Дигамма функция - Digamma function

Функция дигаммы ${ displaystyle psi (z)}$,
визуализируется в прерывистом раскраска домена

Графики вещественной части дигаммы и следующих трех функций полигаммы вдоль реальной линии

В математика, то функция дигаммы определяется как логарифмическая производная из гамма-функция:^[1][2]

${ displaystyle psi (x) = { frac {d} {dx}} ln { big (} Gamma (x) { big)} = { frac { Gamma '(x)} { Гамма (x)}}.}$

Это первый из полигамма-функции.

Функция дигаммы часто обозначается как ${ Displaystyle psi _ {0} (х), psi ^ {(0)} (х)}$ или Ϝ^{[нужна цитата ]} (заглавная форма архаического греческого согласный звук дигамма смысл двойная гамма ).

Отношение к номерам гармоник

Гамма-функция подчиняется уравнению

${ Displaystyle Гамма (г + 1) = г Гамма (г). ,}$

Взяв производную по z дает:

${ Displaystyle Gamma '(z + 1) = z Gamma' (z) + Gamma (z) ,}$

Деление на Γ (z + 1) или эквивалент zΓ (z) дает:

${ Displaystyle { frac { Gamma '(z + 1)} { Gamma (z + 1)}} = { frac { Gamma' (z)} { Gamma (z)}} + { frac {1} {z}}}$

или:

${ Displaystyle psi (z + 1) = psi (z) + { frac {1} {z}}}$

Поскольку гармонические числа определены для положительных целых чисел п так как

${ displaystyle H_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}},}$

функция дигаммы связана с ними

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gamma,}$

где ЧАС₀ = 0, и γ это Константа Эйлера – Маскерони. Для полуцелых аргументов функция дигаммы принимает значения

${ displaystyle psi left (n + { tfrac {1} {2}} right) = - gamma -2 ln 2+ sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {2} {2k-1}}.}$

Интегральные представления

Если настоящая часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интеграл представление по Гауссу:^[3]

${ displaystyle psi (z) = int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {e ^ {- t}} {t}} - { frac {e ^ {- zt}}) {1-e ^ {- t}}} right) , dt.}$

Комбинируя это выражение с интегральным тождеством для Константа Эйлера – Маскерони ${ displaystyle gamma}$ дает:

${ displaystyle psi (z + 1) = - gamma + int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1-t ^ {z}} {1-t}} right) , dt.}$

Интеграл Эйлера номер гармоники ${ displaystyle H_ {z}}$, поэтому предыдущая формула также может быть записана

${ displaystyle psi (z + 1) = psi (1) + H_ {z}.}$

Следствием этого является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

${ displaystyle psi (w + 1) - psi (z + 1) = H_ {w} -H_ {z}.}$

Интегральное представление Дирихле:^[3]

${ displaystyle psi (z) = int _ {0} ^ { infty} left (e ^ {- t} - { frac {1} {(1 + t) ^ {z}}} right ) , { frac {dt} {t}}.}$

Интегральным представлением Гаусса можно манипулировать, чтобы получить начало асимптотического разложения ${ displaystyle psi}$.^[4]

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {t}} + { frac {1} {e ^ {t} -1}} right) e ^ {- tz} , dt.}$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл можно признать Преобразование Лапласа.

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу для ${ displaystyle psi}$ что также дает первые несколько членов асимптотического разложения:^[5]

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - 2 int _ {0} ^ { infty} { frac {t , dt} {(t ^ { 2} + z ^ {2}) (e ^ {2 pi t} -1)}}.}$

Из определения ${ displaystyle psi}$ и интегральное представление гамма-функции, получаем

${ Displaystyle psi (z) = { frac {1} { Gamma (z)}} int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} ln (t) e ^ {- t} , dt,}$

с ${ Displaystyle Re Z> 0}$.^[6]

Бесконечное представление продукта

Функция ${ Displaystyle psi (z) / Gamma (z)}$ целая функция,^[7] и его можно представить бесконечным произведением

${ displaystyle { frac { psi (z)} { Gamma (z)}} = - e ^ {2 gamma z} prod _ {k = 0} ^ { infty} left (1- { frac {z} {x_ {k}}} right) e ^ { frac {z} {x_ {k}}}.}.$

Здесь ${ displaystyle x_ {k}}$ это kй ноль ${ displaystyle psi}$ (см. ниже), и ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Примечание: это также равно ${ displaystyle - { frac {d} {dz}} { frac {1} { Gamma (z)}}}$ из-за определения функции дигаммы: ${ Displaystyle { гидроразрыва { Gamma '(z)} { Gamma (z)}} = psi (z)}$.

