Неравенство Гаучера - Википедия - Gautschis inequality

В реальный анализ, филиал математика, Неравенство Гаучи является неравенство для соотношений гамма-функции. Он назван в честь Вальтер Гаучи.

Заявление

Позволять Икс положительное действительное число, и пусть s ∈ (0, 1). потом^[1]

${ displaystyle x ^ {1-s} <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <(x + 1) ^ {1-s}.}$

История

В 1948 г. Вендель доказал неравенства

${ displaystyle left ({ frac {x} {x + s}} right) ^ {1-s} leq { frac { Gamma (x + s)} {x ^ {s} Gamma ( х)}} leq 1}$

за Икс > 0 и s ∈ (0, 1).^[2] Он использовал это, чтобы определить асимптотическое поведение отношения гамма-функций. Верхняя оценка в этом неравенстве сильнее, чем приведенная выше.

В 1959 году Гаучи независимо доказал два неравенства для отношений гамма-функций. Его нижняя граница была идентична оценке Вендела. Одна из его верхних оценок была указана в приведенном выше утверждении, в то время как другая была иногда сильнее, а иногда слабее, чем оценка Вендела.

Последствия

Непосредственным следствием этого является следующее описание асимптотики отношений гамма-функций:

${ displaystyle lim _ {x to infty} { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s) x ^ {1-s}}} = 1.}$

Доказательства

Есть несколько известных доказательств неравенства Гаучи. Одно простое доказательство основано на строгой логарифмической выпуклости гамма-функции Эйлера. По определению это означает, что для каждого ты и v с ${ Displaystyle и neq v}$ и каждый т ∈ (0, 1), у нас есть

${ Displaystyle Gamma (tu + (1-t) v) < Gamma (u) ^ {t} Gamma (v) ^ {1-t}.}$

Примените это неравенство с ты = Икс, v = Икс + 1, и т = 1 − s. Также примените его с ты = Икс + s, v = Икс + s + 1, и т = s. В результате возникают следующие неравенства:

${ Displaystyle { begin {align} Gamma (x + s) & < Gamma (x) ^ {1-s} Gamma (x + 1) ^ {s} = x ^ {s-1} Gamma (x + 1), Гамма (x + 1) & < Gamma (x + s) ^ {s} Gamma (x + s + 1) ^ {1-s} = (x + s) ^ {1-s} Gamma (x + s). End {align}}}$

Перестановка первого из них дает нижнюю оценку, а перестановку второго и применение тривиальной оценки ${ Displaystyle х + s <х + 1}$ дает верхнюю границу.

Связанные неравенства

Обзор неравенств для отношений гамма-функций написал Ци.^[3]

Доказательство логарифмической выпуклости дает более сильную оценку сверху

${ displaystyle { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <(x + s) ^ {1-s}.}$

В оригинальной статье Гаучи была доказана другая более сильная верхняя оценка:

${ displaystyle { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} leq exp ((1-s) psi (x + 1)),}$

куда ${ displaystyle psi}$ это функция дигаммы. Ни одна из этих оценок не всегда сильнее другой.^[4]

Кершоу доказал два более жестких неравенства. Снова предполагая, что Икс > 0 и s ∈ (0, 1),^[5]

${ displaystyle { begin {align} left (x + { frac {s} {2}} right) ^ {1-s} & <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma ( x + s)}} < left [x - { frac {1} {2}} + left (s + { frac {1} {4}} right) ^ {1/2} right] ^ {1-s}, exp left ((1-s) psi (x + s ^ {1/2}) right) & <{ frac { Gamma (x + 1)} { Гамма (x + s)}} < exp left ((1-s) psi left (x + { frac {1} {2}} (s + 1) right) right). End { выровнено}}}$

Неравенство Гаучи специфично для отношения гамма-функций, оцениваемых по двум действительным числам, имеющим небольшую разницу. Однако есть расширения и на другие ситуации. Если Икс и у положительные действительные числа, то выпуклость ${ displaystyle psi}$ приводит к неравенству:^[6]

${ Displaystyle { гидроразрыва {1} {2}} ( psi (x) + psi (y)) leq { frac { log Gamma (y) - log Gamma (x)} {yx }} leq psi left ({ frac {x + y} {2}} right).}$

За s ∈ (0, 1), это приводит к оценкам

${ Displaystyle ехр { bigl (} (1-s) psi (x + s) { bigr)} leq { frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)} } leq exp left ((1-s) psi left (x + { frac {1} {2}} (s + 1) right) right).}$

Связанное, но более слабое неравенство может быть легко выведено из теорема о среднем значении и монотонность ${ displaystyle psi}$.^[7]

Более явное неравенство, справедливое для более широкого класса аргументов, принадлежит Кечкичу и Васичу, которые доказали, что если у > Икс > 1, тогда:^[8]

${ displaystyle { frac {y ^ {y-1}} {x ^ {x-1}}} e ^ {xy} <{ frac { Gamma (y)} { Gamma (x)}} < { frac {y ^ {y-1/2}} {x ^ {x-1/2}}} e ^ {xy}.}$

В частности, для s ∈ (0, 1), у нас есть:

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x}} {(x + s) ^ {x + s-1}}} e ^ {- (1-s)} <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <{ frac {(x + 1) ^ {x + 1/2}} {(x + s) ^ {x + s-1/2 }}} e ^ {- (1-s)}.}$

Гуо, Ци и Шривастава доказали похожее неравенство, справедливое для всех у > Икс > 0:^[9]

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x + 1}} {(y + 1) ^ {y + 1}}} e ^ {yx} <{ frac { Gamma (x + 1) } { Gamma (y + 1)}} <{ frac {(x + 1/2) ^ {x + 1/2}} {(y + 1/2) ^ {y + 1/2}}} e ^ {yx}.}$

За s ∈ (0, 1), это ведет к:

${ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {x + 1}} {(x + s) ^ {x + s}}} e ^ {s-1} <{ frac { Gamma (x + 1)} { Gamma (x + s)}} <{ frac {(x + 1/2) ^ {x + 1/2}} {(x + s-1/2) ^ {x + s- 1/2}}} e ^ {s-1}.}$

Рекомендации

• Гаучи Вальтер (1959), Некоторые элементарные неравенства, связанные с гамма-функцией и неполной гамма-функцией, Журнал математики и физики, 38, DOI: 10.1002 / sapm195938177.