Плотность Шнирельмана - Википедия - Schnirelmann density

В аддитивная теория чисел, то Плотность Шнирельмана из последовательность чисел - это способ измерить, насколько «плотная» последовательность. Он назван в честь русский математик Лев Шнирельманн, который первым его изучил.^[1][2]

Определение

В Плотность Шнирельмана набора натуральные числа А определяется как

${ displaystyle sigma A = inf _ {n} { frac {A (n)} {n}},}$

куда А(п) обозначает количество элементов А не превышающий п и inf это инфимум.^[3]

Плотность Шнирельмана хорошо определена, даже если предел А(п)/п в качестве п → ∞ не существует (см. верхняя и нижняя асимптотическая плотность ).

Характеристики

По определению, 0 ≤ А(п) ≤ n и п σА ≤ А(п) для всех п, и поэтому 0 ≤ σА ≤ 1, и σА = 1 если и только если А = N. Более того,

${ displaystyle sigma A = 0 Rightarrow forall epsilon> 0 существует n A (n) < epsilon n.}$

Чувствительность

Плотность Шнирельмана чувствительна к первым значениям набора:

${ displaystyle forall k k notin A Rightarrow sigma A leq 1-1 / k}$.

Особенно,

${ Displaystyle 1 notin A Rightarrow sigma A = 0}$

и

${ displaystyle 2 notin A Rightarrow sigma A leq { frac {1} {2}}.}$

Следовательно, плотности Шнирельмана для четных и нечетных чисел, с которыми можно было бы согласиться, равны 0 и 1/2 соответственно. Шнирельманн и Юрий Линник использовали эту чувствительность, как мы увидим.

Теоремы Шнирельмана

Если мы установим ${ Displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2} = {k ^ {2} } _ {k = 1} ^ { infty}}$, тогда Теорема Лагранжа о четырех квадратах можно переформулировать как ${ displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}) }} ^ {2}) = 1}$. (Здесь символ ${ displaystyle A oplus B}$ обозначает сумма из ${ Displaystyle А чашка {0 }}$ и ${ Displaystyle B чашка {0 }}$.) Ясно, что ${ Displaystyle sigma { mathfrak {G}} ^ {2} = 0}$. На самом деле у нас все еще есть ${ Displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2}) = 0}$, и можно спросить, в какой момент совокупность достигает плотности Шнирельмана 1 и как она увеличивается. На самом деле это тот случай, когда ${ displaystyle sigma ({ mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2} oplus { mathfrak {G}} ^ {2}) = 5/6}$ и видно, что суммирование ${ Displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2}}$ снова дает более многочисленный набор, а именно все ${ Displaystyle mathbb {N}}$. Шнирельману далее удалось развить эти идеи в следующих теоремах, направленных на аддитивную теорию чисел и доказав, что они являются новым ресурсом (если не очень мощным) для решения важных проблем, таких как Проблема Варинга и Гипотеза Гольдбаха.

Теорема. Позволять ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ быть подмножествами ${ Displaystyle mathbb {N}}$. потом

${ displaystyle sigma (A oplus B) geq sigma A + sigma B- sigma A cdot sigma B.}$

Обратите внимание, что ${ Displaystyle сигма А + сигма В- сигма А cdot сигма В = 1- (1- сигма А) (1- сигма В)}$. Индуктивно мы имеем следующее обобщение.

Следствие. Позволять ${ Displaystyle A_ {я} substeq mathbb {N}}$ конечное семейство подмножеств ${ Displaystyle mathbb {N}}$. потом

${ displaystyle sigma ( bigoplus _ {i} A_ {i}) geq 1- prod _ {i} (1- sigma A_ {i}).}$

Теорема дает первое представление о том, как накапливаются суммы. Кажется досадным, что его вывод не показывает ${ displaystyle sigma}$ существование супераддитив. Тем не менее, Шнирельманн предоставил нам следующие результаты, которых было достаточно для большинства его целей.

Теорема. Позволять ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ быть подмножествами ${ Displaystyle mathbb {N}}$. Если ${ Displaystyle сигма А + сигма В geq 1}$, тогда

${ Displaystyle A oplus B = mathbb {N}.}$

Теорема. (Шнирельманн) Позволять ${ Displaystyle A substeq mathbb {N}}$. Если ${ displaystyle sigma A> 0}$ тогда существует ${ displaystyle k}$ такой, что

${ displaystyle bigoplus _ {i = 1} ^ {k} A = mathbb {N}.}$

Аддитивные основы

Подмножество ${ Displaystyle A substeq mathbb {N}}$ со свойством, что ${ Displaystyle A oplus A oplus cdots oplus A = mathbb {N}}$ для конечной суммы называется аддитивная основа, а наименьшее количество требуемых слагаемых называется степень (иногда порядок) основания. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. В этой терминологии набор квадратов ${ Displaystyle { mathfrak {G}} ^ {2} = {k ^ {2} } _ {k = 1} ^ { infty}}$ является аддитивным базисом степени 4. (Об открытой задаче для аддитивных баз см. Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях.)