Формула ряда

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством для константы Эйлера – Маскерони дает следующее выражение для дигамма-функции, действительное в комплексной плоскости за пределами отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стегун 6.3.16):^[1]

${ displaystyle { begin {align} psi (z + 1) & = - gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {n + z}} right), qquad z neq -1, -2, -3, ldots, & = - gamma + sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {z} {n (n + z)}} right), qquad z neq -1, -2, -3, ldots. end {выравнивается}}}$

Эквивалентно,

${ displaystyle { begin {align} psi (z) & = - gamma + sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {n + 1}} - { frac {1} {n + z}} right), qquad z neq 0, -1, -2, ldots, & = - gamma + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z-1} {(n + 1) (n + z)}}, qquad z neq 0, -1, -2, ldots, конец {выровнено}}}$

Оценка сумм рациональных функций

Вышеупомянутый идентификатор может использоваться для оценки сумм в форме

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {p (n)} {q (n)}} ,}$

где п(п) и q(п) являются полиномами от п.

Выполнение частичная дробь на ты_п в комплексном поле, если все корни q(п) простые корни,

${ displaystyle u_ {n} = { frac {p (n)} {q (n)}} = sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}}.}$

Чтобы ряды сходились,

${ displaystyle lim _ {n to infty} nu_ {n} = 0,}$

в противном случае серия будет больше, чем гармонический ряд и таким образом расходятся. Следовательно

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} = 0,}$

и

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} left ({ frac {1} {n + b_ {k}}} - { frac {1} {n + 1}} right) & = sum _ {k = 1} ^ {m} left (a_ {k} sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {1} {n + b_ {k}}} - { frac {1} { n + 1}} right) right) & = - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} { big (} psi (b_ {k}) + gamma { big)} & = - sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} psi (b_ {k}). end {align}}}$

С расширением серии более высокого ранга полигамма функция обобщенная формула может быть записана как

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} u_ {n} = sum _ {n = 0} ^ { infty} sum _ {k = 1} ^ {m} { frac { a_ {k}} {(n + b_ {k}) ^ {r_ {k}}}} = sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {(-1) ^ {r_ {k} }} {(r_ {k} -1)!}} a_ {k} psi ^ {r_ {k} -1} (b_ {k}),}$

при условии, что ряд слева сходится.

Серия Тейлор

Дигамма имеет рациональная дзета-серия, предоставленный Серия Тейлор в z = 1. Это

${ displaystyle psi (z + 1) = - gamma - sum _ {k = 1} ^ { infty} zeta (k + 1) (- z) ^ {k},}$

который сходится для |z| < 1. Вот, ζ(п) это Дзета-функция Римана. Этот ряд легко получается из соответствующего ряда Тейлора для Дзета-функция Гурвица.

Серия Ньютон

В Серия Ньютон для дигаммы, иногда называемой Суровая серия,^[8][9] читает

${ Displaystyle psi (s + 1) = - gamma - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} { binom {s } {k}}}$

где (^s
_k) это биномиальный коэффициент. Его также можно обобщить на

${ displaystyle psi (s + 1) = - gamma - { frac {1} {m}} sum _ {k = 1} ^ {m-1} { frac {mk} {s + k} } - { frac {1} {m}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} left {{ binom { s + m} {k + 1}} - { binom {s} {k + 1}} right }, qquad Re (s)> - 1,}$

где м = 2,3,4,...^[9]

Ряды с коэффициентами Грегори, числами Коши и многочленами Бернулли второго рода

Для дигаммы существуют различные серии, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, сериал с Коэффициенты Грегори г_п является

${ displaystyle psi (v) = ln v- sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |} (n-1)! } {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> 0,}$

${ Displaystyle psi (v) = 2 ln Gamma (v) -2v ln v + 2v + 2 ln v- ln 2 pi -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} (2) { big |}} {(v) _ {n}}} , (n-1)!, qquad Re (v)> 0 ,}$

