Гипотеза Легендра - Википедия - Legendres conjecture

Гипотеза Лежандра, предложено Адриан-Мари Лежандр, заявляет, что существует простое число между п² и (п + 1)² для каждого положительное число п. В догадка один из Проблемы Ландау (1912) о простых числах; по состоянию на 2020 год^{[Обновить]}, гипотеза не доказана и не опровергнута.

Нерешенная проблема в математике: Всегда ли существует хотя бы одно простое число между n2 и (n + 1)2? (больше нерешенных задач по математике)

Основные зазоры

Гипотеза Лежандра - одна из семьи результатов и гипотез, связанных с основные промежутки, то есть интервалу между простыми числами.

График количества простых чисел между п² и (п + 1)² OEIS: A014085

В теорема о простых числах предполагает, что фактическое количество простых чисел между п² и (п + 1)² (OEIS: A014085) является асимптотический к п/ ln (п). Поскольку это число велико для больших п, это подтверждает гипотезу Лежандра.

Если гипотеза Лежандра верна, то зазор между любыми праймами п и следующее по величине простое число всегда будет не больше порядка ${ displaystyle { sqrt {p}}}$;^[а] в нотация большой O, пробелы ${ displaystyle O ({ sqrt {p}})}$. Две более сильные гипотезы, Гипотеза Андрицы и Гипотеза Оппермана, также оба подразумевают, что промежутки имеют одинаковую величину.

Харальд Крамер предполагаемый что зазоры всегда намного меньше, порядка ${ Displaystyle ( журнал р) ^ {2}}$. Если гипотеза Крамера верна, гипотеза Лежандра будет следовать для всех достаточно больших п. Крамер также доказал, что Гипотеза Римана следует более слабая оценка ${ Displaystyle О ({ sqrt {p}} log p)}$ от размера наибольших простых зазоров.^[1]

Контрпример около 10¹⁸ потребуется простой разрыв в пятьдесят миллионов раз больше среднего разрыва.

Гипотеза Лежандра подразумевает, что по крайней мере одно простое число может быть найдено в каждой половине оборота Спираль Улама.

Частичные результаты

Из результата Ingham что для всех достаточно больших ${ displaystyle n}$, между последовательными кубики ${ Displaystyle п ^ {3}}$ и ${ Displaystyle (п + 1) ^ {3}}$.^[2]

Бейкер, Харман и Пинц доказано, что в интервале ${ Displaystyle [х, , х + О (х ^ {21/40})]}$ для всех больших ${ displaystyle x}$.^[3]

Таблица максимальных простых пробелов показывает, что гипотеза верна по крайней мере для ${ Displaystyle п ^ {2} = 4 cdot 10 ^ {18}}$, смысл ${ Displaystyle п = 2 cdot 10 ^ {9}}$.^[4]

Смотрите также

• Постулат Бертрана
• Гипотеза Брокара
• Гипотеза Фирозбахта

Примечания и ссылки

^ а Это следствие того факта, что разница между двумя последовательными квадратами порядка их квадратных корней.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Лежандра». MathWorld.
• Хашимото, Цутому (2008). «Об определенной связи между гипотезой Лежандра и постулатом Бертрана». arXiv:0807.3690.
• Митра, Адвей; Пол, Гаутам; Саркар, Ушниш (2009). «Некоторые предположения о количестве простых чисел в определенных интервалах». arXiv:0906.0104.
• Паз, немецкий (2013). «О догадках Лежандра, Брокара, Андирки и Оппермана». arXiv:1310.1323.

Этот теория чисел -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.