Коэффициент Ферма - Fermat quotient

В теория чисел, то Коэффициент Ферма из целое число а в отношении странный основной п определяется как:^[1][2][3][4]

${displaystyle q_ {p} (a) = {frac {a ^ {p-1} -1} {p}}.}$

или же

${displaystyle delta _ {p} (a) = {frac {a-a ^ {p}} {p}}}$.

Эта статья о первом. Для последнего см. п-деривация. Частное названо в честь Пьер де Ферма.

Если база а является совмещать к показателю п тогда Маленькая теорема Ферма Говорит, что q_п(а) будет целым числом. Если база а также генератор из мультипликативная группа целых чисел по модулю п, тогда q_п(а) будет циклическое число, и п будет полный репенд прайм.

Характеристики

Из определения очевидно, что

${displaystyle {egin {выравнивается} q_ {p} (1) & Equiv 0 && {pmod {p}} q_ {p} (- a) & Equiv q_ {p} (a) && {pmod {p}} quad ({ext {Since}} 2mid p-1) конец {выровнен}}}$

В 1850 г. Готтхольд Эйзенштейн доказал, что если а и б оба взаимно просты с п, тогда:^[5]

${Displaystyle {egin {выровнено} q_ {p} (ab) & Equiv q_ {p} (a) + q_ {p} (b) && {pmod {p}} q_ {p} (a ^ {r}) & Equiv rq_ {p} (a) && {pmod {p}} q_ {p} (pmp a) & Equiv q_ {p} (a) pm {frac {1} {a}} && {pmod {p}} q_ {p} (pmp 1) и эквивалент pm 1 && {pmod {p}} конец {выровнено}}}$

Эйзенштейн сравнил первые два из этих сравнений со свойствами логарифмы. Эти свойства подразумевают

${displaystyle {egin {выравнивается} q_ {p} left ({frac {1} {a}} ight) & Equiv -q_ {p} (a) && {pmod {p}} q_ {p} left ({frac { a} {b}} ight) & Equiv q_ {p} (a) -q_ {p} (b) && {pmod {p}} end {выровнено}}}$

В 1895 г. Дмитрий Мириманов указал, что повторение правил Эйзенштейна дает следствие:^[6]

${displaystyle q_ {p} (a + np) Equiv q_ {p} (a) -ncdot {frac {1} {a}} {pmod {p}}.}$

Из этого следует, что:^[7]

${displaystyle q_ {p} left (a + np ^ {2} ight) эквивалент q_ {p} (a) {pmod {p}}.}$

Формула Лерха

М. Лерх доказал в 1905 г., что^[8][9][10]

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {p-1} q_ {p} (j) Equiv W_ {p} {pmod {p}}.}$

Здесь ${displaystyle W_ {p}}$ это Фактор Вильсона.

Особые ценности

Эйзенштейн обнаружил, что частное Ферма с основанием 2 может быть выражено через сумму обратных величин по модулю п чисел, лежащих в первой половине диапазона {1, ..., п − 1}:

${displaystyle -2q_ {p} (2) Equiv sum _ {k = 1} ^ {frac {p-1} {2}} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$

Более поздние авторы показали, что количество терминов, необходимых для такого представления, может быть уменьшено с 1/2 до 1/4, 1/5 или даже 1/6:

${displaystyle -3q_ {p} (2) Equiv sum _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {4}} floor} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[11]

${displaystyle 4q_ {p} (2) Equiv sum _ {k = lfloor {frac {p} {10}} floor +1} ^ {lfloor {frac {2p} {10}} floor} {frac {1} {k }} + sum _ {k = lfloor {frac {3p} {10}} floor +1} ^ {lfloor {frac {4p} {10}} floor} {frac {1} {k}} {pmod {p} }.}$^[12]

${displaystyle 2q_ {p} (2) Equiv sum _ {k = lfloor {frac {p} {6}} floor +1} ^ {lfloor {frac {p} {3}} floor} {frac {1} {k }} {pmod {p}}.}$^[13][14]

Ряд Эйзенштейна также имеет все более сложную связь с факторами Ферма с другими основаниями, первые несколько примеров:

${displaystyle -3q_ {p} (3) Equiv 2sum _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {3}} floor} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[15]

${displaystyle -5q_ {p} (5) Equiv 4sum _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {5}} floor} {frac {1} {k}} + 2sum _ {k = lfloor {frac {p} {5}} floor +1} ^ {lfloor {frac {2p} {5}} floor} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[16]

Обобщенные простые числа Вифериха

Если q_п(а) ≡ 0 (мод. п) тогда а^п-1 ≡ 1 (мод п²). Простые числа, для которых это верно а = 2 называются Простые числа Вифериха. Вообще их называют Простые числа Вифериха с основанием a. Известные решения q_п(а) ≡ 0 (мод. п) для малых значений а находятся:^[2]

а	п (проверено до 5 × 1013)	OEIS последовательность
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все простые числа)	A000040
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
6	66161, 534851, 3152573	A212583
7	5, 491531	A123693
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	A045616
11	71
12	2693, 123653	A111027
13	2, 863, 1747591	A128667
14	29, 353, 7596952219	A234810
15	29131, 119327070011	A242741
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	A244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073	A242982
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	A298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Для получения дополнительной информации см. ^[17][18][19] и.^[20]

Самые маленькие решения q_п(а) ≡ 0 (мод. п) с а = п находятся:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (последовательность A039951 в OEIS )

Пара (п, р) простых чисел такие, что q_п(р) ≡ 0 (мод. п) и q_р(п) ≡ 0 (мод. р) называется Пара Вифериха.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Готфрид Хелмс. Факторы Ферма / Эйлера (а^п-1 – 1)/п^k с произвольным k.
• Ричард Фишер. Факторы Ферма B ^ (P-1) == 1 (mod P ^ 2).