${ Displaystyle psi (v) = 3 ln Gamma (v) -6 zeta '(-1, v) + 3v ^ {2} ln {v} - { frac {3} {2}} v ^ {2} -6v ln (v) + 3v + 3 ln {v} - { frac {3} {2}} ln 2 pi + { frac {1} {2}} - 3 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} (3) { big |}} {(v) _ {n}}} , (n- 1)!, Qquad Re (v)> 0,}$

где (v)_п это возрастающий факториал (v)_п = v(v+1)(v+2) ... (v+п-1), г_п(k) являются Коэффициенты Грегори высшего порядка с г_п(1) = г_п, Γ это гамма-функция и ζ это Дзета-функция Гурвица.^[10][9]Аналогичные ряды с числами Коши второго рода C_п читает^[10][9]

${ Displaystyle psi (v) = ln (v-1) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {C_ {n} (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> 1,}$

Серия с Многочлены Бернулли второго рода имеет следующий вид^[9]

${ displaystyle psi (v) = ln (v + a) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a ) , (n-1)!} {(v) _ {n}}}, qquad Re (v)> - a,}$

где ψ_п(а) являются Многочлены Бернулли второго рода определяется порождающим уравнением

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {п} (а) ,, qquad | z | <1 ,,}$

Его можно обобщить на

${ Displaystyle psi (v) = { frac {1} {r}} sum _ {l = 0} ^ {r-1} ln (v + a + l) + { frac {1} { r}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} N_ {n, r} (a) (n-1)!} {(v) _ { n}}}, qquad Re (v)> - a, quad r = 1,2,3, ldots}$

где многочлены N_{п, г}(а) задаются следующим порождающим уравнением

${ displaystyle { frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, qquad | z | <1,}$

так что N_{п, 1}(а) = ψ_п(а).^[9] Подобные выражения с логарифмом гамма-функции включают следующие формулы^[9]

${ Displaystyle psi (v) = { frac {1} {v + a - { tfrac {1} {2}}}} left { ln Gamma (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a,}$

и

${ Displaystyle psi (v) = { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} r + v + a-1}} left { ln Gamma (v + a) + v - { frac {1} {2}} ln 2 pi - { frac {1} {2}} + { frac {1} {r}} sum _ {n = 0} ^ {r- 2} (rn-1) ln (v + a + n) + { frac {1} {r}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n} N_ {n + 1, r} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! right }, qquad Re (v)> - a, quad r = 2,3,4, ldots}$

Формула отражения

Дигамма-функция удовлетворяет формула отражения аналогично тому из гамма-функция:

${ Displaystyle psi (1-x) - psi (x) = pi cot pi x}$

Формула повторяемости и характеристика

Дигамма-функция удовлетворяет отношение повторения

${ displaystyle psi (x + 1) = psi (x) + { frac {1} {x}}.}$

Таким образом, можно сказать, что «телескоп» 1 / Икс, для одного

${ displaystyle Delta [ psi] (x) = { frac {1} {x}}}$

где Δ это оператор прямой разницы. Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонический ряд, откуда следует формула

${ displaystyle psi (n) = H_ {n-1} - gamma}$

где γ это Константа Эйлера – Маскерони.

В более общем смысле

${ displaystyle psi (1 + z) = - gamma + sum _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {k}} - { frac {1} {z + k}} right).}$

за ${ displaystyle Re (z)> 0}$. Еще одно расширение серии:

${ displaystyle psi (1 + z) = ln (z) + { frac {1} {2z}} - displaystyle sum _ {j = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2j }} {2jz ^ {2j}}}}$,

где ${ displaystyle B_ {2j}}$ - числа Бернулли. Эта серия расходится для всех z и известен как Серия Стирлинга.

