Теорема Семередиса - Википедия - Szemerédis theorem

В арифметическая комбинаторика, Теорема Семереди это результат относительно арифметические прогрессии в подмножествах целых чисел. В 1936 г. Erds и Туран предполагаемый^[1] что каждый набор целых чисел А с положительным естественная плотность содержит k-срок арифметическая прогрессия для каждого k. Эндре Семереди доказал гипотезу в 1975 году.

Заявление

Подмножество А из натуральные числа имеет положительную верхнюю плотность, если

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {| A cap {1,2,3, dotsc, n } |} {n}}> 0}$.

Теорема Семереди утверждает, что подмножество натуральных чисел с положительной верхней плотностью содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины k для всех положительных целых чисел k.

Часто используемый эквивалентный финитарный вариант теоремы утверждает, что для любого положительного целого числа k и реальное число ${ displaystyle delta in (0,1]}$, существует натуральное число

${ Displaystyle N = N (к, дельта)}$

такое, что каждое подмножество {1, 2, ..., N} размером не менее δN содержит арифметическую прогрессию длины k.

В другой формулировке используется функция р_k(N), размер наибольшего подмножества {1, 2, ..., N} без арифметической прогрессии длины k. Теорема Семереди эквивалентна асимптотической оценке

${ Displaystyle r_ {к} (N) = о (N)}$.

То есть, р_k(N) растет менее чем линейно с N.

История

Теорема Ван дер Вардена, предшественник теоремы Семереди, был доказан в 1927 году.

Случаи k = 1 и k = 2 теоремы Семереди тривиальны. Дело k = 3, известный как Теорема Рота, была основана в 1953 г. Клаус Рот^[2] через адаптацию Метод круга Харди – Литтлвуда. Эндре Семереди^[3] доказал правоту k = 4 через комбинаторику. Используя подход, аналогичный тому, который он использовал в случае k = 3, Рот^[4] дал второе доказательство этого в 1972 г.

Общее дело было урегулировано в 1975 году, также Семереди,^[5] который разработал остроумное и сложное расширение своего предыдущего комбинаторного аргумента в пользу k = 4 (названный "шедевром комбинаторного мышления" Erds^[6]). Теперь известно несколько других доказательств, наиболее важные из которых принадлежат Гилель Фюрстенберг^[7][8] в 1977 г., используя эргодическая теория, и по Тимоти Гауэрс^[9] в 2001 г., используя оба Анализ Фурье и комбинаторика. Теренс Тао назвал различные доказательства теоремы Семереди "Розеттский камень «для соединения разрозненных областей математики.^[10]

Количественные оценки

Это открытая проблема - определить точную скорость роста р_k(N). Наиболее известные общие оценки:

${ displaystyle CN exp left (-n2 ^ {(n-1) / 2} { sqrt [{n}] { log N}} + { frac {1} {2n}} log log N right) leq r_ {k} (N) leq { frac {N} {( log log N) ^ {2 ^ {- 2 ^ {k + 9}}}}},}$

куда ${ Displaystyle п = lceil журнал к rceil}$. Нижняя граница принадлежит О'Брайанту.^[11] опираясь на работу Беренд,^[12] Ранкин,^[13] и Элькин.^[14][15] Верхняя граница принадлежит Гауэрсу.^[9]

Для малых k, существуют более жесткие границы, чем в общем случае. Когда k = 3, Бургейн,^[16][17] Хит-Браун,^[18] Семереди,^[19] и Сандерс^[20] предоставлены все более низкие верхние границы. Текущие наилучшие оценки:

${ displaystyle N2 ^ {- { sqrt {8 log N}}} leq r_ {3} (N) leq C { frac {( log log N) ^ {4}} { log N }} N}$

из-за О'Брайанта^[11] и Блум^[21] соответственно.

За k = 4, зеленый и дао^[22][23] доказал, что

${ displaystyle r_ {4} (N) leq C { frac {N} {( log N) ^ {c}}}}$

для некоторых c > 0.

Расширения и обобщения

Многомерное обобщение теоремы Семереди было впервые доказано Гилель Фюрстенберг и Ицхак Кацнельсон используя эргодическую теорию.^[24] Тимоти Гауэрс,^[25] Войтех Рёдль и Юзеф Скокан^[26][27] с Бренданом Нэглом, Рёдлем и Матиас Шахт,^[28] и Теренс Тао^[29] предоставил комбинаторные доказательства.

Александр Лейбман и Виталий Бергельсон^[30] обобщил Семереди на полиномиальные прогрессии: Если ${ Displaystyle А подмножество mathbb {N}}$ - множество с положительной верхней плотностью и ${ Displaystyle p_ {1} (n), p_ {2} (n), dotsc, p_ {k} (n)}$ находятся целочисленные многочлены такой, что ${ displaystyle p_ {i} (0) = 0}$, то бесконечно много ${ Displaystyle и, п в mathbb {Z}}$ такой, что ${ Displaystyle и + р_ {я} (п) в А}$ для всех ${ Displaystyle 1 Leq я Leq к}$. Результат Лейбмана и Бергельсона справедлив и в многомерной ситуации.

Конечная версия теоремы Семереди может быть обобщена на конечные аддитивные группы включая векторные пространства над конечные поля.^[31] Аналог конечного поля можно использовать в качестве модели для понимания теоремы в натуральных числах.^[32] Проблема получения оценок в случае k = 3 теоремы Семереди в векторном пространстве ${ displaystyle mathbb {F} _ {3} ^ {n}}$ известен как набор крышек проблема.

В Теорема Грина – Тао утверждает, что простые числа содержат произвольные длинные арифметические прогрессии. Это не следует из теоремы Семереди, потому что простые числа имеют плотность 0 в натуральных числах. В качестве доказательства Бен Грин и Тао ввел «относительную» теорему Семереди, которая применяется к подмножествам целых чисел (даже с нулевой плотностью), удовлетворяющим определенным условиям псевдослучайности. Более общая относительная теорема Семереди была с тех пор дана Дэвид Конлон, Джейкоб Фокс, и Юфэй Чжао.^[33][34]

В Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях влечет как теорему Семереди, так и теорему Грина – Тао.

Смотрите также

• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Эргодическая теория Рамсея
• Арифметическая комбинаторика
• Лемма Семереди о регулярности

Примечания

дальнейшее чтение

• Тао, Теренс (2007). «Эргодический и комбинаторный подходы к теореме Семереди». В Гранвилле, Эндрю; Натансон, Мелвин Б .; Солимози, Йожеф (ред.). Аддитивная комбинаторика. CRM Proceedings & Lecture Notes. 43. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 145–193. arXiv:математика / 0604456. Bibcode:2006математика ...... 4456T. ISBN  978-0-8218-4351-2. МИСТЕР  2359471. Zbl  1159.11005.

внешняя ссылка

• Исходный код PlanetMath для начальной версии этой страницы
• Объявление Бена Грина и Теренса Тао - препринт доступен по адресу math.NT / 0404188
• Обсуждение теоремы Семереди (часть 1 из 5)
• Бен Грин и Теренс Тао: Теорема Семереди на Scholarpedia
• Вайсштейн, Эрик В. "Семередис Теорем". MathWorld.
• Грайм, Джеймс; Ходж, Дэвид (2012). «6,000,000: Эндре Семереди получает премию Абеля». Numberphile. Брэди Харан.