Многочлены Бернулли второго рода - Википедия - Bernoulli polynomials of the second kind

В Многочлены Бернулли второго рода[1][2] ψп(Икс), также известный как Многочлены Фонтана-Бесселя,[3] - многочлены, определяемые следующей производящей функцией:

Первые пять полиномов:

Некоторые авторы определяют эти полиномы несколько иначе.[4][5]

так что

и может также использовать для них другую нотацию (наиболее часто используемая альтернативная нотация бп(Икс)).

Полиномы Бернулли второго рода в основном изучал венгерский математик Чарльз Джордан,[1][2] но их история также восходит к гораздо более ранним работам.[3]

Интегральные представления

Полиномы Бернулли второго рода можно представить через эти интегралы[1][2]

а также[3]

Таким образом, эти многочлены с точностью до константы первообразный из биномиальный коэффициент а также падающий факториал.[1][2][3]

Явная формула

Для произвольного п, эти полиномы могут быть вычислены явно с помощью следующей формулы суммирования[1][2][3]

куда s(п,л) подписаны Числа Стирлинга первого рода и граммп являются Коэффициенты Грегори.

Формула повторения

Полиномы Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению[1][2]

или эквивалентно

Повторяющаяся разница производит[1][2]

Свойство симметрии

Основное свойство симметрии гласит[2][4]

Некоторые дополнительные свойства и особые значения

Некоторые свойства и конкретные значения этих многочленов включают

куда Cп являются Числа Коши второго рода и Mп являются центральные разностные коэффициенты.[1][2][3]

Расширение в ряд Ньютона

Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид[1][2]

Некоторые серии по многочленам Бернулли второго рода

В функция дигаммы Ψ (Икс) может быть разложен в ряд с многочленами Бернулли второго рода следующим образом[3]

и поэтому[3]

и

куда γ является Постоянная Эйлера. Кроме того, у нас также есть[3]

куда Γ (Икс) это гамма-функция. В Гурвиц и Дзета-функции Римана можно разложить на эти полиномы следующим образом[3]

и

а также

Полиномы Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении[3]

между дзета-функциями, а также в различных формулах для Константы Стилтьеса, например[3]

и

которые оба действительны для и .

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я Джордан, Чарльз (1928), "Sur des polynomes analogs aux polynomes de Bernoulli, et sur des formules de sommentation аналогов à celle de Maclaurin-Euler", Acta Sci. Математика. (Сегед), 4: 130–150
  2. ^ а б c d е ж грамм час я j Джордан, Чарльз (1965). Исчисление конечных разностей (3-е издание). Издательская компания "Челси".
  3. ^ а б c d е ж грамм час я j k л Благушин, Ярослав В. (2018), «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF), INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел, 18A (# A3): 1–45 arXiv
  4. ^ а б Роман, С. (1984). Темное исчисление. Нью-Йорк: Academic Press.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. Многочлен Бернулли второго рода. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

Математика