Число Поли-Бернулли - Википедия - Poly-Bernoulli number

В математика, поли-Бернулли числа, обозначенный как ${ displaystyle B_ {n} ^ {(k)}}$ , были определены М. Канеко как

{ displaystyle {Li_ {k} (1-e ^ {- x}) over 1-e ^ {- x}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} ^ {( k)} {x ^ {n} over n!}}

куда Ли это полилогарифм. В ${ displaystyle B_ {n} ^ {(1)}}$ обычные Числа Бернулли.

Более того, Обобщение чисел Поли-Бернулли. с параметрами a, b, c, определенными следующим образом

{ Displaystyle {Li_ {k} (1- (ab) ^ {- x}) над b ^ {x} -a ^ {- x}} c ^ {xt} = sum _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} ^ {(k)} (t; a, b, c) {x ^ {n} over n!}}

куда Ли это полилогарифм.

Канеко также привел две комбинаторные формулы:

{ Displaystyle В_ {п} ^ {(- к)} = сумма _ {м = 0} ^ {п} (- 1) ^ {м + п} м! S (п, м) (м + 1) ^ {k},}

{ Displaystyle B_ {n} ^ {(- k)} = sum _ {j = 0} ^ { min (n, k)} (j!) ^ {2} S (n + 1, j + 1 ) S (k + 1, j + 1),}

куда ${ Displaystyle S (п, к)}$ количество способов разделить размер ${ displaystyle n}$ установить в ${ displaystyle k}$ непустые подмножества ( Число Стирлинга второго рода ).

Комбинаторная интерпретация состоит в том, что поли-Бернулли отрицательного индекса перечисляет множество ${ displaystyle n}$ к ${ displaystyle k}$ (0,1) -матрицы однозначно восстанавливаемые по их суммам в строках и столбцах.

Для положительного целого числа п и простое число п, поли-Бернулли удовлетворяет

{ Displaystyle B_ {n} ^ {(- p)} Equiv 2 ^ {n} { pmod {p}},}

что можно рассматривать как аналог Маленькая теорема Ферма. Далее уравнение

{ Displaystyle B_ {x} ^ {(- n)} + B_ {y} ^ {(- n)} = B_ {z} ^ {(- n)}}

не имеет решения для целых чисел Икс, у, z, п > 2; аналог Последняя теорема Ферма Более того, существует аналог чисел Поли-Бернулли (например, числа Бернулли и числа Эйлера), который известен как Числа Поли-Эйлера

Число Поли-Бернулли - Википедия - Poly-Bernoulli number

Смотрите также

Рекомендации