Тауберова теорема Харди – Литтлвуда - Hardy–Littlewood tauberian theorem

В математический анализ, то Тауберова теорема Харди – Литтлвуда это тауберова теорема относящийся к асимптотика частичных сумм серии с асимптотикой своего Суммирование Абеля. В таком виде теорема утверждает, что если, как у ↓ 0, неотрицательная последовательность а_п такова, что есть асимптотическая эквивалентность

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}}}$

то существует также асимптотическая эквивалентность

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n}$

в качестве п → ∞. В интеграл формулировка теоремы аналогичным образом связывает асимптотику кумулятивная функция распределения функции с асимптотикой ее преобразования Лапласа.

Теорема была доказана в 1914 г. Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд.^[1]:226 В 1930 г. Йован Карамата дал новое и гораздо более простое доказательство.^[1]:226

Формулировка теоремы

Составление серии

Эта формулировка из Титчмарша.^[1]:226 Предполагать а_п ≥ 0 для всех п, и, как Икс ↑ 1 имеем

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} x ^ {n} sim {frac {1} {1-x}}.}$

Тогда как п переходит в ∞, мы имеем

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n.}$

Теорема иногда цитируется в эквивалентных формах, где вместо требования а_п ≥ 0, потребуем а_п = O (1), либо требуется а_п ≥ −K для некоторой постоянной K.^[2]:155 Иногда теорему цитируют в другой эквивалентной формулировке (заменой переменной Икс = 1/е^у ).^[2]:155 Если, как у ↓ 0,

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}}}$

тогда

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} sim n.}$

Интегральная формулировка

Следующая более общая формулировка принадлежит Феллеру.^[3]:445 Рассмотрим функцию с действительным знаком F : [0,∞) → р из ограниченная вариация.^[4] В Преобразование Лапласа – Стилтьеса из F определяется Интеграл Стилтьеса

${displaystyle omega (s) = int _ {0} ^ {infty} e ^ {- st}, dF (t).}$

Теорема связывает асимптотику ω с асимптотиками F следующим образом. Если ρ - неотрицательное действительное число, то следующие утверждения эквивалентны

• ${displaystyle omega (s) sim Cs ^ {- ho}, quad {m {{as} s o 0}}}$
• ${displaystyle F (t) sim {frac {C} {Gamma (ho +1)}} t ^ {ho}, quad {m {{as} to infty.}}}$

Здесь Γ обозначает Гамма-функция. Теорема для рядов получается как частный случай, если р = 1 и F(т) как кусочно-постоянная функция со значением ${displaystyle extstyle {сумма _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}}$ между т=п и т=п+1.

Возможно небольшое улучшение. Согласно определению медленно меняющаяся функция, L(Икс) медленно меняется на бесконечности тогда и только тогда, когда

${displaystyle {frac {L (tx)} {L (x)}} o 1, quad x o infty}$

за каждый положительный т. Позволять L - функция, медленно меняющаяся на бесконечности, а ρ - неотрицательное действительное число. Тогда следующие утверждения эквивалентны

• ${displaystyle omega (s) sim s ^ {- ho} L (s ^ {- 1}), quad {m {{as} s o 0}}}$
• ${displaystyle F (t) sim {frac {1} {Gamma (ho +1)}} t ^ {ho} L (t), quad {m {{as} to infty.}}}$

Доказательство Караматы

Карамата (1930) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKaramata1930 (помощь) нашел краткое доказательство теоремы, рассматривая функции грамм такой, что

${displaystyle lim _ {xightarrow 1} (1-x) сумма a_ {n} x ^ {n} g (x ^ {n}) = int _ {0} ^ {1} g (t) dt}$

Несложный расчет показывает, что все мономы грамм(Икс)=Икс^k обладают этим свойством, и, следовательно, все многочлены грамм. Это может быть расширено до функции грамм с простыми (ступенчатыми) разрывами путём аппроксимации полиномами сверху и снизу (с помощью Аппроксимационная теорема Вейерштрасса и немного лишней подделки) и используя тот факт, что коэффициенты а_п положительные. В частности, функция, заданная грамм(т)=1/т если 1 /е<т<1 и 0 в противном случае обладает этим свойством. Но тогда для Икс=е^−1/N сумма Σа_пИкс^пграмм(Икс^п) является а₀+...+а_N, а интеграл грамм равен 1, откуда немедленно следует теорема Харди – Литтлвуда.

Примеры

Неположительные коэффициенты

Теорема может быть неверной без условия неотрицательности коэффициентов. Например, функция

${displaystyle {frac {1} {(1 + x) ^ {2} (1-x)}} = 1-x + 2x ^ {2} -2x ^ {3} + 3x ^ {4} -3x ^ { 5} + cdots}$

асимптотична 1/4 (1–Икс) в качестве Икс стремится к 1, но частичные суммы его коэффициентов равны 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4 ... и не являются асимптотическими ни для одной линейной функции.

Расширение Литтлвуда теоремы Таубера

В 1911 г. Littlewood доказал продолжение Таубер обратное Теорема Абеля. Литтлвуд показал следующее: если а_п = O (1 /п), и, как Икс ↑ 1 имеем

${displaystyle sum a_ {n} x ^ {n} o s,}$

тогда

${displaystyle sum a_ {n} = s.}$

Исторически это появилось до тауберова теоремы Харди – Литтлвуда, но может быть доказано простым ее применением.^{[1]:233–235}

Теорема о простых числах

В 1915 году Харди и Литтлвуд разработали доказательство того, что теорема о простых числах на основе их тауберова теоремы; они доказали

${displaystyle sum _ {n = 2} ^ {infty} Lambda (n) e ^ {- ny} sim {frac {1} {y}},}$

где Λ - функция фон Мангольдта, а затем заключить

${displaystyle sum _ {nleq x} Lambda (n) sim x,}$

эквивалентная форма теоремы о простых числах.^{[5]:34–35[6]:302–307}Литтлвуд разработал более простое доказательство, все еще основанное на этой тауберовской теореме, в 1971 году.^{[6]:307–309}

Примечания

внешняя ссылка

• «Тауберовы теоремы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Тауберова теорема Харди-Литтлвуда". MathWorld.