Теорема Вольстенхолмса - Википедия - Wolstenholmes theorem

В математика, Теорема Вольстенхольма заявляет, что для простое число , сравнение

где круглые скобки обозначают a биномиальный коэффициент. Например, с п = 7, это означает, что 1716 на единицу больше, чем число, кратное 343. Теорема была впервые доказана Джозеф Вольстенхолм в 1862 г. В 1819 г. Чарльз Бэббидж показал такое же сравнение по модулю п2, что справедливо для . Эквивалентная формулировка - сравнение

за , что связано с Вильгельм Юнггрен[1] (и в частном случае , к Дж. У. Л. Глейшер[нужна цитата ]) и вдохновлен Теорема Лукаса.

Не известно составные числа удовлетворяют теореме Вольстенхольма, и предполагается, что их нет (см. ниже). Простое число, удовлетворяющее сравнению по модулю п4 называется Wolstenholme Prime (Смотри ниже).

Как установил сам Вольстенхольм, его теорема также может быть выражена в виде пары сравнений для (обобщенных) гармонические числа:

(Сравнение с дробями имеет смысл при условии, что знаменатели взаимно просты с модулем.) Например, с п= 7, первое из них говорит, что числитель 49/20 кратен 49, а второй говорит, что числитель 5369/3600 кратен 7.

Простые числа Вольстенхолма

Премьер п называется простым числом Вольстенхольма если только выполняется следующее условие:

Если п это Wolstenholme Prime, то теорема Глейшера верна по модулю п4. На данный момент единственными известными простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ); любое другое простое число Вольстенхолма должно быть больше 109.[2] Этот результат согласуется с эвристический аргумент что остаток по модулю п4 это псевдослучайный несколько из п3. Эта эвристика предсказывает, что количество простых чисел Вольстенхольма между K и N примерно ln ln N - ln ln K. Состояние Вольстенхольма проверялось до 109, а эвристика говорит, что должно быть примерно одно простое число Вольстенхолма между 109 и 1024. Аналогичная эвристика предсказывает, что не существует «двойных простых чисел Вольстенхольма», для которых сравнение было бы выполнено по модулю п5.

Доказательство теоремы

Есть несколько способов доказать теорему Вольстенхолма. Вот доказательство, которое напрямую устанавливает версию Глейшера с использованием комбинаторики и алгебры.

А пока пусть п быть любым простым, и пусть а и б быть любыми неотрицательными целыми числами. Тогда набор А с ap элементы можно разделить на а кольца длины п, а кольца можно вращать отдельно. Таким образом а-кратная прямая сумма циклической группы порядка п действует на съемочной площадке А, и, как следствие, действует на множество подмножеств размера бп. Каждая орбита этого группового действия имеет пk элементы, где k - количество неполных колец, т. е. если есть k кольца, которые только частично пересекают подмножество B на орбите. Есть орбиты размера 1 и нет орбит размера п. Таким образом, мы сначала получаем теорему Бэббиджа

Изучение размеров орбит п2, мы также получаем

Помимо прочего, это уравнение говорит нам, что случай а = 2 и b = 1 влечет общий случай второй формы теоремы Вольстенхольма.

Переходя от комбинаторики к алгебре, обе части этого сравнения являются полиномами от а для каждого фиксированного значения б. Следовательно, сравнение выполняется, когда а - любое целое число, положительное или отрицательное, при условии, что б - фиксированное положительное целое число. В частности, если а = -1 и b = 1, сравнение становится

Это сравнение становится уравнением для используя соотношение

Когда п нечетно, соотношение

Когда п≠ 3, мы можем разделить обе части на 3, чтобы завершить рассуждение.

Аналогичный вывод по модулю п4 устанавливает, что

для всех положительных а и б тогда и только тогда, когда а = 2 и b = 1, т.е. тогда и только тогда, когда п является простым числом Вольстенхолма.

Обратное как гипотеза

Предполагается, что если

 

 

 

 

(1)

когда k = 3, тогда п простое. Гипотезу можно понять, рассмотрев k = 1 и 2, а также 3. Когда k = 1, из теоремы Бэббиджа следует, что она верна для п = п2 за п нечетное простое число, а из теоремы Вольстенхольма следует, что она верна для п = п3 за п > 3, и это верно для п = п4 если п является простым числом Вольстенхолма. Когда k = 2, это верно для п = п2 если п является простым числом Вольстенхолма. Эти три числа, 4 = 22, 8 = 23, и 27 = 33 не удерживаются (1) с k = 1, но все остальные простые квадраты и простые кубы сохраняются для (1) с k = 1. Только 5 других составных значений (ни простой квадрат, ни простой куб) п известны для (1) с k = 1, они называются Псевдопремы Вольстенхольма, они есть

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (последовательность A082180 в OEIS )

Первые три не являются степенями простых чисел (последовательность A228562 в OEIS ), последние два - 168434 и 21246794, 16843 и 2124679 являются Простые числа Вольстенхолма (последовательность A088164 в OEIS ). Кроме того, за исключением 168432 и 21246792, композиты, пригодные для (1) с k = 2, намного меньше k = 3. Таким образом, гипотеза считается вероятной, поскольку сравнение Вольстенхольма кажется чрезмерно ограниченным и искусственным для составных чисел. Более того, если сравнение действительно для любого конкретного п кроме основной или основной власти, и любой конкретной k, это не означает, что

Обобщения

Лейдесдорф доказал, что для целого положительного числа п взаимно просто с 6, имеет место следующее сравнение:[3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Грэнвилл, Эндрю (1997), «Биномиальные коэффициенты по модулю простых степеней» (PDF), Материалы конференции Канадского математического общества, 20: 253–275, МИСТЕР  1483922, заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-02-02
  2. ^ McIntosh, R.J .; Рёттгер, Э. Л. (2007), "Поиск простых чисел Фибоначчи-Вифериха и Вольстенхольма", Математика вычислений, 76 (260): 2087–2094, CiteSeerX  10.1.1.105.9393, Дои:10.1090 / S0025-5718-07-01955-2
  3. ^ Лейдесдорф, К. (1888). «Некоторые результаты в элементарной теории чисел». Proc. Лондонская математика. Soc. 20: 199–212. Дои:10.1112 / плмс / с1-20.1.199.

Рекомендации

внешняя ссылка