Фактически, ψ является единственным решением функционального уравнения

${ Displaystyle F (x + 1) = F (x) + { frac {1} {x}}}$

это монотонный на ℝ⁺ и удовлетворяет F(1) = −γ. Этот факт непосредственно следует из однозначности Γ функция с учетом ее рекуррентного уравнения и ограничения выпуклости. Отсюда следует уравнение полезной разности:

${ Displaystyle psi (x + N) - psi (x) = sum _ {k = 0} ^ {N-1} { frac {1} {x + k}}}$

Некоторые конечные суммы с участием дигамма-функции

Существует множество формул конечного суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m} psi left ({ frac {r} {m}} right) = - m ( gamma + ln m),}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot exp { dfrac {2 pi rki} {m}} = m ln left (1- exp { frac {2 pi ki} {m}} right), qquad k in mathbb {Z}, quad m in mathbb {N}, k neq m.}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot cos { dfrac {2 pi rk} {m }} = m ln left (2 sin { frac {k pi} {m}} right) + gamma, qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot sin { frac {2 pi rk} {m }} = { frac { pi} {2}} (2k-m), qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

связаны с Гауссом.^[11][12] Более сложные формулы, например

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} psi left ({ frac {2r + 1} {2m}} right) cdot cos { frac {(2r + 1) k pi} {m}} = m ln left ( tan { frac { pi k} {2m}} right), qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} psi left ({ frac {2r + 1} {2m}} right) cdot sin { dfrac {(2r + 1) k pi} {m}} = - { frac { pi m} {2}}, qquad k = 1,2, ldots, m-1}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot cot { frac { pi r} {m} } = - { frac { pi (m-1) (m-2)} {6}}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot { frac {r} {m}} = - { frac { gamma} {2}} (m-1) - { frac {m} {2}} ln m - { frac { pi} {2}} sum _ {r = 1} ^ {м-1} { frac {r} {m}} cdot cot { frac { pi r} {m}}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot cos { dfrac {(2 ell +1) pi r} {m}} = - { frac { pi} {m}} sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac {r cdot sin { dfrac {2 ) pi r} {m}}} { cos { dfrac {2 pi r} {m}} - cos { dfrac {(2 ell +1) pi} {m}}}}, qquad ell in mathbb {Z}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi left ({ frac {r} {m}} right) cdot sin { dfrac {(2 ell +1) pi r} {m}} = - ( gamma + ln 2m) cot { frac {(2 ell +1) pi} {2m}} + sin { dfrac {(2 ell + 1) pi} {m}} sum _ {r = 1} ^ {m-1} { frac { ln sin { dfrac { pi r} {m}}} { cos { dfrac {2 pi r} {m}} - cos { dfrac {(2 ell +1) pi} {m}}}}, qquad ell in mathbb {Z}}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} psi ^ {2} left ({ frac {r} {m}} right) = (m-1) gamma ^ {2 } + m (2 gamma + ln 4m) ln {m} -m (m-1) ln ^ {2} 2 + { frac { pi ^ {2} (m ^ {2} -3m +2)} {12}} + m sum _ { ell = 1} ^ {m-1} ln ^ {2} sin { frac { pi ell} {m}}}$

связаны с работами некоторых современных авторов (см., например, Приложение B в Blagouchine (2014)^[13]).

Теорема Гаусса о дигамме

Для положительных целых чисел р и м (р < м), дигамма-функция может быть выражена через Постоянная Эйлера и конечное число элементарные функции

${ displaystyle psi left ({ frac {r} {m}} right) = - gamma - ln (2m) - { frac { pi} {2}} cot left ({ frac {r pi} {m}} right) +2 sum _ {n = 1} ^ { left lfloor { frac {m-1} {2}} right rfloor} cos left ({ frac {2 pi nr} {m}} right) ln sin left ({ frac { pi n} {m}} right)}$

которое выполняется в силу своего рекуррентного уравнения для всех рациональных аргументов.

Асимптотическое разложение

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

${ displaystyle psi (z) sim log z - { frac {1} {2z}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (1-2n)} {z ^ {2n}}} = log z - { frac {1} {2z}} - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2n}} {2nz ^ { 2n}}},}$

где B_k это kth Число Бернулли и ζ это Дзета-функция Римана. Первые несколько условий этого расширения:

${ displaystyle psi (z) приблизительно log z - { frac {1} {2z}} - { frac {1} {12z ^ {2}}} + { frac {1} {120z ^ { 4}}} - { frac {1} {252z ^ {6}}} + { frac {1} {240z ^ {8}}} - { frac {5} {660z ^ {10}}} + { frac {691} {32760z ^ {12}}} - { frac {1} {12z ^ {14}}} + cdots.}$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни при каких z, любая конечная частичная сумма становится все более точной, поскольку z увеличивается.