Теорема Манна

Исторически вышеприведенные теоремы были указателями на следующий результат, когда-то известный как ${ Displaystyle альфа + бета}$ гипотеза. Он использовался Эдмунд Ландау и было окончательно доказано Генри Манн в 1942 г.

Теорема. (Манн 1942 ) Позволять ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ быть подмножествами ${ Displaystyle mathbb {N}}$. В случае, если ${ Displaystyle А oplus B neq mathbb {N}}$, У нас все еще есть

${ displaystyle sigma (A oplus B) geq sigma A + sigma B.}$

Аналог этой теоремы для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером.^[4] Впоследствии, Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна.^[5]

Проблема Варинга

Позволять ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle N}$ быть натуральными числами. Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {G}} ^ {k} = {я ^ {k} } _ {я = 1} ^ { infty}}$. Определять ${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)}$ быть числом неотрицательных интегральных решений уравнения

${ displaystyle x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} = n}$

и ${ Displaystyle R_ {N} ^ {k} (п)}$ быть числом неотрицательных интегральных решений неравенства

${ displaystyle 0 leq x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} leq n,}$

в переменных ${ displaystyle x_ {i}}$, соответственно. Таким образом ${ Displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) = sum _ {i = 0} ^ {n} r_ {N} ^ {k} (i)}$. У нас есть

• ${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (n)> 0 leftrightarrow n in N { mathfrak {G}} ^ {k},}$
• ${ displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) geq left ({ frac {n} {N}} right) ^ { frac {N} {k}}.}$

Объем ${ displaystyle N}$-мерное тело, определяемое ${ displaystyle 0 leq x_ {1} ^ {k} + x_ {2} ^ {k} + cdots + x_ {N} ^ {k} leq n}$, ограничена объемом гиперкуба размера ${ displaystyle n ^ {1 / k}}$, следовательно ${ Displaystyle R_ {N} ^ {k} (n) = sum _ {i = 0} ^ {n} r_ {N} ^ {k} (i) leq n ^ {N / k}}$. Сложнее всего показать, что эта граница в среднем работает, т. Е.

Лемма. (Линник) Для всех ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ Существует ${ Displaystyle N in mathbb {N}}$ и постоянный ${ Displaystyle с = с (к)}$, в зависимости только от ${ displaystyle k}$, так что для всех ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$,

${ displaystyle r_ {N} ^ {k} (m)$

для всех ${ Displaystyle 0 Leq м Leq п.}$

Имея это под рукой, можно элегантно доказать следующую теорему.

Теорема. Для всех ${ displaystyle k}$ Существует ${ displaystyle N}$ для которого ${ displaystyle sigma (N { mathfrak {G}} ^ {k})> 0}$.

Таким образом, мы установили общее решение проблемы Варинга:

Следствие. (Гильберт 1909 ) Для всех ${ displaystyle k}$ Существует ${ displaystyle N}$, в зависимости только от ${ displaystyle k}$, такие что каждое положительное целое число ${ displaystyle n}$ можно выразить как сумму не более чем ${ displaystyle N}$ много ${ displaystyle k}$-ые степени.

Постоянная Шнирельмана

В 1930 году Шнирельманн использовал эти идеи в сочетании с Сито Бруна чтобы доказать Теорема Шнирельмана,^[1][2] что любой натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более C простые числа, куда C эффективно вычислимая константа:^[6] Шнирельманн получил C < 800000.^[7] Постоянная Шнирельмана это наименьшее число C с этим свойством.^[6]

Оливье Рамаре показано в (Рамаре 1995 ), что постоянная Шнирельмана не превосходит 7,^[6] улучшение предыдущей верхней оценки 19, полученной Ханс Ризель и Р. К. Воган.

