая плотность») ${ displaystyle A}$ , определяется

{ displaystyle { underline {d}} (A) = liminf _ {n rightarrow infty} { frac {a (n)} {n}}}

где lim inf - это ограничивать низший. Можно сказать ${ displaystyle A}$ имеет асимптотическую плотность ${ displaystyle d (A)}$ если ${ displaystyle { underline {d}} (A) = { overline {d}} (A)}$ , в таком случае ${ displaystyle d (A)}$ равно этому общему значению.

Это определение можно переформулировать следующим образом:

{ displaystyle d (A) = lim _ {n rightarrow infty} { frac {a (n)} {n}}}

если этот предел существует.^[2]

Можно доказать, что из определений следует, что выполняется также следующее. Если бы можно было написать подмножество ${ Displaystyle mathbb {N}}$ как возрастающая последовательность, индексированная натуральными числами

{ Displaystyle А = {а_ {1} <а_ {2} < ldots }}

тогда

{ displaystyle { underline {d}} (A) = liminf _ {n rightarrow infty} { frac {n} {a_ {n}}},}

{ displaystyle { overline {d}} (A) = limsup _ {n rightarrow infty} { frac {n} {a_ {n}}}}

и ${ displaystyle d (A) = lim _ {n rightarrow infty} { frac {n} {a_ {n}}}}$ если предел существует.

Несколько более слабое понятие плотности - это верхняя банахова плотность; учитывая набор ${ Displaystyle A substeq mathbb {N}}$ , определять ${ displaystyle d ^ {*} (А)}$ в качестве

{ displaystyle d ^ {*} (A) = limsup _ {NM rightarrow infty} { frac {| A cap {M, M + 1, ldots, N } |} {N-M +1}}}

Свойства и примеры

Если d(А) существует для некоторого множества А, и А^c обозначает его набор дополнений относительно ${ Displaystyle mathbb {N}}$ $mathbb {N}$ тогда d(А^c) = 1 − d(А).
- Следствие: ${ Displaystyle d ( mathbb {N}) = 1.}$

Если ${ Displaystyle д (А), д (В),}$ и ${ displaystyle d (A чашка B)}$ существовать, тогда

{ displaystyle max {d (A), d (B) } leq d (A cup B) leq min {d (A) + d (B), 1 }.}

Для любого конечный набор F натуральных чисел, d(F) = 0.

Если ${ displaystyle A = {n ^ {2}: n in mathbb {N} }}$ - это множество всех квадратов, тогда d(А) = 0.

Если ${ Displaystyle А = {2n: п в mathbb {N} }}$ множество всех четных чисел, то d(А) = 0,5. Аналогично для любой арифметической прогрессии ${ displaystyle A = {an + b: n in mathbb {N} }}$ мы получили ${ displaystyle d (A) = { tfrac {1} {a}}.}$

Для набора п из всех простые числа мы получаем от теорема о простых числах который d(п) = 0.

Набор всех целые числа без квадратов имеет плотность ${ displaystyle { tfrac {6} { pi ^ {2}}}.}$ В общем, набор всех п^th-беспроводные номера для любых натуральных п имеет плотность ${ Displaystyle { tfrac {1} { zeta (n)}},}$ куда ${ Displaystyle zeta (п)}$ это Дзета-функция Римана.

Набор обильные числа имеет ненулевую плотность.^[3] В 1998 году Марк Делеглиз показал, что плотность множества полных и совершенных чисел находится в пределах от 0,2474 до 0,2480.^[4]

Набор

{ displaystyle A = bigcup _ {n = 0} ^ { infty} left {2 ^ {2n}, ldots, 2 ^ {2n + 1} -1 right }}

чисел, двоичное расширение которых содержит нечетное количество цифр, является примером набора, который не имеет асимптотической плотности, так как верхняя плотность этого набора равна

{ displaystyle { overline {d}} (A) = lim _ {m to infty} { frac {1 + 2 ^ {2} + cdots + 2 ^ {2m}} {2 ^ {2m +1} -1}} = lim _ {m to infty} { frac {2 ^ {2m + 2} -1} {3 (2 ^ {2m + 1} -1)}} = { гидроразрыв {2} {3}},}

тогда как его более низкая плотность

{ displaystyle { underline {d}} (A) = lim _ {m to infty} { frac {1 + 2 ^ {2} + cdots + 2 ^ {2m}} {2 ^ {2m +2} -1}} = lim _ {m to infty} { frac {2 ^ {2m + 2} -1} {3 (2 ^ {2m + 2} -1)}} = { гидроразрыв {1} {3}}.}

Набор чисел, чьи десятичное разложение начинается с цифры 1, аналогично не имеет естественной плотности: нижняя плотность составляет 1/9, а верхняя плотность - 5/9.^[1] (Видеть Закон Бенфорда.)

Рассмотрим равнораспределенная последовательность ${ displaystyle { alpha _ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ в ${ displaystyle [0,1]}$ и определим монотонную семью ${ displaystyle {A_ {x} } _ {x in [0,1]}}$ комплектов:

{ displaystyle A_ {x}: = {n in mathbb {N}: alpha _ {n}

Тогда по определению

{ displaystyle d (A_ {x}) = x}

для всех

{ displaystyle x}

.

Если S - множество положительной верхней плотности, то Теорема Семереди утверждает, что S содержит сколь угодно большие конечные арифметические прогрессии, а Теорема Фюрстенберга – Шаркози заявляет, что около двух членов S различаются квадратным числом.

Другие функции плотности

Аналогично могут быть определены другие функции плотности на подмножествах натуральных чисел. Например, логарифмическая плотность набора А определяется как предел (если он существует)

{ displaystyle mathbf { delta} (A) = lim _ {x rightarrow infty} { frac {1} { log x}} sum _ {n in A, n leq x} { frac {1} {n}} .}

Аналогично определяются верхняя и нижняя логарифмические плотности.

Для набора кратных целочисленной последовательности Теорема Давенпорта – Эрдеша утверждает, что естественная плотность и логарифмическая плотность равны.^[5]

Примечания

^ ^а ^б Тененбаум (1995) с.261
^ Натансон (2000), стр.256–257
^ Холл, Ричард Р .; Тененбаум, Жеральд (1988). Делители. Кембриджские трактаты по математике. 90. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.
^ Делеглиз, Марк (1998). «Границы плотности обильных целых чисел». Экспериментальная математика. 7 (2): 137–143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272. Дои:10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. МИСТЕР 1677091. Zbl 0923.11127.
^ Холл, Ричард Р. (1996), Наборы кратных, Кембриджские трактаты по математике, 118, Cambridge University Press, Кембридж, теорема 0.2, стр. 5, Дои:10.1017 / CBO9780511566011, ISBN 978-0-521-40424-2, МИСТЕР 1414678

Естественная плотность - Natural density

Содержание

Определение

Верхняя и нижняя асимптотическая плотность

Свойства и примеры

Другие функции плотности

Примечания

Смотрите также

Рекомендации