В математика, то Стилтьес проблема момента, названный в честь Томас Джоаннес Стилтьес, ищет необходимые и достаточные условия для последовательности {мп, : п = 0, 1, 2, ...}, чтобы иметь вид
![{ displaystyle m_ {n} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} , d mu (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cc668c5caef5d0958785c04b992499ddf40e68)
по какой-то мере μ. Если такая функция μ существует, спрашивают, уникальна ли она.
Существенная разница между этим и другими известными момент проблемы состоит в том, что он находится на полупрямой [0, ∞), тогда как в Проблема моментов Хаусдорфа рассматривается ограниченный интервал [0, 1], а в Проблема моментов гамбургера рассматривается вся прямая (−∞, ∞).
Существование
Позволять
![Delta_n = left [ begin {matrix}
m_0 & m_1 & m_2 & cdots & m_ {n}
m_1 & m_2 & m_3 & cdots & m_ {n + 1}
m_2 & m_3 & m_4 & cdots & m_ {n + 2}
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
m_ {n} & m_ {n + 1} & m_ {n + 2} & cdots & m_ {2n}
end {matrix} right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8206d416e2354bde00ecd3217b257609539b19c0)
и
![Delta_n ^ {(1)} = left [ begin {matrix}
m_1 & m_2 & m_3 & cdots & m_ {n + 1}
m_2 & m_3 & m_4 & cdots & m_ {n + 2}
m_3 & m_4 & m_5 & cdots & m_ {n + 3}
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots
m_ {n + 1} & m_ {n + 2} & m_ {n + 3} & cdots & m_ {2n + 1}
end {matrix} right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067bad63dc066fda432dc92c73a1724826746860)
Потом {мп : п = 1, 2, 3, ...} - моментная последовательность некоторой меры на
с бесконечной поддержкой тогда и только тогда, когда для всех п, обе
![det ( Delta_n)> 0 mathrm {и} det left ( Delta_n ^ {(1)} right)> 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67058826b1e65f0363689d04b7e5e42631d9e26)
{ мп : п = 1, 2, 3, ...} - моментная последовательность некоторой меры на
с конечной поддержкой размера м если и только если для всех
, обе
![det ( Delta_n)> 0 mathrm {и} det left ( Delta_n ^ {(1)} right)> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf4db3cba427f80d6c7c9f6ce29394c836eb0c7)
и для всего большего ![п](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![det ( Delta_n) = 0 mathrm {и} det left ( Delta_n ^ {(1)} right) = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85ce6c176d3641899f4798f09ff1f4b7c147cde)
Уникальность
Есть несколько достаточных условий единственности, например, Состояние Карлемана, который утверждает, что решение единственно, если
![sum_ {n geq 1} m_n ^ {- 1 / (2n)} = infty ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad79ae978337a55dc8f2756963f3961e90d2fa88)
Рекомендации
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Фурье-анализ, самосопряженность, Методы современной математической физики, 2, Academic Press, стр. 341 (упражнение 25), ISBN 0-12-585002-6