Расширение можно найти, применив Формула Эйлера – Маклорена к сумме^[14]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - { frac {1} {z + n}} right)}$

Разложение также может быть получено из интегрального представления, полученного из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Расширение ${ Displaystyle т / (т ^ {2} + г ^ {2})}$ как геометрическая серия и замена интегрального представления чисел Бернулли приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Кроме того, расширение только конечного числа членов ряда дает формулу с явным членом ошибки:

${ displaystyle psi (z) = log z - { frac {1} {2z}} - sum _ {n = 1} ^ {N} { frac {B_ {2n}} {2nz ^ {2n }}} + (- 1) ^ {N + 1} { frac {2} {z ^ {2N}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {2N + 1} , dt} {(t ^ {2} + z ^ {2}) (e ^ {2 pi t} -1)}}.}$

Неравенства

Когда Икс > 0, функция

${ displaystyle log x - { frac {1} {2x}} - psi (x)}$

полностью монотонна и, в частности, положительна. Это следствие Теорема Бернштейна о монотонных функциях применительно к интегральному представлению, полученному из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, по неравенству выпуклости ${ Displaystyle 1 + т Leq е ^ {т}}$, подынтегральное выражение в этом представлении ограничено сверху величиной ${ displaystyle e ^ {- tz} / 2}$. вследствие этого

${ displaystyle { frac {1} {x}} - log x + psi (x)}$

также полностью монотонен. Отсюда следует, что для всех Икс > 0,

${ displaystyle log x - { frac {1} {x}} leq psi (x) leq log x - { frac {1} {2x}}.}$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера.^[15] Альцер также доказал, что для s ∈ (0, 1),

${ displaystyle { frac {1-s} {x + s}} < psi (x + 1) - psi (x + s),}$

Связанные оценки были получены Елезовичем, Джордано и Пекариком, которые доказали, что для Икс > 0 ,

${ displaystyle log (x + { tfrac {1} {2}}) - { frac {1} {x}} < psi (x) < log (x + e ^ {- gamma}) - { frac {1} {x}},}$

где ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони.^[16] Константы, входящие в эти границы, являются наилучшими из возможных.^[17]

В теорема о среднем значении следует следующий аналог Неравенство Гаучи: Если Икс > c, где c ≈ 1.461 является единственным положительным вещественным корнем дигамма-функции, и если s > 0, тогда

${ displaystyle exp left ((1-s) { frac { psi '(x + 1)} { psi (x + 1)}} right) leq { frac { psi (x + 1)} { psi (x + s)}} leq exp left ((1-s) { frac { psi '(x + s)} { psi (x + s)}} right ).}$

Более того, равенство выполняется тогда и только тогда, когда s = 1.^[18]

Вдохновленные гармоническим неравенством среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, гармоническое неравенство среднего значения для дигамма-функции:

${ displaystyle - gamma leq { frac {2 psi (x) psi ({ frac {1} {x}})} { psi (x) + psi ({ frac {1} { Икс}})}}}$ за ${ displaystyle x> 0}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ${ displaystyle x = 1}$.^[19]

Расчет и приближение

Асимптотическое разложение позволяет легко вычислить ψ(Икс) когда настоящая часть Икс большой. Вычислить ψ(Икс) для маленьких Икс, рекуррентное соотношение

${ Displaystyle psi (x + 1) = { frac {1} {x}} + psi (x)}$

может использоваться для изменения значения Икс к более высокому значению. Бил^[20] предлагает использовать указанное выше повторение для сдвига Икс на значение больше 6, а затем применяя указанное выше расширение с указанными выше условиями Икс¹⁴ cut off, что дает "более чем достаточную точность" (не менее 12 цифр, кроме около нулей).

В качестве Икс уходит в бесконечность, ψ(Икс) становится произвольно близко к обоим ln (Икс − 1/2) и пер Икс. Спускаясь с Икс + 1 к Икс, ψ уменьшается на 1 / Икс, ln (Икс − 1/2) уменьшается на ln (Икс + 1/2) / (Икс − 1/2), что больше, чем 1 / Икс, и пер Икс уменьшается на ln (1 + 1 / х), что меньше 1 / Икс. Из этого мы видим, что для любого положительного Икс лучше чем 1/2,

${ Displaystyle psi (x) in left ( ln left (x - { tfrac {1} {2}} right), ln x right)}$

или, для любого положительного Икс,

${ displaystyle exp psi (x) in left (x - { tfrac {1} {2}}, x right).}$

Экспоненциальный exp ψ(Икс) примерно Икс − 1/2 для больших Икс, но становится ближе к Икс на маленьком Икс, приближаясь к 0 в Икс = 0.

