Теорема Вольстенхолмса - Википедия - Wolstenholmes theorem

В математика, Теорема Вольстенхольма заявляет, что для простое число ${ displaystyle p geq 5}$, сравнение

${ displaystyle {2p-1 choose p-1} Equiv 1 { pmod {p ^ {3}}}}$

где круглые скобки обозначают a биномиальный коэффициент. Например, с п = 7, это означает, что 1716 на единицу больше, чем число, кратное 343. Теорема была впервые доказана Джозеф Вольстенхолм в 1862 г. В 1819 г. Чарльз Бэббидж показал такое же сравнение по модулю п², что справедливо для ${ displaystyle p geq 3}$. Эквивалентная формулировка - сравнение

${ displaystyle {ap choose bp} Equiv {a choose b} { pmod {p ^ {3}}}}$

за ${ displaystyle p geq 5}$, что связано с Вильгельм Юнггрен^[1] (и в частном случае ${ displaystyle b = 1}$, к Дж. У. Л. Глейшер^{[нужна цитата ]}) и вдохновлен Теорема Лукаса.

Не известно составные числа удовлетворяют теореме Вольстенхольма, и предполагается, что их нет (см. ниже). Простое число, удовлетворяющее сравнению по модулю п⁴ называется Wolstenholme Prime (Смотри ниже).

Как установил сам Вольстенхольм, его теорема также может быть выражена в виде пары сравнений для (обобщенных) гармонические числа:

${ displaystyle 1+ {1 over 2} + {1 over 3} + ... + {1 over p-1} Equiv 0 { pmod {p ^ {2}}} { mbox {, и}}}$

${ displaystyle 1+ {1 over 2 ^ {2}} + {1 over 3 ^ {2}} + ... + {1 over (p-1) ^ {2}} Equiv 0 { pmod {p}}.}$

(Сравнение с дробями имеет смысл при условии, что знаменатели взаимно просты с модулем.) Например, с п= 7, первое из них говорит, что числитель 49/20 кратен 49, а второй говорит, что числитель 5369/3600 кратен 7.

Простые числа Вольстенхолма

Премьер п называется простым числом Вольстенхольма если только выполняется следующее условие:

${ displaystyle {{2p-1} choose {p-1}} Equiv 1 { pmod {p ^ {4}}}.}$

Если п это Wolstenholme Prime, то теорема Глейшера верна по модулю п⁴. На данный момент единственными известными простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS ); любое другое простое число Вольстенхолма должно быть больше 10⁹.^[2] Этот результат согласуется с эвристический аргумент что остаток по модулю п⁴ это псевдослучайный несколько из п³. Эта эвристика предсказывает, что количество простых чисел Вольстенхольма между K и N примерно ln ln N - ln ln K. Состояние Вольстенхольма проверялось до 10⁹, а эвристика говорит, что должно быть примерно одно простое число Вольстенхолма между 10⁹ и 10²⁴. Аналогичная эвристика предсказывает, что не существует «двойных простых чисел Вольстенхольма», для которых сравнение было бы выполнено по модулю п⁵.

Доказательство теоремы

Есть несколько способов доказать теорему Вольстенхолма. Вот доказательство, которое напрямую устанавливает версию Глейшера с использованием комбинаторики и алгебры.

А пока пусть п быть любым простым, и пусть а и б быть любыми неотрицательными целыми числами. Тогда набор А с ap элементы можно разделить на а кольца длины п, а кольца можно вращать отдельно. Таким образом а-кратная прямая сумма циклической группы порядка п действует на съемочной площадке А, и, как следствие, действует на множество подмножеств размера бп. Каждая орбита этого группового действия имеет п^k элементы, где k - количество неполных колец, т. е. если есть k кольца, которые только частично пересекают подмножество B на орбите. Есть ${ displaystyle textstyle {a choose b}}$ орбиты размера 1 и нет орбит размера п. Таким образом, мы сначала получаем теорему Бэббиджа

${ displaystyle {ap choose bp} Equiv {a choose b} { pmod {p ^ {2}}}.}$

Изучение размеров орбит п², мы также получаем

${ displaystyle {ap choose bp} Equiv {a choose b} + {a choose 2} left ({2p choose p} -2 right) {a-2 choose b-1} { pmod {p ^ {3}}}.}$

Помимо прочего, это уравнение говорит нам, что случай а = 2 и b = 1 влечет общий случай второй формы теоремы Вольстенхольма.

