Теорема Давенпорта – Эрдеша - Davenport–Erdős theorem

В теория чисел, то Теорема Давенпорта – Эрдеша утверждает, что для наборов кратных целых чисел несколько различных понятий плотность эквивалентны.^[1][2][3]

Позволять ${ displaystyle A = a_ {1}, a_ {2}, dots}$ последовательность натуральных чисел. Тогда кратные ${ displaystyle A}$ другой набор ${ Displaystyle М (А)}$ который можно определить как множество ${ Displaystyle М (А) = {ка середина к ин mathbb {N}, а ин А }}$ чисел, образованных умножением членов ${ displaystyle A}$ произвольными натуральными числами.^[1][2][3]

Согласно теореме Дэвенпорта – Эрдеша для множества ${ Displaystyle М (А)}$, следующие понятия плотности эквивалентны в том смысле, что все они производят одно и то же число для плотности ${ Displaystyle М (А)}$:^[1][2][3]

• Нижний естественная плотность, то нижний предел в качестве ${ displaystyle n}$ стремится к бесконечности пропорции членов ${ Displaystyle М (А)}$ в интервале ${ Displaystyle [1, п]}$.
• В логарифмическая плотность или мультипликативная плотность, взвешенная доля членов ${ Displaystyle М (А)}$ в интервале ${ Displaystyle [1, п]}$, опять же в пределе, где вес элемента ${ displaystyle a}$ является ${ displaystyle 1 / a}$.
• Последовательная плотность, определяемая как предел (как ${ displaystyle i}$ стремится к бесконечности) плотностей множеств ${ Displaystyle М ( {а_ {1}, точки а_ {я} })}$ кратных первому ${ displaystyle i}$ элементы ${ displaystyle A}$. Поскольку эти множества можно разложить на конечное число непересекающихся арифметические прогрессии, их плотности четко определены без ограничений.

Однако существуют последовательности ${ displaystyle A}$ и их наборы кратных ${ Displaystyle М (А)}$ для которого верхняя естественная плотность (взятая с использованием верхний предел вместо нижнего предела) отличается от нижнего предела, и для которого сама естественная плотность (предел той же последовательности значений) не существует.^[4]

Теорема названа в честь Гарольд Давенпорт и Пол Эрдёш, опубликовавший его в 1936 году.^[5] В их первоначальном доказательстве использовалось Тауберова теорема Харди – Литтлвуда; позже они опубликовали другое, элементарное доказательство.^[6]

Смотрите также

• Последовательность Беренда, последовательность ${ displaystyle A}$ для которой плотность ${ Displaystyle М (А)}$ описывается этой теоремой, является одним

Рекомендации