За Икс < 1, мы можем рассчитать пределы, исходя из того, что между 1 и 2, ψ(Икс) ∈ [−γ, 1 − γ], так

${ displaystyle psi (x) in left (- { frac {1} {x}} - gamma, 1 - { frac {1} {x}} - gamma right), quad x in (0,1)}$

или

${ displaystyle exp psi (x) in left ( exp left (- { frac {1} {x}} - gamma right), e exp left (- { frac {1) } {x}} - gamma right) right).}$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ, можно получить асимптотический ряд для ехр (-ψ(Икс)). Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически, как и должно быть для больших аргументов, и также имеет ноль неограниченной кратности в начале координат.

${ displaystyle { frac {1} { exp psi (x)}} sim { frac {1} {x}} + { frac {1} {2 cdot x ^ {2}}} + { frac {5} {4 cdot 3! cdot x ^ {3}}} + { frac {3} {2 cdot 4! cdot x ^ {4}}} + { frac {47} {48 cdot 5! Cdot x ^ {5}}} - { frac {5} {16 cdot 6! Cdot x ^ {6}}} + cdots}$

Это похоже на разложение Тейлора ехр (-ψ(1 / у)) в у = 0, но не сходится.^[21] (Функция не аналитический на бесконечности.) Аналогичный ряд существует для ехр (ψ(Икс)) который начинается с ${ displaystyle exp psi (x) sim x - { frac {1} {2}}.}$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ(Икс+1/2) оказывается, что не бывает нечетных степеней Икс (здесь нет Икс⁻¹ срок). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое экономит вычислительные члены четного порядка.

${ displaystyle exp psi left (x + { tfrac {1} {2}} right) sim x + { frac {1} {4! cdot x}} - { frac {37} {8 cdot 6! cdot x ^ {3}}} + { frac {10313} {72 cdot 8! cdot x ^ {5}}} - { frac {5509121} {384 cdot 10! cdot х ^ {7}}} + cdots}$

Особые ценности

Дигамма-функция имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел в результате Теорема Гаусса о дигамме. Некоторые из них перечислены ниже:

${ Displaystyle { begin {align} psi (1) & = - gamma psi left ({ tfrac {1} {2}} right) & = - 2 ln {2} - гамма psi left ({ tfrac {1} {3}} right) & = - { frac { pi} {2 { sqrt {3}}}} - { frac {3 ln {3}} {2}} - gamma psi left ({ tfrac {1} {4}} right) & = - { frac { pi} {2}} - 3 ln { 2} - gamma psi left ({ tfrac {1} {6}} right) & = - { frac { pi { sqrt {3}}} {2}} - 2 ln {2} - { frac {3 ln {3}} {2}} - gamma psi left ({ tfrac {1} {8}} right) & = - { frac { pi} {2}} - 4 ln {2} - { frac { pi + ln left (2 + { sqrt {2}} right) - ln left (2 - { sqrt { 2}} right)} { sqrt {2}}} - gamma. End {выравнивается}}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от ${ Displaystyle | Гамма (би) | ^ {2}}$ или ${ displaystyle | Gamma ({ tfrac {1} {2}} + bi) | ^ {2}}$ где ${ displaystyle b}$ является вещественным, легко вывести, что

${ displaystyle operatorname {Im} psi (bi) = { frac {1} {2b}} + { frac { pi} {2}} coth ( pi b),}$

${ displaystyle operatorname {Im} psi ({ tfrac {1} {2}} + bi) = { frac { pi} {2}} tanh ( pi b).}$

Помимо теоремы Гаусса о дигамме, такая замкнутая формула для действительной части вообще не известна. У нас, например, на мнимая единица численное приближение

${ displaystyle operatorname {Re} psi (i) = - gamma - sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n-1} {n ^ {3} + n ^ {2 } + n + 1}} приблизительно 0,09465.}$