Переходя от комбинаторики к алгебре, обе части этого сравнения являются полиномами от а для каждого фиксированного значения б. Следовательно, сравнение выполняется, когда а - любое целое число, положительное или отрицательное, при условии, что б - фиксированное положительное целое число. В частности, если а = -1 и b = 1, сравнение становится

${ displaystyle {-p choose p} Equiv {-1 choose 1} + {- 1 choose 2} left ({2p choose p} -2 right) { pmod {p ^ {3} }}.}$

Это сравнение становится уравнением для ${ displaystyle textstyle {2p choose p}}$ используя соотношение

${ displaystyle {-p choose p} = { frac {(-1) ^ {p}} {2}} {2p choose p}.}$

Когда п нечетно, соотношение

${ displaystyle 3 {2p choose p} Equiv 6 { pmod {p ^ {3}}}.}$

Когда п≠ 3, мы можем разделить обе части на 3, чтобы завершить рассуждение.

Аналогичный вывод по модулю п⁴ устанавливает, что

${ displaystyle {ap choose bp} Equiv {a choose b} { pmod {p ^ {4}}}}$

для всех положительных а и б тогда и только тогда, когда а = 2 и b = 1, т.е. тогда и только тогда, когда п является простым числом Вольстенхолма.

Обратное как гипотеза

Предполагается, что если

${ Displaystyle {2n-1 выберите п-1} экв 1 { pmod {п ^ {k}}}}$

(1)

когда k = 3, тогда п простое. Гипотезу можно понять, рассмотрев k = 1 и 2, а также 3. Когда k = 1, из теоремы Бэббиджа следует, что она верна для п = п² за п нечетное простое число, а из теоремы Вольстенхольма следует, что она верна для п = п³ за п > 3, и это верно для п = п⁴ если п является простым числом Вольстенхолма. Когда k = 2, это верно для п = п² если п является простым числом Вольстенхолма. Эти три числа, 4 = 2², 8 = 2³, и 27 = 3³ не удерживаются (1) с k = 1, но все остальные простые квадраты и простые кубы сохраняются для (1) с k = 1. Только 5 других составных значений (ни простой квадрат, ни простой куб) п известны для (1) с k = 1, они называются Псевдопремы Вольстенхольма, они есть

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (последовательность A082180 в OEIS )

Первые три не являются степенями простых чисел (последовательность A228562 в OEIS ), последние два - 16843⁴ и 2124679⁴, 16843 и 2124679 являются Простые числа Вольстенхолма (последовательность A088164 в OEIS ). Кроме того, за исключением 16843² и 2124679², композиты, пригодные для (1) с k = 2, намного меньше k = 3. Таким образом, гипотеза считается вероятной, поскольку сравнение Вольстенхольма кажется чрезмерно ограниченным и искусственным для составных чисел. Более того, если сравнение действительно для любого конкретного п кроме основной или основной власти, и любой конкретной k, это не означает, что

${ displaystyle {an choose bn} Equiv {a choose b} { pmod {n ^ {k}}}.}$

Обобщения

Лейдесдорф доказал, что для целого положительного числа п взаимно просто с 6, имеет место следующее сравнение:^[3]

${ Displaystyle сумма _ {я = 1 на вершине (я, п) = 1} ^ {п-1} { гидроразрыва {1} {я}} эквив 0 { pmod {п ^ {2}}} .}$

Смотрите также

• Маленькая теорема Ферма
• Теорема Вильсона
• Виферих прайм
• Уилсон прайм
• Стена-Солнце-Солнце премьер
• Список специальных классов простых чисел
• Таблица сравнений

Примечания

Рекомендации

• Бэббидж, К. (1819 г.), «Демонстрация теоремы о простых числах», Эдинбургский философский журнал, 1: 46–49.
• Glaisher, J.W.L. (1900), «Сравнения, относящиеся к суммам произведений первых n чисел и другим суммам произведений», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 31: 1–35.
• Glaisher, J.W.L. (1900), "Остатки коэффициентов биномиальной теоремы относительно p³", Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 31: 110–124.
• Glaisher, J.W.L. (1900), «О вычетах сумм произведений первых p − 1 чисел и их степеней до модуля p² или p³", Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 31: 321–353.
• Грэнвилл, Эндрю (1997), «Биномиальные коэффициенты по модулю простых степеней» (PDF), Материалы конференции Канадского математического общества, 20: 253–275, МИСТЕР  1483922, заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-02-02.
• Макинтош, Р. Дж. (1995), «Об обратном теореме Вольстенхольма» (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, Дои:10.4064 / aa-71-4-381-389.
• Р. Мештрович, Теорема Вольстенхольма: ее обобщения и расширения за последние сто пятьдесят лет (1862–2012 гг.).
• Вольстенхолм, Джозеф (1862), «О некоторых свойствах простых чисел», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 5: 35–39.

внешняя ссылка

• Глоссарий Prime: Wolstenholme Prime
• Статус поиска простых чисел Вольстенхолма