Проблема моментов Хаусдорфа - Hausdorff moment problem

В математика, то Проблема моментов Хаусдорфа, названный в честь Феликс Хаусдорф, запрашивает необходимые и достаточные условия, чтобы данная последовательность (м₀, м₁, м₂, ...)быть последовательностью моменты

${ displaystyle m_ {n} = int _ {0} ^ {1} x ^ {n} , d mu (x)}$

некоторых Мера Бореля μ поддержанный на замкнутом единичном интервале [0, 1]. В случае м₀ = 1, это эквивалентно существованию случайная переменная Икс поддерживается на [0, 1], так что E [Икс^п] = м_п.

Существенное различие между этой и другими хорошо известными проблемами моментов состоит в том, что она находится на ограниченном интервале, тогда как в Проблема моментов Стилтьеса считается полупрямым [0, ∞), а в Проблема моментов гамбургера рассматривать всю линию (−∞, ∞). Проблемы моментов Стилтьеса и проблемы моментов Гамбургера, если они разрешимы, могут иметь бесконечно много решений (неопределенная проблема моментов), тогда как проблема моментов Хаусдорфа всегда имеет единственное решение, если оно разрешимо (детерминированная проблема моментов). В случае неопределенной проблемы моментов существуют бесконечные меры, соответствующие одним и тем же предписанным моментам, и они состоят из выпуклого множества. Набор многочленов может быть или не быть плотным в ассоциированных гильбертовых пространствах, если проблема моментов неопределенная, и это зависит от того, является ли мера экстремальной или нет. Но в случае детерминированной проблемы моментов множество многочленов плотно в ассоциированном гильбертовом пространстве.

Полностью монотонные последовательности

В 1921 году Хаусдорф показал, что (м₀, м₁, м₂, ...) является такой последовательностью моментов тогда и только тогда, когда последовательность полностью монотонна, то есть ее разностные последовательности удовлетворяют уравнению

${ displaystyle (-1) ^ {k} ( Delta ^ {k} m) _ {n} geq 0}$

для всех п,k ≥ 0. Здесь, Δ это оператор разницы данный

${ displaystyle ( Delta m) _ {n} = m_ {n + 1} -m_ {n}.}$

Необходимость этого условия легко увидеть из тождества

${ displaystyle (-1) ^ {k} ( Delta ^ {k} m) _ {n} = int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (1-x) ^ {k} d mu (x),}$

что неотрицательно, так как это интеграл неотрицательной функции. Например, необходимо иметь

${ displaystyle ( Delta ^ {4} m) _ {6} = m_ {6} -4m_ {7} + 6m_ {8} -4m_ {9} + m_ {10} = int x ^ {6} ( 1-x) ^ {4} d mu (x) geq 0.}$

Смотрите также

• Полная монотонность

Рекомендации

• Хаусдорф, Ф. "Summationsmethoden und Momentfolgen. I." Mathematische Zeitschrift 9, 74–109, 1921.
• Хаусдорф, Ф. «Summationsmethoden und Momentfolgen. II». Mathematische Zeitschrift 9, 280–299, 1921.
• Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и ее приложения», том II, John Wiley & Sons, 1971.
• Шохат, Дж..; Тамаркин, Дж. Проблема моментов, Американское математическое общество, Нью-Йорк, 1943.