Корни дигамма-функции

Корни дигамма-функции являются седловыми точками комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, они лежат все на реальная ось. Единственный на положительная действительная ось является единственным минимумом вещественной гамма-функции на ℝ⁺ в Икс₀ = 1.461632144968.... Все остальные встречаются одиночно между полюсами на отрицательной оси:

${ displaystyle { begin {align} x_ {1} & = - 0,504 , 083 , 008 ldots, x_ {2} & = - 1,573 , 498 , 473 ldots, x_ {3 } & = - 2,610 , 720 , 868 ldots, x_ {4} & = - 3,635 , 293 , 366 ldots, & qquad vdots end {align}}}$

Уже в 1881 г. Чарльз Эрмит наблюдаемый^[22] это

${ displaystyle x_ {n} = - n + { frac {1} { ln n}} + O left ({ frac {1} {( ln n) ^ {2}}} right)}$

асимптотически выполняется. Лучшее приближение расположения корней дается

${ displaystyle x_ {n} приблизительно -n + { frac {1} { pi}} arctan left ({ frac { pi} { ln n}} right) qquad n geq 2}$

и, используя следующий термин, становится еще лучше

${ displaystyle x_ {n} приблизительно -n + { frac {1} { pi}} arctan left ({ frac { pi} { ln n + { frac {1} {8n}}}} right) qquad n geq 1}$

которые оба возникают из формулы отражения через

${ displaystyle 0 = psi (1-x_ {n}) = psi (x_ {n}) + { frac { pi} { tan pi x_ {n}}}}$

и заменяя ψ(Икс_п) его несходящимся асимптотическим разложением. Правильный второй член этого разложения: 1 / 2п, где данный хорошо подходит для аппроксимации корней с малыми п.

Еще одно улучшение формулы Эрмита можно дать:^[7]

${ displaystyle x_ {n} = - n + { frac {1} { log n}} - { frac {1} {2n ( log n) ^ {2}}} + O left ({ frac {1} {n ^ {2} ( log n) ^ {2}}} right).}$

Что касается нулей, следующие тождества с бесконечной суммой были недавно доказаны Иштваном Мезо и Майклом Хоффманом^[7]

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} & = gamma ^ {2} + { frac { pi ^ {2}} {2}}, sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {3}}} & = - 4 zeta (3) - gamma ^ {3} - { frac { gamma pi ^ {2}} {2}}, sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { 1} {x_ {n} ^ {4}}} & = gamma ^ {4} + { frac { pi ^ {4}} {9}} + { frac {2} {3}} gamma ^ {2} pi ^ {2} +4 gamma zeta (3). End {align}}}$

В общем, функция

${ Displaystyle Z (к) = сумма _ {п = 0} ^ { infty} { гидроразрыва {1} {x_ {n} ^ {k}}}}$

может быть определена и подробно изучена цитируемыми авторами.

Следующие результаты^[7]

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2} + x_ {n}}} & = - 2, sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {x_ {n} ^ {2} -x_ {n}}} & = gamma + { frac { pi ^ {2 }} {6 gamma}} end {выровнено}}}$

также верны.

Здесь γ это Константа Эйлера – Маскерони.

Регуляризация

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {x + a}},}$

этот интеграл можно аппроксимировать расходящимся общим гармоническим рядом, но к ряду можно добавить следующее значение:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + a}} = - psi (a).}$

Смотрите также

• Полигамма функция
• Тригамма функция
• Чебышевские разложения функции дигаммы в Слабак, Джет (1961). «Полиномиальные приближения к интегральным преобразованиям». Математика. Comp. 15 (74): 174–178. Дои:10.1090 / S0025-5718-61-99221-3.

Рекомендации

внешняя ссылка

• OEIS последовательность A020759 (десятичное разложение (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2), где Gamma (x) обозначает гамма-функцию) —Psi (1/2)

OEIS: A047787 фунт / кв. дюйм (1/3), OEIS: A200064 фунт / кв. дюйм (2/3), OEIS: A020777 фунт / кв. дюйм (1/4), OEIS: A200134 фунт / кв. дюйм (3/4), OEIS: A200135 к OEIS: A200138 от psi (1/5) до psi (4/5).