Постоянная Шнирельмана не менее 3; Гипотеза Гольдбаха означает, что это фактическое значение константы.^[6]

В 2013, Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех нечетных чисел. Следовательно, постоянная Шнирельмана не превосходит 4. ^{[8][9][10][11]}

Основные компоненты

Хинчин доказал, что последовательность квадратов, хотя и с нулевой плотностью Шнирельмана, при добавлении к последовательности с плотностью Шнирельмана от 0 до 1 увеличивает плотность:

${ displaystyle sigma (A + { mathfrak {G}} ^ {2})> sigma (A) { text {for}} 0 < sigma (A) <1.}$

Вскоре это было упрощено и расширено Erds, кто показал, что если А - произвольная последовательность с плотностью Шнирельмана α и B аддитивная основа порядка k тогда

${ displaystyle sigma (A + B) geq alpha + { frac { alpha (1- alpha)} {2k}} ,,}$^[12]

и это было улучшено Plünnecke до

${ displaystyle sigma (A + B) geq alpha ^ {1 - { frac {1} {k}}} .}$^[13]

Последовательности с этим свойством с увеличением плотности меньше единицы за счет добавления были названы основные компоненты Хинчина. Линник показал, что существенный компонент не обязательно должен быть аддитивной основой^[14] поскольку он построил важный компонент, который Икс^{о (1)} элементы меньше чемИкс. Точнее, последовательность имеет

${ Displaystyle е ^ {( журнал х) ^ {с}}}$

элементы меньше чем Икс для некоторых c <1. Это было улучшено Э. Вирсинг к

${ displaystyle e ^ {{ sqrt { log x}} log log x}.}$

Какое-то время оставалась открытой проблема, сколько элементов должен иметь важный компонент. Ну наконец то, Ружа определили, что важный компонент имеет не менее (logИкс)^c элементы до Икс, для некоторых c > 1, и для каждого c > 1 есть существенный компонент, который имеет не более (logИкс)^c элементы доИкс.^[15]

Рекомендации

• Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl пter Potenzen (Проблема Waringsches) ". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. Дои:10.1007 / BF01450405. ISSN  0025-5831. МИСТЕР  1511530.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Шнирельманн, Л. (1930). «Об аддитивных свойствах чисел». Анна. Inst. Политехн. Новочеркасск (на русском). 14: 3–28. JFM  56.0892.02.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Шнирельманн, Л. (1933). «Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen». Математика. Анна. (на немецком). 107: 649–690. Дои:10.1007 / BF01448914. Zbl  0006.10402.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Манн, Генри Б. (1942). «Доказательство основной теоремы о плотности сумм множеств натуральных чисел». Анналы математики. Вторая серия. 43 (3): 523–527. Дои:10.2307/1968807. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968807. МИСТЕР  0006748. Zbl  0061.07406.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Гельфонд, А.; Линник, Ю. В. (1966). Л.Дж. Морделл (ред.). Элементарные методы аналитической теории чисел. Джордж Аллен и Анвин.
• Манн, Генри Б. (1976). Теоремы сложения: теоремы сложения теории групп и теории чисел (Исправленное переиздание изд. Wiley 1965 г.). Хантингтон, Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN  978-0-88275-418-5. МИСТЕР  0424744. Внешняя ссылка в | publisher = (помощь)CS1 maint: ref = harv (связь)
• Натансон, Мелвин Б. (1990). «Наилучшие результаты по плотности сумм». В Берндт, Брюс С.; Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хайни; и другие. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США). Успехи в математике. 85. Бостон: Биркхойзер. С. 395–403. ISBN  978-0-8176-3481-0. Zbl  0722.11007.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рамаре, О. (1995). "О постоянной Шнирельмана". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Серия IV. 22 (4): 645–706. Zbl  0851.11057. Получено 2011-03-28.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы. Тексты для выпускников по математике. 164. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94656-6. Zbl  0859.11002.
• Натансон, Мелвин Б. (2000). Элементарные методы в теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 195. Springer-Verlag. С. 359–367. ISBN  978-0-387-98912-9. Zbl  0953.11002.
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-40026-6.CS1 maint: ref = harv (связь) Имеет доказательство теоремы Манна и доказательство плотности Шнирельмана гипотезы Варинга.
• Артин, Эмиль; Щерк, П. (1943). «О суммах двух целых чисел». Анна. математики. 44: 138–142. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
• Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 100–105. ISBN  978-0-521-61275-3.
• Ружа, Имре З. (2009). «Суммы и структура». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп. Продвинутые курсы математики CRM Барселона. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, Y. O .; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Натансон, М .; Солимози, Дж.; Станческу Ю. С предисловием Хавьера Чиллеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр.87 –210. ISBN  978-3-7643-8961-1. Zbl  1221.11026.CS1 maint: ref = harv (связь)