Коэффициенты Грегори - Gregory coefficients

Коэффициенты Грегори грамм_п, также известный как обратные логарифмические числа, Числа Бернулли второго рода, или же Числа Коши первого рода,^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13]} - рациональные числа, встречающиеся в Серия Маклорена разложение обратного логарифма

${ displaystyle { begin {align} { frac {z} { ln (1 + z)}} & = 1 + { frac {1} {2}} z - { frac {1} {12} } z ^ {2} + { frac {1} {24}} z ^ {3} - { frac {19} {720}} z ^ {4} + { frac {3} {160}} z ^ {5} - { frac {863} {60480}} z ^ {6} + cdots & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} G_ {n} z ^ {n } ,, qquad | z | <1 ,. end {align}}}$

Коэффициенты Грегори чередуются грамм_п = (−1)^п−1|грамм_п| и уменьшается по абсолютной величине. Эти номера названы в честь Джеймс Грегори который представил их в 1670 году в контексте численного интегрирования. Впоследствии они были заново открыты многими математиками и часто появляются в работах современных авторов, которые не всегда их узнают.^{[1][5][14][15][16][17]}

Числовые значения

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	OEIS последовательности
граммп	+1/2	−1/12	+1/24	−19/720	+3/160	−863/60480	+275/24192	−33953/3628800	+8183/1036800	−3250433/479001600	+4671/788480	...	OEIS: A002206 (числители), OEIS: A002207 (знаменатели)

Вычисления и представления

Самый простой способ вычислить коэффициенты Грегори - использовать рекуррентную формулу

${ displaystyle { frac {G_ {1}} {n}} - { frac {G_ {2}} {n-1}} + { frac {G_ {3}} {n-2}} - cdots + (- 1) ^ {n-1} { frac {G_ {n}} {1}} , = , { frac {1} {n + 1}} ,, qquad n = 2 , 3,4, ldots}$

с грамм₁ = 1/2.^[14][18] Коэффициенты Грегори также могут быть вычислены явно с помощью следующего дифференциала

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} left [{ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} { frac {z} { ln ( 1 + z)}} right] _ {z = 0},}$

интеграл

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} int _ {0} ^ {1} x (x-1) (x-2) cdots (x-n + 1) , dx = int _ {0} ^ {1} { binom {x} {n}} , dx,}$

Шредера интегральная формула^[19][20]

${ displaystyle G_ {n} = (- 1) ^ {n-1} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {(1 + x) ^ {n} ( ln ^ { 2} x + pi ^ {2})}},}$

или формула конечного суммирования

${ displaystyle G_ {n} = { frac {1} {n!}} sum _ { ell = 1} ^ {n} { frac {s (n, ell)} { ell +1} },}$

куда s(п,ℓ) подписаны Числа Стирлинга первого рода.

Границы и асимптотика

Коэффициенты Грегори удовлетворяют оценкам

${ displaystyle { frac {1} {6n (n-1)}} <{ big |} G_ {n} { big |} <{ frac {1} {6n}}, qquad n> 2 ,}$

данный Йохан Стеффенсен.^[15] Позднее эти оценки были улучшены разными авторами. Наиболее известные оценки для них были даны Благушиным.^[17] Особенно,

${ displaystyle { frac {, 1 ,} {, n ln ^ {2} ! n ,}} , - , { frac {, 2 ,} {, n ln ^ {3} ! n ,}} leqslant , { big |} G_ {n} { big |} , leqslant , { frac {, 1 ,} {, n ln ^ {2} ! n ,}} - { frac {, 2 gamma ,} {, n ln ^ {3} ! n ,}} ,, qquad quad п geqslant 5 ,.}$

Асимптотически при большом индексе п, эти числа ведут себя как^[2][17][19]

${ displaystyle { big |} G_ {n} { big |} sim { frac {1} {n ln ^ {2} n}}, qquad n to infty.}$

Более точное описание грамм_п в целом п можно найти в работах Ван Вина,^[18] Дэвис,^[3] Коффи,^[21] Немес^[6] и Благушин.^[17]

Ряды с коэффициентами Грегори

Ряды, включающие коэффициенты Грегори, часто можно рассчитать в закрытой форме. Базовые серии с этими номерами включают

${ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 1} ^ { infty} { big |} G_ {n} { big |} = 1 [2 мм] sum _ {n = 1 } ^ { infty} G_ {n} = { frac {1} { ln 2}} - 1 [2 мм] sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n}} = gamma, end {align}}}$

куда γ = 0.5772156649... является Постоянная Эйлера. Эти результаты очень старые, и их история восходит к работам Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони.^[17][22] Более сложные ряды с коэффициентами Грегори рассчитывались разными авторами. Коваленко,^[8] Алабдулмохсин ^[10][11] и некоторые другие авторы рассчитали

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-1 }} = - { frac {1} {2}} + { frac { ln 2 pi} {2}} - { frac { gamma} {2}} [6 мм] displaystyle displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} ! { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 1}} = 1- ln 2. end { множество}}}$

Алабдулмохсин^[10][11] также дает эти тождества

${ displaystyle { begin {align} & { big |} G_ {1} { big |} + { big |} G_ {2} { big |} - { big |} G_ {4} { big |} - { big |} G_ {5} { big |} + { big |} G_ {7} { big |} + { big |} G_ {8} { big |} - { big |} G_ {10} { big |} - { big |} G_ {11} { big |} + cdots = { frac { sqrt {3}} { pi}} [2 мм] & { big |} G_ {2} { big |} + { big |} G_ {3} { big |} - { big |} G_ {5} { big |} - { big |} G_ {6} { big |} + { big |} G_ {8} { big |} + { big |} G_ {9} { big |} - { big |} G_ {11} { big |} - { big |} G_ {12} { big |} + cdots = { frac {2 { sqrt {3}}} { pi}} - 1 [ 2 мм] & { big |} G_ {1} { big |} - { big |} G_ {3} { big |} - { big |} G_ {4} { big |} + { большой |} G_ {6} { big |} + { big |} G_ {7} { big |} - { big |} G_ {9} { big |} - { big |} G_ { 10} { big |} + { big |} G_ {12} { big |} + cdots = 1 - { frac { sqrt {3}} { pi}}. End {выравнивается}} }$

