Теорема Бернштейна о монотонных функциях - Википедия - Bernsteins theorem on monotone functions

В реальный анализ, филиал математика, Теорема Бернштейна заявляет, что каждый ценный функция на полуоси [0, ∞) то есть полностью монотонный представляет собой смесь экспоненциальных функций. В одном важном частном случае смесь представляет собой средневзвешенное, или же ожидаемое значение.

Полная монотонность (иногда также полная монотонность) функции ж Значит это ж продолжается на [0, ∞), бесконечно дифференцируемые на (0, ∞), и удовлетворяет

${ displaystyle (-1) ^ {n} { гидроразрыва {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} f (t) geq 0}$

для всех неотрицательных целых чисел п и для всех т > 0. Другое соглашение ставит противоположное неравенство в приведенное выше определение.

Утверждение о «средневзвешенном» можно охарактеризовать так: существует неотрицательное конечное Мера Бореля на [0, ∞) с кумулятивная функция распределения грамм такой, что

${ displaystyle f (t) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- tx} , dg (x),}$

интеграл Интеграл Римана – Стилтьеса..

Говоря более абстрактным языком, теорема характеризует Преобразования Лапласа положительных Борелевские меры на [0, ∞). В этой форме он известен как Теорема Бернштейна – Виддера., или же Теорема Хаусдорфа – Бернштейна – Виддера.. Феликс Хаусдорф ранее охарактеризовал полностью монотонные последовательности. Это последовательности, встречающиеся в Проблема моментов Хаусдорфа.

Функции Бернштейна

Неотрицательные функции, производная которых полностью монотонна, называются Функции Бернштейна. Каждая функция Бернштейна имеет Представление Леви – Хинчина:

${ displaystyle f (t) = a + bt + int _ {0} ^ { infty} (1-e ^ {- tx}) , mu (dx),}$

куда ${ displaystyle a, b geq 0}$ и ${ displaystyle mu}$ - мера на положительной действительной полупрямой такой, что

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} (1 wedge x) , mu (dx) < infty.}$

Рекомендации

• С. Н. Бернштейн (1928). "Sur les fonctions Absolument Monotones". Acta Mathematica. 52: 1–66. Дои:10.1007 / BF02592679.
• Д. Виддер (1941). Преобразование Лапласа. Издательство Принстонского университета.
• Рене Шиллинг, Ренминг Сонг и Зоран Вондрачек (2010). Функции Бернштейна. Де Грюйтер.

внешняя ссылка

• Страница MathWorld о полностью монотонных функциях