Кандельпергер, Коппо^[23][24] и молодой^[7] показало, что

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |} cdot H_ {n}} {n}} = { frac { pi ^ {2}} {6}} - 1,}$

куда ЧАС_п являются гармонические числа.Blagouchine^{[17][25][26][27]} предоставляет следующие удостоверения

${ displaystyle { begin {align} & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {G_ {n}} {n}} = operatorname {li} (2) - gamma [2 мм] & sum _ {n = 3} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-2}} = - { frac {1} {8}} + { frac { ln 2 pi} {12}} - { frac { zeta '(2)} {, 2 pi ^ {2}}} [2 мм] & sum _ {n = 4} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n-3}} = - { frac {1} {16}} + { frac { ln 2 pi} {24}} - { frac { zeta '(2)} {4 pi ^ {2}}} + { frac { zeta (3)} {8 pi ^ {2}}} [2 мм] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 2} } = { frac {1} {2}} - 2 ln 2+ ln 3 [2 мм] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + 3}} = { frac {1} {3}} - 5 ln 2 + 3 ln 3 [2 мм] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n + k}} = { frac {1} {k}} + sum _ {m = 1} ^ {k} (- 1) ^ {m} { binom {k} {m}} ln (m + 1) ,, qquad k = 1,2,3, ldots [2 мм] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {{ big |} G_ {n} { big |}} {n ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1 } { frac {- operatorname {li} (1-x) + gamma + ln x} {x}} , dx [2mm] & sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {G_ {n}} {n ^ {2}}} = int _ {0} ^ {1} { frac { operatorname {li} (1 + x) - gamma - ln x} {Икс }} , dx, end {выровнено}}}$

куда ли (z) это интегральный логарифм и ${ displaystyle { tbinom {k} {m}}}$ это биномиальный коэффициент.Также известно, что дзета-функция, то гамма-функция, то полигамма-функции, то Константы Стилтьеса и многие другие специальные функции и константы могут быть выражены в терминах бесконечных рядов, содержащих эти числа.^{[1][17][18][28][29]}

Обобщения

Для коэффициентов Грегори возможны различные обобщения. Многие из них можно получить, изменив исходное порождающее уравнение. Например, Ван Вин^[18] учитывать

${ displaystyle left ({ frac { ln (1 + z)} {z}} right) ^ {s} = s sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} K_ {n} ^ {(s)} ,, qquad | z | <1 ,,}$

и поэтому

${ displaystyle G_ {n} = - { frac {K_ {n} ^ {(- 1)}} {n!}}}$

Позже эквивалентные обобщения были предложены Коваленко.^[9] и Рубинштейн.^[30] Аналогичным образом коэффициенты Грегори связаны с обобщенным Числа Бернулли

${ displaystyle left ({ frac {t} {e ^ {t} -1}} right) ^ {s} = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {t ^ { k}} {k!}} B_ {k} ^ {(s)}, qquad | t | <2 pi ,,}$

видеть,^[18][28] так что

${ displaystyle G_ {n} = - { frac {B_ {n} ^ {(n-1)}} {(n-1) , n!}}}$

Иордания^[1][16][31] определяет многочлены ψ_п(s) такой, что

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {s}} { ln (1 + z)}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (s) ,, qquad | z | <1 ,,}$

и позвони им Многочлены Бернулли второго рода. Из вышесказанного ясно, что грамм_п = ψ_п(0).Carlitz^[16] обобщенные полиномы Жордана ψ_п(s) введя многочлены β

${ displaystyle left ({ frac {z} { ln (1 + z)}} right) ^ {s} ! ! cdot (1 + z) ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}} , Beta _ {n} ^ {(s)} (x) ,, qquad | z | <1 ,,}$

и поэтому

${ displaystyle G_ {n} = { frac { beta _ {n} ^ {(1)} (0)} {n!}}}$

Благушин^[17][32] введенные числа грамм_п(k) такой, что

${ displaystyle G_ {n} (k) = { frac {1} {n!}} sum _ { ell = 1} ^ {n} { frac {s (n, ell)} { ell + k}},}$

получили их производящую функцию и изучили их асимптотику на больших п. Четко, грамм_п = грамм_п(1). Эти числа строго чередуются грамм_п(k) = (-1)^п-1|грамм_п(k)| и участвовал в различных расширениях для дзета-функции, Постоянная Эйлера и полигамма-функции Другое обобщение того же рода было предложено Komatsu.^[31]

${ displaystyle c_ {n} ^ {(k)} = sum _ { ell = 0} ^ {n} { frac {s (n, ell)} {( ell +1) ^ {k} }},}$

так что грамм_п = c_п⁽¹⁾/п! Числа c_п^(k) названы автором поли-числа Коши.^[31] Коффи^[21]определяет многочлены

${ displaystyle P_ {n + 1} (y) = { frac {1} {n!}} int _ {0} ^ {y} x (1-x) (2-x) cdots (n- 1-х) , dx}$

и поэтому |грамм_п| = п_п+1(1).

Смотрите также

• Полиномы Стирлинга
• Многочлены Бернулли второго рода

Рекомендации